探尋凹凸本質(zhì) 凝煉致用模型

東莞市第四高級(jí)中學(xué)(523220) 王文濤

一.試題呈現(xiàn)

題目1 (2021年廣東省中考第25題節(jié)選)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過(guò)點(diǎn)(?1,0),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有4x?12≤ax2+bx+c≤2x2?8x+6,求該二次函數(shù)的解析式.

題目2 (2020年高考江蘇卷第19題節(jié)選)已知關(guān)于x的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與h(x)=kx+b(k,b∈R)在區(qū)間D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x),若f(x)=x2+2x,g(x)=?x2+2x,D=(?∞,+∞),求h(x).

這兩道題的形式新穎,表面看起來(lái)考察的是二次函數(shù)恒成立問(wèn)題,但實(shí)質(zhì)背景是凹凸函數(shù)的切線方面的幾何特征.下面從一元函數(shù)微分學(xué)的視角給出新的解答和推廣.

二.解法探究

以題目1 為例,采用兩邊夾的思想,先必要性求值,再證明充分性.

解因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖像過(guò)點(diǎn)(?1,0),所以有a?b+c=0.又因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x,都有4x?12≤ax2+bx+c≤2x2?8x+6,令x=3,有0≤9a+3b+c≤0,所以9a+3b+c=0,與a?b+c=0聯(lián)立,解得b=?2a,c=?3a.

設(shè)f(x)=4x?12,g(x)=ax2+bx+c,h(x)=2x2?8x+6,則f(x)≤g(x)≤h(x),f(3)=g(3)=h(3).設(shè)F(x)=g(x)?f(x)=ax2+(b?4)x+c+12,F′(x)=2ax+b?4,由上知F(x)≥0=F(3),則x=3 是F(x)的極小值點(diǎn),由費(fèi)馬引理得F′(3)=0,即2a×3+b?4=0,所以a=1,b=?2,c=?3.

下證充分性.當(dāng)a=1,b=?2,c=?3,g(x)?f(x)=x2?6x+9=(x?3)2≥0,h(x)?g(x)=x2?6x+9=(x?3)2≥0,所以f(x)≤g(x)≤h(x),所以所求的解析式為y=x2?2x?3.

注f(x)=4x?12 是g(x)與h(x)在x=3 處的公切線.

三.相關(guān)背景

為行文方便起見(jiàn),以下根據(jù)文獻(xiàn)[1]給出函數(shù)凸(凹)的定義以及相關(guān)定理和幾何特征.

定義1 設(shè)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ∈(0,1),總有f(λx1+(1?λ)x2)≤λf(x1)+(1?λ)f(x2),則稱f為I上的凸函數(shù).反之,如果總有f(λx1+(1?λ)x2)≥λf(x1)+(1?λ)f(x2),則稱f為I的凹函數(shù).

定理1 設(shè)f為定義在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述論斷互相等價(jià):1?f為I上的凸(凹)函數(shù); 2?f′為I上的增(減)函數(shù);3?對(duì)I上的任意兩點(diǎn)x1,x2,有f(x2)≥f(x1)+f′(x1)(x2?x1)(f(x2)≤f(x1)+f′(x1)(x2?x1)).

定理2 設(shè)f(x)為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在I上f為凸(凹)函數(shù)的充要條件是f′′(x)≥0(f′′(x)≤0),x∈I.

通過(guò)以上論斷3?我們能得到凸(凹)函數(shù)的幾何特征:凸(凹)函數(shù)的曲線總是在它的任一切線的上方(下方).

四.三種推廣模型

性質(zhì)1 設(shè)f(x)和g(x)為開(kāi)區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù),f(x)≥g(x),f(x0)=g(x0),且滿足下列三個(gè)條件之一:(1)f(x)為凸函數(shù),g(x)為凹函數(shù);(2)f(x)為凸函數(shù),g(x)為凸函數(shù);(3)f(x)為凹函數(shù),g(x)為凹函數(shù),則f(x)和g(x)必存在公切線h(x),且對(duì)應(yīng)三個(gè)條件有(1)f(x)≥h(x)≥g(x);(2)f(x)≥g(x)≥h(x);(3)h(x)≥f(x)≥g(x).

證明設(shè)F(x)=f(x)?g(x),由條件知F(x)≥0=F(x0),則x0為函數(shù)F(x)的極小值點(diǎn),由費(fèi)馬引理得F′(x0)=0,即f′(x0)=g′(x0),又因?yàn)閒(x0)=g(x0),所以f(x)和g(x)在x=x0處存在公切線h(x).后略.

以上三個(gè)條件對(duì)應(yīng)了三種推廣模型,分別見(jiàn)圖1(對(duì)應(yīng)例1)、圖2(對(duì)應(yīng)題目1)、圖3(對(duì)應(yīng)例2).

圖1

圖2

圖3

五.典型例題

例1 已知f(x)=ex?1,g(x)=lnx+1 與h(x)=kx+b(k,b∈R)在區(qū)間(0,+∞)上恒有f(x)≥h(x)≥g(x),求h(x)的表達(dá)式.

解由ex?1≥kx+b≥ lnx+1,令x=1,得1≥k+b≥1,所以k+b=1.設(shè)G(x)=ex?1?(kx+b),G′(x)=ex?1?k,滿足G(x)≥0=G(1),則由費(fèi)馬引理有G′(1)=0,即1?k=0,所以k=1,b=0.下證充分性.當(dāng)k=1,b=0,G(x)=ex?1?x,G′(x)=ex?1?1,當(dāng)x∈(0,1),G′(x)<0; 當(dāng)x∈(1,+∞),G′(x)>0,所以G(x)≥G(1)=0,所以ex?1≥x.設(shè)H(x)=x?(lnx+1),H′(x)=.當(dāng)x∈(0,1),H′(x)<0;x∈(1,+∞),H′(x)>0,所以H(x)≥H(1)=0,所以x≥lnx+1,所以f(x)≥h(x)≥g(x).因此h(x)=x.

注解題的核心是先觀察或分析出是否存在x0使得f(x0)=g(x0).

例2 已知當(dāng)x≥,?x2+3x?2≤klnx+m≤x?1,求k,m.(答案:k=1,m=0)

例3 (重慶南開(kāi)中學(xué)試題節(jié)選)已知f(x)=x2,g(x)=blnx.定義:對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m,g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)數(shù)f(x)與g(x)的“隔離直線”.設(shè)b=2e,試探究f(x)與g(x)是否存在“隔離直線”?若存在,求出“隔離直線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(答案:存在;y=

解決如例3 這樣新定義概念的題型更需要一雙“慧眼”.

六.指導(dǎo)意義

三種推廣模型及蘊(yùn)含的思想方法也可以引導(dǎo)我們突破問(wèn)題.

例4 (2021年八省聯(lián)考第22題)已知函數(shù)f(x)=ex?sinx?cosx,g(x)=ex+sinx+cosx.(1)證明:當(dāng)時(shí),f(x)≥0.(2)若g(x)≥2+ax,求a.

(2)設(shè)φ(x)=ex+sinx+cosx?ax?2≥0=φ(0),所以φ′(0)=0,因?yàn)棣铡?x)=ex+cosx?sinx?a,所以φ′(0)=1+1?0?a=0,即a=2.充分性的證明從略.

思路剖析第(1)問(wèn)注意到m(x)=ex是凸函數(shù),n(x)=sinx+cosx,n′′(x)=,當(dāng)x∈,n′′(x)<0,此時(shí)n(x)是凹函數(shù).又m(0)=n(0)=1,m′(0)=n′(0)=1,因此m(x)和n(x)在x=0處有公切線y=x+1,故考慮分類(lèi)討論:在x∈部分用切線放縮的模型來(lái)做,其余兩部分根據(jù)三角函數(shù)值的周期性和有界性去討論,見(jiàn)圖4.第(2)問(wèn)也用到了觀察法和先必要性求值再證明充分性的方法.值得一提的是g(x)和y=2+ax均過(guò)(0,2),g′′(x)=ex?sinx?cosx=f(x),由第(1)知當(dāng)x >?π時(shí),g′′(x)≥0,所以第(2)問(wèn)的命題有凸函數(shù)(局部)的切線放縮的背景.由上述分析也可以對(duì)本題做以下改編.

圖4

改編題(1)已知:當(dāng)x∈(?,+∞),有ex≥kx+b≥sinx+cosx成立,求k,b.(答案:k=b=1)

(2)若ex+sinx+cosx≥kx+b≥2 ln(x+1)+2 對(duì)任何實(shí)數(shù)x成立,求k,b.(答案:k=b=2)

注在模型f(x)≥h(x)≥g(x)中,若f(x)恒大于g(x),則上述方法失效,需要分兩步f(x)≥h(x),h(x)≥g(x)來(lái)做,比如2020年高考江蘇卷第19題第(2)(3)問(wèn).

眾多高考題出題的背景涉及到凹凸函數(shù)的切線性質(zhì),又因?yàn)楦咧兴婕暗降暮瘮?shù)一般都具有二階導(dǎo)數(shù),所以在教學(xué)中可以高屋建瓴地適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)快速判斷函數(shù)在某一區(qū)間的凹凸性,而一旦具有凹凸性,便可嘗試?yán)闷淞己玫那芯€性質(zhì)作為解題的突破口.本文不拘泥于以二次函數(shù)為載體,而是對(duì)其推廣到一般的凹凸函數(shù);推廣的模型可以指導(dǎo)解決問(wèn)題并改編和命制題目(比如例4),體現(xiàn)了創(chuàng)新性.