厘清指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)離切交的位置關(guān)系

廣東省佛山市高明區(qū)第一中學(xué)(528500) 王順耿

引例已知函數(shù)f(x)=在其定義域(0,+∞)內(nèi)既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

A.(0,1)∪(1,) B.(0,1) C.(,+∞) D.(1,)

因?yàn)閒′(x)=x2?ax,要使函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)既有極大值又有極小值,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)有兩個(gè)變號零點(diǎn),即函數(shù)y=x2與函數(shù)y=ax有兩個(gè)交點(diǎn),探本溯源就是考察冪函數(shù)y=x2與指數(shù)函數(shù)y=ax圖象的位置關(guān)系.事實(shí)上,我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù),但對它們間較為深入的函數(shù)圖象位置關(guān)系還缺少研究,明確它們間的位置關(guān)系對某些問題的研究有一定的幫助,下面對兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系做進(jìn)一步的探究.

1 指冪兩函數(shù)圖象的位置分析

指數(shù)函數(shù)y=ax(a >0,a≠1)圖象分布在第一、二象限,冪函數(shù)y=xα(α≠0)圖象主要分布在第一象限,當(dāng)冪函數(shù)又是偶函數(shù)時(shí),第二象限圖象與第一象限圖象對稱,下面依據(jù)底數(shù)a和冪指數(shù)α的變化,從三個(gè)角度對兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系作深入探究.

1.1 確定的冪函數(shù)與變化的指數(shù)函數(shù)

冪函數(shù)y=xα(α≠0)的冪指數(shù)α確定,探究隨著指數(shù)函數(shù)y=ax(a >0,a≠1)底數(shù)a的變化,兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系,先考察兩函數(shù)在(0,+∞)上的位置關(guān)系.

③若0

④若lna <0,則0< a <1,函數(shù)y=lna與函數(shù)f(x)=相交一點(diǎn),方程ax=xα一解,在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=x0(x0∈(0,1))處相交.

⑧若lna >0,則a >1,函數(shù)y=lna與函數(shù)f(x)=相交一點(diǎn),方程ax=xα一解,在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=x0(x0∈(0,1))處相交.

特別地,當(dāng)冪函數(shù)y=xα又是偶函數(shù)時(shí),在(?∞,0)上,指數(shù)函數(shù)y=ax圖象與冪函數(shù)y=xα圖象的位置關(guān)系探究如下:

由a?x=(?x)α=xα(x >0,x≠1),得=?lna,同樣令f(x)=.

(1)當(dāng)α>0 時(shí),據(jù)圖1 有以下結(jié)論:

圖1

①當(dāng)?lna >,即0< a <(<1)時(shí),a?x >(?x)α,在(?∞,0)上,函數(shù)y=ax圖象在函數(shù)y=xα圖象上方;

②當(dāng)?lna=,即a=(<1)時(shí),在(?∞,0)上,函數(shù)y=ax圖象位于函數(shù)y=xα圖象上方并在x=?e 處兩函數(shù)相切;

③當(dāng)0

④當(dāng)?lna <0,即a >1 時(shí),在(?∞,0)上,函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=∈(?1,0))處相交.

(2)當(dāng)α<0 時(shí),據(jù)圖2 有以下結(jié)論:

圖2

⑤當(dāng)?lna <,即a >(>1)時(shí),a?x <(?x)α,在(?∞,0)上,函數(shù)y=ax圖象在函數(shù)y=xα圖象下方;

⑥當(dāng)?lna=,即a=(>1)時(shí),在(?∞,0)上,函數(shù)y=ax圖象位于函數(shù)y=xα圖象下方并在x=?e 處兩函數(shù)相切;

⑧當(dāng)?lna>0,即0

1.2 確定的指數(shù)函數(shù)與變化的冪函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax(a >0,a≠1)的底數(shù)a確定,探究冪函數(shù)y=xα(α≠0)隨著冪指數(shù)α的變化,兩函數(shù)間的位置關(guān)系,先考察兩函數(shù)在(0,+∞)上的位置關(guān)系.

(1)當(dāng)a >1 時(shí),lna >0,x=e 是函數(shù)g(x)在(1,+∞)上的極小值點(diǎn),也是(1,+∞)上的最小值點(diǎn),g(x)min=g(e)=e lna >0,如圖3 所示,依圖3 有下面結(jié)論:

圖3

①若α <0,函數(shù)y=α與函數(shù)g(x)=相交一點(diǎn),方程ax=xα一解,在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=x0(x0∈(0,1))處相交;

②若0< α α(x >1)和< α(0< x <1),即ax > xα(x >0),在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象在函數(shù)y=xα圖象上方;

③若α=e lna,函數(shù)y=α與函數(shù)g(x)=相切,在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象位于函數(shù)y=xα圖象上方并在x=e 處相切;

④若α >e lna,函數(shù)y=α與函數(shù)g(x)=相交兩點(diǎn),在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=x1(x1∈(1,e))和x=x2(x2∈(e,+∞))處相交.

(2)當(dāng)0< a <1 時(shí),lna <0,x=e 是函數(shù)g(x)在(1,+∞)上的極大值點(diǎn),也是(1,+∞)上最大值點(diǎn),g(x)max=g(e)=e lna <0,如圖4 所示,依圖4 有下面結(jié)論:

圖4

⑤若α >0,函數(shù)y=α與函數(shù)g(x)=相交一點(diǎn),在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=x0(x0∈(0,1))處相交;

⑥若e lna < α <0,有< α(x >1)和> α(0< x <1),即ax < xα(x >0),在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象在函數(shù)y=xα圖象下方;

⑦若α=e lna,函數(shù)y=α與函數(shù)g(x)=相切,在(0,+∞)上,函數(shù)y=ax圖象位于函數(shù)y=xα圖象下方并在x=e 處相切;

⑧若α

同樣地,給定指數(shù)函數(shù)y=ax,當(dāng)冪函數(shù)y=xα又是偶函數(shù)時(shí),在(?∞,0)上,冪函數(shù)y=xα圖象與指數(shù)函數(shù)y=ax圖象的位置關(guān)系,探究如下:

由a?x=(?x)α=xα(x >0,x≠1),得=?α,同樣令g(x)=.

(1)當(dāng)a>1 時(shí),據(jù)圖3 有以下結(jié)論:

①當(dāng)?α<0,即α>0 時(shí),在(?∞,0)上,函數(shù)y=xα圖象與函數(shù)y=ax圖象在處相交;

②當(dāng)0?α(x >1)和0),在(?∞,0)上,函數(shù)y=xα圖象在函數(shù)y=ax圖象上方;

③當(dāng)?α=e lna,即α=?e lna時(shí),在(?∞,0)上,冪函數(shù)y=xα又是偶函數(shù)時(shí),其函數(shù)圖象位于指數(shù)函數(shù)y=ax圖象上方并在x=?e 處相切;

④當(dāng)?α >e lna,即α

(2)當(dāng)0

⑤當(dāng)?α>0,即α<0 時(shí),在(?∞,0)上,冪函數(shù)y=xα圖象與指數(shù)函數(shù)y=ax圖象在處相交;

⑥當(dāng)e lna 1)和>?α(0< x <1),即a?x > xα=(?x)α(x >0),在(?∞,0)上,冪函數(shù)y=xα圖象在指數(shù)函數(shù)y=ax圖象下方;

⑦當(dāng)?α=e lna,即α=?e lna時(shí),在(?∞,0)上,冪函數(shù)y=xα又是偶函數(shù)時(shí),其函數(shù)圖象位于指數(shù)函數(shù)y=ax圖象下方并在x=?e 處相切;

⑧當(dāng)?α ?e lna時(shí),在(?∞,0)上,函數(shù)y=xα圖象與函數(shù)y=ax圖象在x=(?∞,?e))和x=(?e,?1))處相交.

1.3 底數(shù)a 與冪指數(shù)α 同步變化

當(dāng)冪指數(shù)α=底數(shù)a時(shí),探究指數(shù)函數(shù)y=ax(a >0,a≠1)與冪函數(shù)y=xa(a >0,a≠1)的位置關(guān)系,先考察在(0,+∞)上的位置關(guān)系.

由ax=xa,得,令h(x)=,由h′(x)==0,得x=e 是函數(shù)h(x)在(0,+∞)上的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),h(x)max=h(e)=,如圖5 示,依圖5 有下面結(jié)論:

圖5

④若?<0,則>0,由圖5 可得a >1,在(?∞,0)上,冪函數(shù)y=xα圖象與指數(shù)函數(shù)y=ax圖象在x=∈(?1,0))處相交.

這樣,就將指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)離切交的位置關(guān)系進(jìn)行了完整地探究,綜合上述探究,還可以得出一個(gè)一般性的結(jié)論:

若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)與冪函數(shù)y=xα(α≠0)在(0,+∞)上相切,必在x=e 處相切;在(?∞,0)上相切,必在x=?e 處相切.

2 簡單應(yīng)用

例1 見文首“引例”.

解由1.1 中的③得,當(dāng)1< a <時(shí),函數(shù)y=ax圖象與函數(shù)y=xα圖象在x=x1(x1∈ (1,e))和x=x2(x2∈(e,+∞))處交叉相交,故選D.

例2 已知不等式在(0,+∞)上恒成立,則t的取值范圍是____.

解由1.2 中的⑥、⑦得,當(dāng)e ln≤t+1<0,即?(1+e ln 3)≤t

依據(jù)1.3 中的函數(shù)h(x)=及圖5 可得結(jié)論:

題4 (2015年高考山東文科第3題)設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,則a,b,c的大小關(guān)系是( )

A.a

C.b

解據(jù)上面結(jié)論,顯然為b

例5 比較與與πe的大小

解據(jù)上面結(jié)論,顯然有

仔細(xì)體會上述的探究方法及其結(jié)論,當(dāng)我們碰到需要考慮指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)位置關(guān)系的問題時(shí),就可以汲取上述的研究方法或結(jié)論,以便快速方便地去解決相關(guān)指冪函數(shù)間的問題.