基于滿意度函數(shù)和灰關聯(lián)度的多公差約束配準算法*

陸正新，梁永收，楚亞松，任軍學

（1.西北工業(yè)大學航空發(fā)動機高性能制造工業(yè)和信息化部重點實驗室，西安710072；2.北京動力機械研究所，北京 100074）

隨著我國航空航天器性能的不斷提高，關鍵零部件的性能要求也隨之不斷提高，其顯著變化就是零件精度要求越來越高，零件形狀更加復雜，復雜曲面類零件應用更加廣泛。為降低重量，航空航天器關鍵零部件多為薄壁件，為提高氣動能力多外形采用自由曲面，傳統(tǒng)加工工藝對于此類零件多采用大余量毛坯數(shù)控切削成形，這種加工方式存在效率低、成品率低以及成本高等不足。隨著先進制造理念的不斷發(fā)展，采用近凈成形工藝的復雜曲面類零件在航空航天領域的應用更加廣泛，該類零件多采用精密鍛造或者精密鑄造精確成型，具有強度高、節(jié)省原材料等優(yōu)點。近凈成形類零件部分區(qū)域精確成形，僅需要對剩余區(qū)域進行少量機加工。近凈成形類零件精確成形區(qū)域雖然成形精度較高，但由于成形工藝等原因仍會產(chǎn)生一定程度的變形，其真實形狀與理論模型的偏差不盡相同，且機加區(qū)域留有加工余量未精確成形，因此毛坯形狀與余量并不確定，該部分測量數(shù)據(jù)無法準確反映模型的形狀，呈現(xiàn)出測量數(shù)據(jù)缺失的特點[1]。若采用傳統(tǒng)加工工藝，直接按照設計的理論模型進行加工，由于成形誤差的存在，必然導致加工區(qū)域與近凈成形區(qū)域無法光滑過渡，出現(xiàn)拼接誤差，且兩者的相對位置關系無法保證，會導致形位公差超差。

自適應加工技術適用于解決加工區(qū)域之間有相對位置關系要求以及毛坯余量分布不均勻等問題，是提高近凈成形類零件加工精度與加工效率的有效方法，其主要流程如圖1所示，首先，根據(jù)零件的結構特征規(guī)劃測量區(qū)域與測量路徑，根據(jù)測量的數(shù)據(jù)構建工藝坐標系；測量數(shù)據(jù)經(jīng)處理后，運用多公差約束配準算法與理論模型進行匹配，獲取理論模型加工區(qū)域在毛坯中的位置；其次，在零件裝夾狀態(tài)下進行在機測量，根據(jù)裝夾測量數(shù)據(jù)以及加工區(qū)域位置生成加工程序。模型配準作為近凈成形類零件自適應加工的關鍵技術，其首要功能是建立起零件測量數(shù)據(jù)坐標系與設計模型坐標系之間的變換關系。其次，配準過程完成了加工可行性分析與位姿優(yōu)化的任務。

圖1 自適應加工流程圖Fig.1 Adaptive processing flow diagram

目前關于配準算法的研究多集中于檢測基準確定的配準模型或配準評價方法。其中Fan等[2]提出一種采用邊界曲線的配準方法，通過對點云測量數(shù)據(jù)與理論CAD模型的邊界進行均勻采樣，根據(jù)邊界曲線點的方向角序列偏差進行匹配，根據(jù)匹配結果即可得到點云數(shù)據(jù)相對CAD模型的旋轉角度。Lang等[3]采取SQP算法解決最小區(qū)域問題，將最小區(qū)域約束分解為非線性規(guī)劃約束條件，通過條件轉化的方式對問題進行求解，其中采取STL形式曲面微分對點到曲面的歐式距離進行了計算。Ma等[4]提出一種基于混合框架與變分推理的三階段配準策略（TRS）點云配準方法,通過設計一個含有各向同性和各向異性的高斯變分混合模型（GVMM）來減少異常值的影響，并采用Dirichlet分布來控制高斯分量的混合比例用以識別缺陷點。Zhang等[5]使用最小二乘平方和誤差作為評價方法，并且關注了匹配過程中對應點重復的解決方法，通過選擇次優(yōu)點防止重復對應帶來的誤差。Mehrad等[6]研究了不同點集數(shù)量在一些約束條件下的置信度，從概率方面對配準精度作出了解釋。Bergstr?m 等[7]針對曲面須重復配準的要求，對最近點迭代算法進行了優(yōu)化改進，其基于KD-tree數(shù)據(jù)結構提出了距離變化網(wǎng)格樹（Distance varying grid tree）的數(shù)據(jù)結構對理論模型數(shù)據(jù)進行存儲，通過優(yōu)化存儲方式使算法速率得到提升。Mellado等[8]在配準算法方面針對4ps算法提出了改進，使之有更好的運算精度與效率，在交疊數(shù)據(jù)超過50%的情況，依然有較好的運算性能，在圖像處理方面有一定優(yōu)勢。He等[9]提出了GF-ICP算法，此算法運用點云的曲率、曲面法矢、點云密度等幾何性質與屬性，以避免在對應點集搜索中出現(xiàn)陷入局部搜索的情況。Huan等[10]提出了一種葉片誤差評估方法，第1步通過最近點迭代算法使帶匹配對象與目標對象貼合，第2步在截面內(nèi)再次運用ICP算法進行截面內(nèi)匹配，此時的評價函數(shù)為最小二乘平方和，最后一步，分別將葉盆、葉背、前緣、后緣4個區(qū)域輪廓度誤差的最大正偏差與最大負偏差相減，所得的4個數(shù)值求總和，將目標函數(shù)修改為該總和最小，通過預配準提高了搜索效率，兩步精配準達到了誤差評價的目的。Albarelli等[11]采取博弈算法完成了配準過程，此過程無需初始配準，通過權重變化使得高匹配度測量點發(fā)揮更大作用，進而提高配準的穩(wěn)定性。Usamentiaga等[12]對傳統(tǒng)ICP配準算法的優(yōu)缺點進行了詳細分析與總結，提出了新的二維平面內(nèi)的對應點匹配方法，采用主成分分析法確定局部位置的法向，并采用改進的R型樹結構存儲模型對算法進行加速。Srivatsan等[13]采用SPNR（稀疏點以及法矢配準）方法，在測量點稀疏并且已知測量點法矢的情況下，通過對測量點施加擾動，完成配準，該方法對于測量點的選擇較為重要，不同的測量點和不同幅度的擾動可能會帶來不同的結果。Myronenko等[14]提出一種全新的配準方法，命名為一致性點漂移，采用兩個點云的相似概率密度最大為尋找對應點的條件，以高斯混合模型求出最大的相似概率，該方法可以完成剛性配準與非剛性配準。Combès等[15]提出一種新的三維點集非線性配準方法，該方法將第1個點集視為高斯混合模型，采用期望最大化算法對該模型的參數(shù)進行最大后驗估計；Zhang等[16]建立了公差約束下的余量優(yōu)化模型，根據(jù)一些特殊要求建立了幾種不同模型，可應用于不同余量分布情況的毛坯。詹旭等[17]提出一種基于余弦相似度的配準方法，以兩點的余弦相似度為條件，采用差分優(yōu)化算法求解最優(yōu)變換參數(shù)。

當前研究大多集中在對應點搜索以及算法加速等方面，評價標準多為偏差最小，并未考慮形位公差的約束，因此本研究提出一種基于灰關聯(lián)度的多公差約束配準算法，采用灰關聯(lián)理論耦合形位公差，最后采用BFGS迭代算法求解。

多公差約束配準算法的計算流程如圖2所示，首先確定參與配準的公差項目，評價各公差的偏差量；然后根據(jù)公差對配準結果的影響程度建立滿意度模型，并計算各公差的滿意度值；再根據(jù)計算得到的滿意度值計算公差的灰關聯(lián)度值，得到配準權重分布；接著搜索匹配點，消除敏感對應的點對，最終求解剛性變換參數(shù)。

圖2 多公差約束配準算法流程圖Fig.2 Multiple tolerance constraints registration algorithm flow diagram

1 多公差耦合約束配準模型構建

1.1 形位公差評價方法

位置度是指被測要素的位置相對于基準的變動量，位置度公差區(qū)域表示方法為以基準中心為圓心的圓形，如圖3所示，或以基準為形心的方形，如圖4所示。本研究采用圓形區(qū)域進行計算。

圖3 位置度圓形表示方式Fig.3 Circular representation of positional tolerance

圖4 位置度方形表示方式Fig.4 Square representation of positional tolerance

位置度的偏差刻畫了實際被測要素中心與基準中心的偏移程度，位置度評價依賴于基準點的位置與基準軸線方向，為簡化計算，采用極坐標表示圓位置度偏差，如式（1）和（2）所示。

式中，ρ為位置度圓形條件下的偏差半徑；θ為偏差方向與極軸的夾角；x、y為偏差半徑向正交坐標軸的投影值；E為計算得到的夾角。

輪廓度用于描述曲面尺寸準確度，其主要指標為輪廓度誤差，是指被測實際輪廓相對于理想輪廓的變動情況。

輪廓度的評價前提是對實際評價區(qū)域的精確測量，依據(jù)測量結果給出測量區(qū)域的輪廓度誤差，因此，需要根據(jù)測量結果找出距離測量區(qū)域的最遠點，若測量數(shù)據(jù)為接觸式測量設備（三坐標測量機）采集得到，則計算測量點集合P中的元素pi到測量面的最近距離dmin與最遠距離dmax，則此時輪廓度誤差Tol為最遠距離與最近距離之差，如式（3）所示。

1.2 基于滿意度函數(shù)的公差轉化方法

多公差的約束問題可視為多目標的協(xié)同優(yōu)化問題，從而將約束條件轉化為求解結果。滿意度函數(shù)的主要作用是反映各目標的重要程度，為保證其數(shù)量級比例，需要將每個目標轉化為特定的滿意度函數(shù)hi，通常為0≤hi≤1。滿意度評價方法大體有值越大越好、越小越好以及特定區(qū)域內(nèi)較好等方法，函數(shù)形式也多種多樣，常見有矩形函數(shù)（式（4）、圖5）、半階梯函數(shù)以及嶺型函數(shù)[15]。本研究采用值越小越好的評價方式。

圖5 矩形函數(shù)Fig.5 Rectangular function

式中，yi為公差偏差量；Ti為參與評價的公差帶帶寬。

考慮到位置度公差與輪廓度公差在公差容許范圍內(nèi)可以為其他因素判定提供裕度，但超過公差限則成為限制條件，故使用特定區(qū)域內(nèi)的半階梯與嶺型復合函數(shù)，如圖6和式（5）所示。

圖6 半階梯、嶺型復合函數(shù)Fig.6 Half-step, ridge-type composite function

式中，Lmin為函數(shù)定義域下限；Umax為函數(shù)定義域上限；Li為公差帶下限；Ui為公差上限。

總體滿意度函數(shù)能夠有效將多約束優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題，通過不同公差間權重的改變來實現(xiàn)公差間的平衡，對于公差權重ω的設定，可以先由設計人員賦予初始權重，再根據(jù)實際情況進行修正，修正過程可借助灰關聯(lián)度方法。因此，本研究采取幾何平均法（式（6）），用以避免單個響應局部過優(yōu)而其他響應過劣的情況。

式中，H為各公差耦合后的滿意度值；hip為第i個測量點的位置度公差滿意度值；ωip為第i個測量點的位置度公差滿意度值權重；hid為第i個測量點的輪廓度公差滿意度值；ωid為第i個測量點的輪廓度公差滿意度值權重。

1.3 基于灰關聯(lián)度的多公差耦合方法

灰關聯(lián)度法的基本思想是一個看似復雜的系統(tǒng)內(nèi)部，同樣有一定的規(guī)律和聯(lián)系。將復雜的關系序列化，建立灰關聯(lián)度模型，此方法以大數(shù)據(jù)樣本為依據(jù)，通過輪廓度公差與形位公差偏離程度的橫向比較，揭示公差對幾何距離偏差的作用機制，從而確定了幾何與公差間的協(xié)同優(yōu)化關系。

考慮到物理意義不同因素的量綱可能不統(tǒng)一，無法直接進行比較，通常首先對數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)各參數(shù)的無量綱化。本研究的輸出參數(shù)為單個公差的最大幅值與波動范圍，為反映重要程度，二者的理想狀態(tài)都是越大越好，因此采用“目標越大越好”的方法。式（7）為采用“目標越大越好”的數(shù)據(jù)歸一化處理方法。

式中，）為數(shù)據(jù)預處理后的序列（相似性序列）；k）為參考序列；max（k）為參考序列中的最大值；min（k）為參考序列中的最小值。

接下來，利用式（8）～（11）來計算灰關聯(lián)度系數(shù)（GRC），從而得到各優(yōu)化目標與輸入?yún)?shù)的關聯(lián)程度。

式中，）為序列標準值，依據(jù)文獻[16]，通常為1；（k）為可比性序列；Δ0i（k）為偏差序列；Δmin（k）取0，Δmax（k）取1；ζ為分辨系數(shù)，ζ∈[0,1]，通常取ζ=0.5。

經(jīng)計算后可得各公差相應的最優(yōu)灰關聯(lián)度值，重新歸一化，可得到各系數(shù)ωi，計算公式如式（12）所示。

通過式（12）可計算各公差相應的最優(yōu)灰關聯(lián)度值，對該值重新進行歸一化，可得到各系數(shù)，從而建立基于多工差約束的配準模型，如式（13）所示。

式中，Hi（φ，ψ）為以位置度公差、輪廓度偏差為自變量的滿意度函數(shù)；f1為近合格零件配準目標函數(shù)。

2 多公差約束配準算法求解

配準技術主要由匹配特征、相似度衡量、約束空間、搜索策略4個部分組成，如圖7所示。匹配特征是從配準模型中提取出來的用于匹配的信息，即匹配主體；約束空間是指用來校準模型的空間變換集，即約束條件；相似度測量則決定了每一個配準測試的結果，即收斂條件；搜索策略決定如何在搜索空間中選擇下一個變換，如何測試并搜索出最優(yōu)變換，即應用于配準的算法。

圖7 配準技術主要組成部分Fig.7 Main components of registration technology

2.1 對應點搜索策略

匹配問題的實質在于匹配對象間元素的對應，近凈成形類零件配準過程是圍繞測量數(shù)據(jù)點云與理論模型展開的，通常將其轉化為測量點與曲面上的對應點之間的關系。元素間的對應程度對匹配結果影響較大，由于點對間的關系并非一一對應，可能存在一對多等情況，如圖8所示，不均勻的對應關系容易造成匹配區(qū)域的局部敏感性，使算法陷入局部收斂或降低運算精度。

圖8 局部敏感對應方式Fig.8 Local sensitive counterpart

現(xiàn)針對此類問題提出改進方法，步驟如下：

（1）將目標曲面進行參數(shù)化，得到參數(shù)表達形式S（u,v）。

（2）已知測量規(guī)劃點間距為l，根據(jù)距離公式求解測量點Pi（x，y，z） 的最近點Qi（x，y，z），并以Qi（x，y，z）為圓心，kl為半徑建立目標球Sphere（x，y，z），其中k為調整系數(shù)。

（3）求解其他測量點（x，y，z）的對應點（x，y，z），若Qi'（x,y,z）在目標球內(nèi)，則以球邊緣點作為初始點搜索第2臨近點作為（x，y，z）。

（4）重復前3步，至所有測量數(shù)據(jù)得到理想的對應點。

通過上述方法可得到一一對應點對，如圖9所示。

圖9 改進的對應方式Fig.9 Improved correspondence method

2.2 近合格類零件配準求解算法

本研究采用帶罰函數(shù)的目標函數(shù)形式，將帶約束函數(shù)求解問題轉化為無約束函數(shù)求解問題。由于可行域變換矩陣的非連續(xù)性與不直觀性，本研究選取外點罰函數(shù)法采取后評價策略對該問題進行求解。

首先，將滿意度約束值Hi的不等式形式轉化為等式約束形式（式（14）），因此可將式（13）改寫為增廣拉格朗日形式的表達式（式（15）），

式中，c為懲罰因子；μi為拉格朗日乘子；γ為歸一化常量，γ＞0；這里所指di（X）為相對曲面的有向距離，代表了曲面方向，di（X）=Di（X）·

式（15）目的在于搜尋L（X,w, μ）的全局最小值，其中wi隨符合要求程度提高而降低，因此符合公差要求的測量點數(shù)目越多，函數(shù)整體值越低。

由w（di（iX））兩端點為0與知，分別帶入式（16）和（17）。

經(jīng)比較式（19）可合并兩端點，合并后為式（20），即完成了迭代形式。

式中，μi表示迭代終止條件，根據(jù)式（20），可轉換為式（21）。

當求解式收斂時μi無限接近于μi+1，即當|μi+1-μi|＜ε時迭代截止。

迭代算法選取BFGS的類海森矩陣求解形式，此算法比較適合在大規(guī)模的數(shù)值計算中，具備牛頓法收斂速度快的特點，通過海森矩陣的近似替代方式，有效節(jié)省了存儲空間和計算資源。

3 算法驗證

本研究選取某型號轉子發(fā)動機葉片，該葉片為精鍛葉片，即葉身采用精密鍛造工藝成型，不需要二次加工，僅需要加工榫齒、前后緣及葉尖部分，是典型的近凈成形零件，葉片理論模型與采樣截面高度如圖10所示。模型按照等參數(shù)方式離散初始點，同時為模擬實際葉身型面，按照期望0.03mm，方差0.03mm添加仿真用高斯噪點，測量點共2800個，測頭半徑1mm，為減少精配準迭代次數(shù)與時間，對模擬測量數(shù)據(jù)進行預變換，使得模擬數(shù)據(jù)更接近理論葉型，預變換采用四點對應（4PCS）與最近點迭代（ICP）組合算法實現(xiàn)。初始參數(shù)見表1。

表1 平移旋轉初始參數(shù)Table 1 Pan & rotation initial parameters

圖10 葉片模型與檢測高度示意圖（mm）Fig.10 Diagram of blade model and inspection height (mm)

算例模型按設計圖紙共檢測6個截面，具體數(shù)值見表2。輪廓度公差設置為[-0.10,0.10]，經(jīng)過預配準算法分析得，共有2712個測量點符合輪廓度要求，所占比例為 96.86%，如圖11所示,僅在葉尖位置有部分區(qū)域超出輪廓度公差，屬于合格毛坯。

圖11 預備準葉盆和葉背偏離誤差曲面圖Fig.11 Pre-aligned prospective pressure and suction surface deviation error surface

表2 葉片截面位置度值Table 2 Position value of blade section

經(jīng)本研究配準算法計算后，旋轉平移變換矩陣如表3所示，平移迭代過程如圖12（a）所示，旋轉迭代過程如圖12（b）所示，可知，在6～8次時，算例結果已趨于平穩(wěn)，算法迭代至27次達到收斂精度。一共用時316s，所得沿坐標軸的平移分量分別為（0.023,0.111,0.002），旋轉分量分別為（0.51,0.16,0.33）。

圖12 平移量和旋轉量迭代收斂圖Fig.12 Iterative convergence diagrams of translation and rotational volume

表3 精配準平移旋轉參數(shù)Table 3 Precise registration translation rotation parameters

各截面高度精配準后輪廓度公差值見表4，各截面位置度與標準范圍折線如圖13所示，截面1～6理論位置度絕對值分別為0.060mm、0.075mm、0.091mm、0.107mm、0.121mm、0.060mm，預配準截面1～6位置度值分別為-0.025mm、0.109mm、0.080mm、0.111mm、0.129mm、0.088mm，6個截面中4個截面出現(xiàn)位置度超差現(xiàn)象；精配準截面1～6的位置度值分別 為-0.034mm、-0.071mm、-0.089mm、-0.032mm、0.014mm、0.027mm，6個全部位于位置度公差帶內(nèi)，位置度合格的截面數(shù)由3條增加至6條。精配準后葉盆和葉背誤差曲面如圖14所示，與預配準結果相比，葉尖超差區(qū)域明顯減少，預配準葉片合格測量點數(shù)目為2712個，精配準后達到2784個，輪廓度公差合格率由96.86%上升為99.40%；截面配準情況如圖15所示，大部分測量點均位于葉片公差帶內(nèi)，截面位置度誤差減小。配準精度相比于4PCS與ICP組合算法在精度上有一定提高。

圖13 各截面位置度與標準范圍關系圖Fig.13 Position of each section in relation to standard range

圖14 精配準葉盆和葉背誤差曲面Fig.14 Precision alignment of pressure and suction surface error

圖15 截面配準情況Fig.15 Cross-sectional alignment figure

表4 精配準葉片截面位置度數(shù)值Table 4 Values for position of cross-section of precision-aligned blades

精鍛葉片配準工作完成后，測量數(shù)據(jù)與理論模型已經(jīng)達到余量分布與公差要求的最佳平衡，接下來構建如圖16（a）所示的自由狀態(tài)下的工藝幾何模型，通過實際測量數(shù)據(jù)與理論模型之間的偏差關系，得到未裝夾狀態(tài)下的實際模型原貌，該模型表示在加工無誤差的條件下實際葉片加工后的狀態(tài)，得到自由狀態(tài)模型后根據(jù)葉片裝夾狀態(tài)的在機測量數(shù)據(jù)將自由狀態(tài)下的工藝幾何模型變形為新的裝夾狀態(tài)下工藝模型，即加工用模型，如圖16（b）所示。

圖16 自由狀態(tài)和裝夾狀態(tài)工藝幾何模型Fig.16 Geometry model in unconstraint status and clamping status

得到加工模型后，根據(jù)加工模型生成葉片前后緣與榫齒數(shù)控加工程序，前后緣加工刀軌如圖17（a）所示，榫齒加工刀軌如圖17（b）所示。

圖17 前后緣和榫齒加工刀軌Fig.17 Cutting path for leading and trailing edge and tenon tooth

葉片加工完成后，采用三坐標測量機對葉片進行檢測，將測得的數(shù)據(jù)輸入專用檢測軟件BLADE軟件中，并設置好相應的輪廓度、位置度等檢測項目，最終生成圖18所示的檢測報告，其中第1列為實際偏差值，第2列為理論值，第3列為實際數(shù)據(jù)相對理論數(shù)據(jù)偏差值，第4和5列為公差帶范圍，根據(jù)報告可以看出，葉片位置度、輪廓度等公差均符合檢測要求。

圖18 葉片檢測報告Fig.18 Blade examining report

葉片輪廓檢測如圖19所示，青色曲線代表葉型公差帶，綠色曲線表示實際截面線位于公差帶內(nèi)。檢測結果表明整個葉型輪廓位于公差帶內(nèi)。說明此葉片葉型檢測合格，從而說明了多公差約束配準算法的有效性。

圖19 BLADE軟件報告Fig.19 BLADE software report

4 結論

（1）上述試驗表明，本研究提出的算法能夠有效降低錯誤匹配點對，降低配準區(qū)域的局部敏感度，提高了配準精度，配準求解采用BFGS算法大大提高了配準精度，降低了葉片截面的位置度偏差，提高了葉片的合格率。

（2）本研究存在的不足：滿意度評價模型所用的滿意度函數(shù)通過零件公差本身計算而來，未引入先前已經(jīng)加工零件的數(shù)據(jù)集；其次葉片預對齊與精配準所用時間較長，這些是本研究在接下來的研究中要進一步完善的方向。