基于異質(zhì)預(yù)期的量子伯川德博弈復(fù)雜動力機制分析

張新立, 田英楠, 王嘉琪

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

0 引言

量子博弈論是以量子信息論為主要工具研究博弈論的一門新興交叉學(xué)科[1]。該理論興起于上世紀末期[2,3]，此后得到了迅速發(fā)展。這是因為量子博弈能為合作行為、消除困境、改變納什均衡策略等提供了一種新方法，并被成功運用到經(jīng)濟學(xué)[4]、信息科學(xué)[5]、系統(tǒng)決策[6]等領(lǐng)域。我們知道，寡頭壟斷已成為現(xiàn)實經(jīng)濟領(lǐng)域普遍存在的一種市場形態(tài)，古諾與伯川德寡頭則是市場上最為基本的兩種模型。Li等[7]最先用量子博弈論成功解決了連續(xù)性變量的古諾雙寡頭壟斷模型的悖論問題，后續(xù)學(xué)者根據(jù)其研究思路對不同寡頭模型進行了分析研究。譬如，Khan與Ramzan[8]分析了當(dāng)糾纏度最大時，量子伯川德模型有唯一納什均衡，且利潤達到最大；Sun等[9]研究了多人量子伯川德博弈問題，發(fā)現(xiàn)糾纏度越大利潤就越髙；Frackiewicz和Sadkowski[10]用兩種量子化方法探討了伯川德模型的均衡解。

在現(xiàn)實經(jīng)濟中，由于企業(yè)采取完全理性行為是很難實現(xiàn)的，很多學(xué)者又從放松理性假設(shè)角度對伯川德模型進行了分析研究。常見理性行為假設(shè)主要有：基本有限理性行為、適應(yīng)性有限理性行為、天真預(yù)期行為[11]及延遲有限理性行為[12]等。Ma與Si[13]對延遲有限理性行為的伯川德模型進行了研究，分析了影響動力機制因素；Iskhakov等[14]對生產(chǎn)成本降低的伯川德模型的動態(tài)性進行了分析；Demuynck等[15]對非對稱邊際成本的同質(zhì)伯川德模型的納什均衡點的穩(wěn)定性進行了研究；Sarafopoulos和Papadopoulos[16]對非線性成本函數(shù)的古諾伯川德混合模型均衡點的穩(wěn)定性進行了研究。

通過對上述文獻梳理不難發(fā)現(xiàn)還存在以下不足。一方面，上述文獻雖利用量子博弈理論對伯川德寡頭博弈模型進行了分析，但是建立在完全理性假設(shè)基礎(chǔ)之上的，對模型進行都是靜態(tài)分析。我們知道，由于人們認知的局限，參與人不可能做出完全理性決策，而必須考慮決策可能會受到很多暫時性的非理性因素的干擾，這種暫時性的干擾可能會破壞其他參與人對該參與人的理性預(yù)期，參與人在現(xiàn)實中一般都無法滿足完全理性的要求。另一方面，在已有上述非線性經(jīng)典伯川德動態(tài)博弈研究文獻中，雖然放松了參與人的完全理性假設(shè)，從參與人不同有限理性視角對經(jīng)典模型進行了動態(tài)分析，但卻存在著均衡解不穩(wěn)定性問題，均衡解的穩(wěn)定性問題仍然是亟待解決的主要問題，而量子博弈可以為解決此問題提供一個有效思路。因為在量子博弈中，量子糾纏是量子博弈論中理性選擇基礎(chǔ)，它的大小直接決定著博弈參與人的理性程度，它蘊含著經(jīng)典博弈描述所無法滿足的信息。鑒于此，本文在現(xiàn)有文獻研究基礎(chǔ)上，把量子博弈與非線性動力系統(tǒng)理論有效地結(jié)合起來，利用量子博弈理論，構(gòu)建了一個基于異質(zhì)預(yù)期的量子伯川德博弈模型，分析該系統(tǒng)均衡解的穩(wěn)定性及動態(tài)復(fù)雜性，并進一步討論了量子糾纏對其造成的影響，為控制該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象提供一個有效的方法。

1 量子伯川德寡頭博弈模型

設(shè)兩寡頭企業(yè)共同控制著某一產(chǎn)品市場，產(chǎn)品具有同質(zhì)性與替代性，產(chǎn)品的市場價格由逆需求函數(shù)qi=a-bpi+dpj,i,j=1,2,i≠j,確定。其中pi(i=1,2)表示產(chǎn)品價格，qi代表產(chǎn)量，a表示產(chǎn)品在市場上最高產(chǎn)量，00表示企業(yè)的邊際成本。兩寡頭企業(yè)的利潤函數(shù)可表示為

Ui(p1,p2)=qi(pi-c)

=(a-bpi+dpj)(pi-c),i,j=1,2,i≠j

(1)

易得，兩企業(yè)的最優(yōu)納什均衡價格為

(2)

(3)

代入(1)式，得到兩企業(yè)的量子利潤為

(4)

于是兩企業(yè)的邊際利潤為

(5)

求解可得到量子納什均衡為

(6)

2 異質(zhì)預(yù)期的量子伯川德博弈動態(tài)模型及均衡解分析

由于寡頭壟斷市場信息不完全性，每個企業(yè)掌握市場信息并不充分，只可能做出有限理性決策。不失一般性，假設(shè)第一個企業(yè)是有限理性的，即利用邊際利潤與本期價格來調(diào)整下一期的價格。當(dāng)本期邊際利潤為正(負)數(shù)時，它將在下一期提高(降低)價格以獲得更高利潤，其價格決策模型可表示為

(7)

其中α>0，表示價格調(diào)整速度。

第二個企業(yè)具有天真預(yù)期，根據(jù)自身邊際利潤反應(yīng)函數(shù)進行價格決策，即其下期價格是基于本期對其他企業(yè)價格最優(yōu)反應(yīng)，其在時期t+1的價格決策模型為

(8)

于是兩寡頭根據(jù)不同理性決策行為，形成價格博弈二維離散復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)為

(9)

我們可以通過求解動態(tài)系統(tǒng)(9)相對應(yīng)的非線性代數(shù)系統(tǒng)求其量子均衡解，在均衡點處xi(t+1)=xi(t)=xi，可得到復(fù)雜動態(tài)系統(tǒng)(9)的代數(shù)系統(tǒng)為

(10)

為使量子均衡點有經(jīng)濟意義，參數(shù)應(yīng)滿足如下條件

(12)

為研究量子均衡點的局部穩(wěn)定性，我們首先求出動態(tài)系統(tǒng)(9)的雅克比矩陣，即

其中

根據(jù)系統(tǒng)均衡點的穩(wěn)定性條件，當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)雅克比矩陣的所有特征值|λi|<1，i=1,2時，均衡點才是穩(wěn)定的。對于量子均衡點E1，有下述結(jié)論成立：

定理1量子邊界均衡點E1是不穩(wěn)定的。

也就是說，不管市場上產(chǎn)品的最高產(chǎn)量a，需求對自身價格彈性b，兩企業(yè)產(chǎn)品相互替代率d，邊際成本c及量子糾纏度γ如何變化，量子邊界均衡點E1都是不穩(wěn)定的。

對量子納什均衡點E2，其局部穩(wěn)定性有下述結(jié)論成立。

定理2量子納什均衡點E2是局部穩(wěn)定的充要條件是

顯然，此結(jié)論給出了量子納什均衡點E2的一個穩(wěn)定區(qū)域，E2在定理2描述的區(qū)域內(nèi)是穩(wěn)定的。如果價格調(diào)整速度α的取值范圍超出了這個區(qū)域，E2將變得不穩(wěn)定，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)分岔混沌現(xiàn)象。

3 數(shù)值模擬分析

由于量子伯川德博弈離散動態(tài)系統(tǒng)的兩企業(yè)都是基于有限理性而做出的決策，兩企業(yè)的產(chǎn)品價格博弈不可能瞬時就能達到量子納什均衡狀態(tài)，而是需要進行反復(fù)博弈，最終才能達到量子均衡狀態(tài)。因此，對于離散動態(tài)系統(tǒng)的動力學(xué)行為往往需要通過數(shù)值模擬方式來直觀地解釋。本節(jié)將通過數(shù)值模擬來展示價格調(diào)整速度與糾纏度等參變量對系統(tǒng)穩(wěn)定性及動態(tài)行為的影響。為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，用到的方法有單參數(shù)分叉圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、奇怪吸引子、初始條件敏感性及分形維數(shù)等。在使用Matlab 2018.b作為數(shù)值模擬工具編程中取兩企業(yè)的初始價格為x1(0)=x2(0)=6.0，在滿足式(12)條件下給出系統(tǒng)其他參數(shù)賦值分別為a=10，c=3，b=0.8，d=0,1。

3.1 分岔與混沌分析

圖1是當(dāng)糾纏度分別選取γ=0.0，0.4時，兩企業(yè)價格關(guān)于價格調(diào)整速度的動態(tài)演化圖。當(dāng)γ=0.0時，α滿足0≤α≤0.1376時，量子均衡點E2(8.857,8.857)是局部穩(wěn)定的，當(dāng)α>0.1376時系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔，當(dāng)α>0.1794時出現(xiàn)混沌行為。γ=0.4時，也有相似的結(jié)論。由圖1不難看出，隨著糾纏度的增大，價格調(diào)整速度對市場價格的靈敏度影響就越小，系統(tǒng)(9)的穩(wěn)定性就越高，出現(xiàn)分岔與混沌的可能性就越低，但兩企業(yè)的量子納什均衡價格卻下降了。

李雅普諾夫指數(shù)是系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率，是衡量系統(tǒng)是否存在混沌的一個重要指標(biāo)。系統(tǒng)是否存在混沌現(xiàn)象，可以從最大李雅普諾夫指數(shù)是否大于零非常直觀地判斷出來。圖2表示的是與圖1相對應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)。容易看出，最大李雅普諾夫指數(shù)大于0與糾纏度呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)性。因此，糾纏度能增強系統(tǒng)(9)的穩(wěn)定性，可以有效地控制系統(tǒng)分岔與混沌的出現(xiàn)，與延遲反饋控制法有異曲同工之妙。

奇怪吸引子是指時間趨于無窮大時，在任何一個有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道在其內(nèi)部一個集合。圖3描述了不同糾纏度條件下，經(jīng)過迭代2000次對應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇怪吸引子，顯示了α=0.2與0.27時的分形結(jié)構(gòu)。

圖4展示了當(dāng)α=0.15，γ=0.0，0.2，其他參數(shù)不變時，價格替代彈性d對兩企業(yè)產(chǎn)品價格的動態(tài)演化過程。兩企業(yè)的產(chǎn)品價格與替代彈性呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)性。隨著替代彈性的增加，企業(yè)產(chǎn)品價格會從穩(wěn)定進入不穩(wěn)定狀態(tài)，增大糾纏度有利于價格替代彈性b控制企業(yè)出現(xiàn)分岔與混沌，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定性狀態(tài)。

3.2 初始條件敏感性分析

為探究不同糾纏度下系統(tǒng)狀態(tài)對初始條件敏感性的影響，設(shè)兩企業(yè)的初始點為C0(x1(0),x2(0))=C0(6.0,6.0)和相對微小變動初始點C1(x1(0)+0.0001,x2(0))及C2(x1(0),x2(0)+0.0001)。圖5、圖6分別畫出了在不同糾纏度下，兩企業(yè)價格隨時間變化的演進過程。初始值與微小變動初始值對應(yīng)的兩條曲線在初期系統(tǒng)動態(tài)演化都是無序狀態(tài)且無明顯顯著差異，隨著時間增加，價格變動的差異就越來越明顯。在相同初始值下，企業(yè)1比企業(yè)2價格的變動振幅大。隨著糾纏度增加，價格變化較為平穩(wěn)，對初始值敏感性較弱，糾纏度控制著初始條件的敏感性。

3.3 動態(tài)系統(tǒng)的分形維數(shù)

4 結(jié)束語

針對量子博弈與非線性動力系統(tǒng)理論各自研究伯川德模型存在的不足，本文利用量子博弈相關(guān)理論，建立了一個基于異質(zhì)理性預(yù)期條件下的量子伯川德博弈模型，并對模型進行了復(fù)雜性分析與數(shù)值仿真。仿真結(jié)果表明：經(jīng)典伯川德動態(tài)博弈模型實際上是量子博弈模型的一種特殊情形，量子糾纏度的引入增加了量子納什均衡點的穩(wěn)定性，企業(yè)的價格調(diào)整速度上升到某一閥值時，系統(tǒng)會進入一個不可預(yù)測的混沌狀態(tài)，量子糾纏度對控制系統(tǒng)的混沌狀態(tài)起著重要的促進作用。