帶限位雙層隔離系統(tǒng)沖擊響應(yīng)計(jì)算方法研究

賈國輝， 孫自強(qiáng)， 張 磊， 閆 明

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽 110870；2.海軍研究院，北京 100161)

為避免重要艦船設(shè)備遭到破壞，設(shè)計(jì)時(shí)大多采用為設(shè)備安裝隔振器的方法[1]，通常隔離系統(tǒng)的固有頻率較低，因而在遭受沖擊載荷時(shí)加速度響應(yīng)幅值較小，但卻產(chǎn)生了很大的相對位移，有可能超過設(shè)備外接管系的承受極限，甚至超過隔振器本身的極限變形能力。為了防止設(shè)備的位移超過允許范圍，在設(shè)備上安裝限位器是行之有效的方法之一[2-3]，限位器安裝時(shí)通常留有一定的間隙，這使得帶限位系統(tǒng)存在二次沖擊問題。

安裝有彈性限位器的系統(tǒng)具有剛度分段線性的特點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者對分段線性系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)計(jì)算進(jìn)行了廣泛的研究。其中包括以攝動法、平均法、諧波平衡法和增量諧波平衡法等為代表的近似解析法[4～6]，但這些方法應(yīng)用范圍僅限于弱非線性系統(tǒng)，對于具有強(qiáng)非線性特點(diǎn)的分段線性系統(tǒng)很難給出準(zhǔn)確解。對于多自由度的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，通常只能采用數(shù)值方法求解[7-8]，但這些算法通常需要反復(fù)迭代計(jì)算，使計(jì)算效率非常低，特別是收斂精度設(shè)置得很高時(shí)。最后一種是接合法，首先分段求解線性方程，然后利用分段點(diǎn)上的運(yùn)動連續(xù)性條件進(jìn)行接合[9-10]。文獻(xiàn)[11]建立了含間隙彈性機(jī)械關(guān)節(jié)的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出了運(yùn)動的動力學(xué)方程。文獻(xiàn)[12]研究具有分段線性-非線性剛度項(xiàng)的單自由度系統(tǒng)的共振和穩(wěn)定性，采用修正攝動法求解了弱非線性方程的近似解。文獻(xiàn)[13]用分段延拓法對二自由度碰撞振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究。由接合法建立的線性方程通常左側(cè)含有帶間隙項(xiàng)，這使得建立的線性方程無法通過模態(tài)疊加法、直接積分法、動力設(shè)計(jì)分析方法等進(jìn)行求解。

本文在接合法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出分段建立標(biāo)準(zhǔn)形式方程的方法。以兩自由度分段線性系統(tǒng)為研究對象，首先采用坐標(biāo)平移的方法分段建立標(biāo)準(zhǔn)形式線性方程，然后使用模態(tài)疊加法求得了每段的沖擊響應(yīng)解析解，最后用MATLAB編寫了求解程序，進(jìn)而分析了限位器參數(shù)對沖擊響應(yīng)的影響。

1 坐標(biāo)平移方法

圖1示出了單層帶限位隔離系統(tǒng)簡化后的物理模型，圖中m表示被隔離設(shè)備的質(zhì)量，k1表示隔振器的剛度，k2表示限位器的剛度，Δ表示限位器單側(cè)間隙值，x(t)表示設(shè)備的位移隨時(shí)間t的響應(yīng)函數(shù)，u(t)表示系統(tǒng)受到的沖擊激勵函數(shù)。

圖1 單層帶限位隔離系統(tǒng)Fig.1 Shock isolation system with double displacement restrictors

圖2 力-位移關(guān)系曲線Fig.2 Force-displacement curve

2 雙層帶限位隔離系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

圖3示出了雙層帶限位隔離系統(tǒng)簡化后的物理模型，圖中m1和m2分別表示基座和被隔離設(shè)備的質(zhì)量，k1表示基座的剛度，k2表示隔離器的剛度，k3表示限位器的剛度，Δ表示限位器單側(cè)間隙值，x1(t)表示基座的位移隨時(shí)間t的響應(yīng)函數(shù)，x2(t)表示設(shè)備的位移隨時(shí)間t的響應(yīng)函數(shù)，u(t)表示系統(tǒng)受到的沖擊激勵函數(shù)。

圖3 雙層帶限位隔離系統(tǒng)Fig.3 Double-deck shock isolation system with double displacement restrictors

令基座相對固定基礎(chǔ)的位移z1(t)=x1(t)-u(t)，設(shè)備相對固定基礎(chǔ)的位移z2(t)=x2(t)-u(t)，設(shè)備相對于基座的位移z(t)=z2(t)-z1(t)，為方便分析，令進(jìn)入狀態(tài)(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的廣義時(shí)間分別為t0、t1和t2。當(dāng)系統(tǒng)受到?jīng)_擊激勵作用時(shí)，可以得到運(yùn)動微分方程：

(Ⅰ) 未接觸限位器狀態(tài)(-Δ

(1)

寫成矩陣形式為

(2)

首先討論特征值問題，設(shè)式(2)解的形式為z(t)=Aeiωt，可得

(3)

對應(yīng)的系統(tǒng)頻率方程為

(4)

解得系統(tǒng)的兩階固有頻率為

(5)

式中：ω01=(k1/m1)1/2為基座單獨(dú)存在時(shí)的固有頻率，ω02=(k2/m2)1/2為隔振系統(tǒng)的固有頻率;ω1和ω2分別為雙自由度系統(tǒng)的一、二階固有頻率。為求出模態(tài)向量，將式(5)代入式(3)第二式，并取A2=1，得到坐標(biāo)變換矩陣為

(6)

進(jìn)行如下坐標(biāo)變換

(7)

式中，q(t)為自然坐標(biāo)。將式(7)代入式(2)，并在方程兩邊左乘[U1]T得到解耦方程組的矩陣形式為

(8)

式中，

對解耦后的系統(tǒng)利用杜哈梅積分求得

通過坐標(biāo)變換式(7)可得

(11)

z2(t)=q1(t)+q2(t)

(12)

設(shè)備相對基座的位移為

(13)

根據(jù)式(1)第二式，設(shè)備的絕對加速度響應(yīng)為

(14)

(Ⅱ) 設(shè)備接觸到下限位器狀態(tài)(z(t)<-Δ)

設(shè)備接觸下限位器后，經(jīng)過坐標(biāo)平移，新的坐標(biāo)為

(15)

同理，對接觸后的兩自由度系統(tǒng)解耦可得

(16)

式中:ω11、ω22為接觸限位器后兩自由度系統(tǒng)的一、二階固有頻率;ω03=[(k2+k3)/m2]1/2為限位器和隔離器同時(shí)作用時(shí)系統(tǒng)的固有頻率。

新兩自由度系統(tǒng)的坐標(biāo)變換矩陣為

(17)

式(8)中的參數(shù)變?yōu)?/p>

(18)

通過坐標(biāo)變換，確定解耦后的初值為

(19)

對解耦后的系統(tǒng)利用杜哈梅積分求得

原坐標(biāo)系下設(shè)備的相對位移響應(yīng)為

(22)

設(shè)備的絕對加速度響應(yīng)為

(23)

(Ⅲ) 設(shè)備接觸到上限位器狀態(tài)(z(t)>Δ)

同理，設(shè)備的相對位移響應(yīng)為

(24)

設(shè)備的絕對加速度響應(yīng)為

(25)

3 沖擊響應(yīng)計(jì)算與分析

某雙層隔離系統(tǒng)，設(shè)備質(zhì)量m2=1 200 kg，基座質(zhì)量m1=1 074.7 kg，上層隔振器總剛度k2=1.12×107N/m，下層隔振器總剛度k1=7.2×106N/m。將以此為基礎(chǔ)，對限位參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

根據(jù)聯(lián)邦德國國防軍艦艇建造規(guī)范BV043/85的規(guī)定，采用正負(fù)雙半正弦波作為沖擊載荷輸入，沖擊載荷如圖4所示。圖4中，正波幅值1 256.637 1 m/s2，脈寬0.005 s，負(fù)波幅值314.159 3 m/s2，脈寬0.02 s。

圖4 沖擊載荷Fig.4 Shock load

3.1 限位器安裝間隙對系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的影響分析

根據(jù)上述確定的隔離系統(tǒng)參數(shù)和沖擊載荷，令限位器剛度與隔振器剛度的比值n=k3/k2為8。分別計(jì)算不同安裝間隙Δ(2～12 mm)下單層和雙層隔離系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，分析限位器安裝間隙對沖擊響應(yīng)的影響。相對位移幅值隨安裝間隙的變化如圖5所示。由圖可見，相對位移幅值隨安裝間隙的增大近似線性增大；雙層系統(tǒng)的相對位移幅值略大于安裝間隙，而單層系統(tǒng)要遠(yuǎn)大于安裝間隙，其主要原因是雙層系統(tǒng)中能量能夠傳遞給基座，而單層系統(tǒng)中的能量幾乎都用來克服限位產(chǎn)生位移。

圖5 相對位移幅值隨安裝間隙的變化曲線Fig.5 Relative displacement vs. installation clearance

圖6示出了絕對加速度幅值隨安裝間隙的變化。由圖可見，單層系統(tǒng)中加速度先增大后減小，呈現(xiàn)倒“V”型，這樣就存在某一特殊間隙使加速度取到了極大值，而在雙層系統(tǒng)中，加速度先增大后減小，再增大后減小，呈現(xiàn)“M”型，這樣就存在某兩個特殊間隙使加速度取到極大值。

圖6 絕對加速度幅值隨安裝間隙的變化曲線Fig.6 Absolute acceleration vs. installation clearance

當(dāng)限位器安裝間隙很小時(shí)或趨近于零，基座位移達(dá)到最大，基座加速度較小，系統(tǒng)相當(dāng)于上層定剛度的雙層隔離系統(tǒng)?？梢娫O(shè)備的相對位移和加速度響應(yīng)的降低可能以犧牲基座的相對位移為代價(jià)。

3.2 限位器剛度對系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的影響分析

隔離系統(tǒng)參數(shù)和沖擊載荷不變，令限位器單側(cè)安裝間隙Δ為5 mm。分別計(jì)算不同剛度比n下單層和雙層隔離系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)，分析限位器剛度對沖擊響應(yīng)的影響。相對位移幅值隨剛度比n的變化如圖7所示。由圖可見，單層系統(tǒng)中位移隨著剛度比n的增大近似線性減小，而在雙層系統(tǒng)中，在達(dá)到某一足夠大的剛度比之前位移快速減小，繼續(xù)增大剛度比位移近似水平，而加速度在這一剛度后增大速度加快。絕對加速度幅值隨剛度比n的變化如圖8所示。由圖可見，隨著剛度比n的增大，加速度總體上都呈現(xiàn)上升的趨勢。限位器剛度的增大總體上會導(dǎo)致基座位移和加速度的增大，其原因是克服限位過程中能量向基座傳遞。

圖7 相對位移幅值隨剛度比n的變化曲線Fig.7 Relative displacement vs. stiffness ratio n

圖8 絕對加速度幅值隨剛度比n的變化曲線Fig.8 Absolute acceleration vs. stiffness ratio n

同時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，在剛度比小于1.9單層限位器隨著剛度比的增加相對位移減小的同時(shí)，加速度則快速上升；而對于雙層限位器加速度上升的則緩慢的多。通過計(jì)算可知，剛度比為1.9時(shí)相較于剛度比為1時(shí)，相對位移下降了25%，而加速度只增加了3.5%；單層則是相對位移下降了10%，加速度增加了22.3%。從中不難發(fā)現(xiàn)雙層限位器存在一個較優(yōu)間隙，能夠快速減小被保護(hù)設(shè)備的緩沖位移距離，同時(shí)不會很大增加由于限位放大的加速度。

3.3 沖擊試驗(yàn)與仿真結(jié)果對比

為了驗(yàn)證模型的正確性，設(shè)計(jì)試驗(yàn)裝置如圖9所示。其中，1代表限位器，2代表設(shè)備質(zhì)量，3和5為由雙壓縮彈簧結(jié)構(gòu)組成的隔離器，4代表由各部分組成的基座質(zhì)量，設(shè)置限位器單側(cè)安裝間隙Δ=5 mm，限位器剛度與上層隔離器剛度比為8。在跌落式?jīng)_擊試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)，由臺面采集到的沖擊信號為峰值24g，脈寬7.5 ms半正弦脈沖。

圖9 試驗(yàn)裝置Fig.9 Test device

相對位移響應(yīng)曲線和加速度響應(yīng)曲線如圖10和圖11所示。由圖可見，試驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果具有較高的一致性，峰值誤差在20%以內(nèi)。由于阻尼的作用，試驗(yàn)中的相對位移和加速度不斷衰減，試驗(yàn)結(jié)果峰值略小于仿真結(jié)果峰值。說明按此法獲得的仿真峰值留有一定的安全系數(shù)。

圖10 設(shè)備位移響應(yīng)曲線Fig.10 Relative displacement of equipment

圖11 設(shè)備加速度響應(yīng)曲線Fig.11 Absolute acceleration of equipment

4 結(jié) 論

(1) 提出的坐標(biāo)平移法簡化了建立線性方程的過程，得到的線性方程左側(cè)具有標(biāo)準(zhǔn)形式，可以配合模態(tài)疊加法使用，提高了計(jì)算效率。坐標(biāo)平移的方法，以每段線性與橫軸的交點(diǎn)，即虛擬平衡點(diǎn)作為新的坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如此建立的線性方程左側(cè)具有標(biāo)準(zhǔn)形式，能夠采用常規(guī)的線性方法進(jìn)行求解。接合法得到的是精確解，相較于數(shù)值方法具有更高的精度。設(shè)計(jì)了帶限位器雙層隔離系統(tǒng)試驗(yàn)裝置，試驗(yàn)與仿真結(jié)果比較吻合，驗(yàn)證了模型的正確性。

(2) 單層系統(tǒng)中存在一個特殊安裝間隙使加速度取到極大值，雙層系統(tǒng)中這樣的間隙有兩個，應(yīng)用本文提供的方法可以計(jì)算出此間隙值，此特殊間隙隨沖擊載荷變化。在雙層系統(tǒng)限位器設(shè)計(jì)時(shí)，在保證設(shè)備振動性能的前提下應(yīng)該盡量減小間隙，在第一個特殊間隙前選取間隙值，當(dāng)小間隙不滿足要求時(shí)，應(yīng)該在兩間隙間進(jìn)行選取，以此類推。

(3) 雙層系統(tǒng)中，隨著限位器剛度的增大，相對位移幅值迅速減小，原因是能量不斷的向基座轉(zhuǎn)移，在達(dá)到一足夠大的剛度后位移幾乎不發(fā)生變化，穩(wěn)定在略大于安裝間隙的位置，繼續(xù)增大剛度導(dǎo)致加速度增大速度加快，因此每個安裝間隙存在與之對應(yīng)的最大理想剛度使其性能達(dá)到最大化。