二階非線性中立型阻尼微分方程的振動定理

曾云輝, 羅李平, 俞元洪, 羅慧慧

(1. 衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 衡陽 421002; 2.中國科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100190;3. 衡陽師范學(xué)院南岳學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系， 湖南 衡陽 421008)

起源于偏微分方程的Emden-Fowler型泛函微分方程在科學(xué)理論研究和工程技術(shù)應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，帶有阻尼項(xiàng)的二階中立型Emden-Fowler方程更為廣泛，已被應(yīng)用在天體物理，氣體動力學(xué)，高速計(jì)算機(jī)無損傳輸，智能機(jī)器人設(shè)計(jì)和神經(jīng)動力系統(tǒng)理論與工程等高新技術(shù)領(lǐng)域中[1-3]。

考慮二階中立型非線性阻尼微分方程

(a(t)φα(z′(t)))′+b(t)φα(z′(t))+

q(t)φβ(x(σ(t)))=0

(1)

其中t≥t0,a(t),b(t),p(t),q(t),τ(t),σ(t)∈C([t0,∞),R)，且

z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))

(2)

(3)

本文總假設(shè)下列條件成立：

(C1)a(t)>0，a′(t)+b(t)≥0,q(t)≥0，q(t)不恒等于0；

近年來，二階中立型微分方程解的振動性研究受到廣泛關(guān)注，取得了許多重要結(jié)果。例如，可以參看文獻(xiàn)[4-25]及其引文。但是，我們注意到其中大多數(shù)文獻(xiàn)的振動結(jié)果是關(guān)于無阻尼方程的，而對于阻尼方程的振動結(jié)果較少。我們可參看文獻(xiàn)[6]，[10]和[20]。而且，這些結(jié)果是在方程中立項(xiàng)系數(shù)p(t)滿足有界的條件下得到的，此意味著上述文獻(xiàn)中的振動定理不能應(yīng)用于當(dāng)t→∞時，p(t)→∞的情況。最近，Tunc等研究了方程(1)當(dāng)α=β=1時，即線性二階中立型方程的振動性。Grace等研究了方程(1)當(dāng)α=β時，即半線性二階中立型阻尼方程的振動準(zhǔn)則。Bohner等給出了方程(1)當(dāng)α=1，β>0時，即二階中立型Emden-Fowler阻尼方程的振動定理。本文的第一個目的是建立方程(1)對任意α>0和β>0成立的振動定理。它們改進(jìn),推廣和統(tǒng)一了文獻(xiàn)[6]，[10]，[20]的有關(guān)結(jié)果。并且將二階線性方程經(jīng)典的Leighton振動定理[26]推廣到二階中立型阻尼微分方程(1)。

最近，Jadlovska等考慮了方程(1)的特例

(4)

上式即為(1)中當(dāng)p(t)=0,b(t)=0和α=β的情況，作者介紹了(4)中當(dāng)σ(t)=t時經(jīng)典的Kneser振動準(zhǔn)則如下:

定理1.1設(shè)

作者在文獻(xiàn)[11]中改進(jìn)了定理1.1從σ(t)=t到σ(t)≤t,他們得到：

定理1.2設(shè)

則方程(4)振動。

本文的另一個目的是推廣文獻(xiàn)[11]的結(jié)果到中立型阻尼微分方程

(a(t)φα(z′(t)))′+b(t)φα(z′(t))+

q(t)φα(x(σ(t)))=0

(5)

其中z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),p(t)≥0。方程(4)是方程(5)中p(t)=0,b(t)=0時的特例。

在下面第1章中我們將給出0≤p(t)<1時的振動結(jié)果，在第2章中給出p(t)≥1的振動結(jié)果。

下面出現(xiàn)的函數(shù)不等式，均假設(shè)是最終成立。如通常一樣，不失一般，我們僅處理方程的最終正解。

1 當(dāng)0≤p(t)≤1時的振動結(jié)果

本節(jié)我們假設(shè):

(C3) 0≤p(t)≤1；

我們需要下面的輔助結(jié)果：

引理2.1設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，則z′(t)>0。

證設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解。則存在t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時有x(t)>0,x(τ(t))>0和x(σ(t))>0。故由(1)和(2)，我們有z(t)>0且

即

t≥t1

故有

(6)

(i)z′(t)>0，t≥t2；(ii)z′(t)<0,t≥t2

下面證明情況(ii)不可能成立。為此，設(shè)z′(t)<0,t≥t2。令

(7)

則由式(6)知，存在常數(shù)C>0,使得

-A(t)(-z′(t))α≤-A(t2)(-z′(t2))α=-C<0,

t≥t2

即

(8)

對式(8)從t2到t積分，我們得到

令t→∞,由(C1)得z(t)→-∞。此與z(t)>0矛盾。引理2.1證畢。

引理2.2設(shè)λ>0,D>0，則

引理2.3設(shè)σ(t)≤t,x(t)是方程(1)的最終正解。令

(9)

則我們有

(10)

其中A(t)的定義見(2.2)，λ=min{α,β},0

(11)

(12)

證明設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，則由引理2.1知z′(t)>0。故z(t)是增函數(shù)。由式(2)，我們有

x(t)≥(1-p(t))z(t),t≥t2

(13)

由引理2.1和式(13)，方程(1)成為

(a(t)(z′(t))α)′+b(t)(z′(t))α+q(t)(1-

p(σ(t)))βzβ(σ(t))≤0

(14)

(A(t)(z′(t))α)′+Q(t)zβ(σ(t))≤0

(15)

其中A(t)見(C2),Q(t)由式(11)定義。

從式(15)和u(t)的定義式(9)，我們有

t≥t2

(16)

現(xiàn)分兩種情況考慮式(16)：α≤β和α>β。

(i) 若α≤β，由式(15)知A(t)(z′(t))α是非增。因σ(t)≤t,故有

A(t)(z′(t))α≤A(σ(t))(z′(σ(t)))α

即

(17)

聯(lián)合式(16)和(11)，我們有

mα，t≥t2,我們得到

(18)

(ii) 若α>β。由式(15)得(A(t)(z′(t))α)′≤0。再由(C1),即a′(t)+b(t)≥0,我們得到z″(t)≤0,則有z′(t)≤z′(σ(t))。因此，式(16)產(chǎn)生

(19)

式(19)，我們得到

(20)

現(xiàn)式(18)和(20)可統(tǒng)一寫為

(21)

其中Q(t)，θ(t)的定義見式(11)。λ=min{α,β}，且

m=min{mα,1,mβ}

(22)

引理2.3，證畢。

定理2.1設(shè)(C1)～(C4)成立且σ(t)≤t。若存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+),使得

(23)

其中A(t),Q(t)的定義見式(15),θ(t)見式(12)，00,β>0,方程(1)振動。

證明：設(shè)x(t)是方程(1.1)的最終正解，且σ(t)≤t。則由引理2.3，我們有式(10)成立。以ρ(t)乘式(10)兩邊且從t2到t積分，我們得到

(24)

對上式右端積分的被積函數(shù)，利用引理2.2的不等式，我們有

令t→∞,我們得到上式與(23)矛盾。定理2.1證畢。

推論1(Leighton型振動準(zhǔn)則)設(shè)

(25)

證明：只需在(23)中取ρ(t)=1即可。

注2.1。 對于二階線性微分方程

(r(t)x′(t))′+q(t)x(t)=0,t≥t0

(26)

有Leighton振動準(zhǔn)則：設(shè)

(27)

則方程(26)振動。

顯然，當(dāng)方程(1)簡化為(26)時，推論2.1的條件即為條件(27)。因此，推論2.1是Leighton準(zhǔn)則的精確推廣，同時，它也改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[3]的定理4，放寬了其條件(19)，也改進(jìn)了文獻(xiàn)[6],文獻(xiàn)[7],文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[23]的定理2.1。

例2.1考慮Emden-Fowler阻尼時滯微分方程

(28)

方程(28)是Bohner等在文獻(xiàn)[6]中考慮的例2.4,文中利用定理2.1證明了式(28)的每一解振動或者漸近趨向于零,對一切β>1成立，我們?nèi)菀鬃C明條件(C2)和式(25)滿足，故由推論2.1可以得知方程(28)對一切β>0每一解是振動的。因此，推論2.1改進(jìn)了文獻(xiàn)[6]的定理2.1，而且推論2.1還可應(yīng)用于方程(1)。但文獻(xiàn)[6]的結(jié)果不能用于方程(1)。

例2.2考慮中立型時滯微分方程

(29)

方程(29)是文獻(xiàn)[14]中考慮的方程(2.14),作者利用推論2.2證明了當(dāng)q0>1.588 56時方程(29)振動。而利用文獻(xiàn)[2]的推論2,要求q0>5.443 81才能保證方程(29)的一切解振動。

因此，由定理2.1可得當(dāng)q0>1.5時，方程(29)振動。故定理2.1改進(jìn)了文獻(xiàn)[12]的推論2.2，也改進(jìn)了文獻(xiàn)[5]的推論2。

下面的定理是方程(5)的Kneser型振動定理。

定理2.2設(shè)(C1)～(C4)成立，σ(t)≤t。 若

(30)

則方程(5)振動。 其中R(t)和A(t)由(C2)定義，Q(t)由式(11)定義。

證明因當(dāng)α=β時，方程(1)即為方程(5)，故我們只須證明條件(30)成立保證了當(dāng)α=β時條件(23)成立即可。 現(xiàn)設(shè)式(30)成立，則存在ε>0使得對一切充分大的t，有

(31)

(32)

對上式從充分大的T>t0到∞積分，產(chǎn)生

dt=∞

(33)

另一方面，當(dāng)α=β時，有λ=α,m=1,Q(t)=σ(t)。我們在式(23)中取ρ(t)=Rα(σ(t))，即得式(33)成立。 定理2.2證畢。

例2.3考慮半線性時滯微分方程

(34)

方程(34)是文獻(xiàn)[21]中考慮的方程(7), 作者利用該文的定理3得到當(dāng)條件

q0>1.929 16

(35)

成立時, 方程的一切解振動。

因此， 當(dāng)

q0>0.163 1

(36)

成立時, 條件(30)滿足, 則由定理2. 2知方程(34)振動。 故定理2.2推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[21]的定理3。

注2.3定理2.2推廣了定理1.1和定理1.2。 我們將最近文獻(xiàn)[11]的Kneser型振動定理從時滯微分方程推廣到中立型微分方程。定理2.2給出的是中立項(xiàng)系數(shù)p(t)有界時的振動結(jié)果。

下面考慮p(t)無界時的情況。

2 p(t)≥1時的振動結(jié)果

本節(jié)假設(shè)：

(C5)p(t)≥1且最終不恒為1；

引理3.1設(shè)σ(t)≤τ(t),x(t)是方程(1)的最終正解。 令

(37)

則

(38)

其中

(39)

(40)

證明設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解。 由引理2.1，有z′(t)>0，即z(t)是增函數(shù)，由假設(shè)得

(41)

因τ(t)>t且是增函數(shù)，故有τ-1(t)>τ-1(τ-1(t)),于是有z(τ-1(t))>z(τ-1(τ-1(t)))。利用(40)和(41)得到x(t)≥P*(t)z(τ-1(t))。由(C6)，我們有

x(σ(t))≥P*(σ(t))z(g(t))

(42)

因σ(t)≤τ(t)，故有τ-1(σ(t))≤t或g(t)≤t。因此，方程(1)給出

zβ(g(t))≤0

(43)

(A(t)(z′(t))α)′+Q*(t)zβ(g(t))≤0

(44)

其中A(t)見式(7)，Q*(t)見(39)，g(t)由(C6)定義。

我們注意到(37)的ξ(t)與(9)的u(t)類似，不等式(44)和不等式(15)類似。 因此，可以用推導(dǎo)不等式(10)的方法來推導(dǎo)不等式(38)，故省略。 引理3.1證畢。

引理3.2設(shè)σ(t)≥τ(t)，x(t)是方程(1)的最終正解。 令

(45)

則

(46)

其中0

證明因σ(t)≥τ(t)，故τ-1(σ(t))≡g(t)>t，類似引理3.1，由式(1),(43)和(44)，我們得到

zβ(t)≤0

(47)

和

(A(t)(z′(t))α)′+Q*(t)zβ(t)≤0

(48)

剩下的證明類似于引理3.1，故省略。 引理3.2證畢。

定理3.1設(shè)(C1),(C2),(C5),(C6)成立，若存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)使得當(dāng)σ(t)≤τ(t)時，有

(49)

當(dāng)σ(t)≥τ(t)時，有

(50)

其中λ,K,L,A(t),Q*(t),g(t),θ1(t)的定義均可見引理3.1和引理3.2，則方程(1)對任意α>0,β>0都是振動的。

證明設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解，由引理2.1得z′(t)>0。因σ(t)≤τ(t)，故τ-1(σ(t))=g(t)≤t。令

(51)

則由引理3.1，我們有

(52)

用ρ(t)乘式(52)，從T到t積分，我們得到

(53)

對式(53)右端被積函數(shù)利用引理2.2，產(chǎn)生

(54)

在(54)中令t→∞，我們得到與(49)矛盾。

現(xiàn)考慮σ(t)≥τ(t)。利用引理3.2，令

(55)

則有

(56)

用ρ(t)乘(56)，從T到t積分，我們有

(57)

對(57)右端被積函數(shù)利用引理2.2，我們得到

(58)

上式中令t→∞，我們得到與(50)矛盾。 定理3.1證畢。

在定理3.1中取ρ(t)=1，我們有

推論3.1(Leighton型振動準(zhǔn)則)設(shè)

(59)

其中Q*(t)由(39)定義，則方程(1)振動。

下面的例子說明定理3.1的應(yīng)用。

例3.1考慮中立型阻尼微分方程

(60)

下面給出p(t)無界時方程(5)的Kneser型振動準(zhǔn)則。

定理3.2設(shè)(C1),(C2),(C5)和(C6)成立，當(dāng)σ(t)≤τ(t)時，有

(61)

當(dāng)σ(t)>τ(t)時，有

(62)

則方程(5)振動，其中R(t),A(t)定義見(C2),g(t)定義見(C6),Q*(t)定義見(39)。

證明由于定理3.1，定理3.2分別與定理2.1，定理2.2類似，后者都是利用前者來證明，方法是一樣的。 故省略。 定理3.2證畢。

例3.2考慮二階半線性中立型阻尼方程

t≥1

(63)

下面驗(yàn)證(61)：

故當(dāng)

(64)

我們有(61)成立，利用定理3.2知方程(63)對任意α>0都振動。

3 結(jié) 論

本文有兩個目的，一是推廣經(jīng)典的Leighton振動準(zhǔn)則和Kneser振動準(zhǔn)則。另一個是給出二階非線性中立型阻尼微分方程(1)的新振動準(zhǔn)則，使得既能適合Emden-Fowler方程，又能用于半線性微分方程，從而改進(jìn)、推廣和統(tǒng)一了若干文獻(xiàn)中的新結(jié)果。最近，Jadlovska和Dzurina在文獻(xiàn)[8]中將Kneser振動準(zhǔn)則推廣到二階半線性時滯微分方程，本文定理2.2和定理3.2進(jìn)一步將文獻(xiàn)[8]的結(jié)果推廣到中立型阻尼微分方程。我們不僅考慮中立項(xiàng)系數(shù)p(t)有界，而且也考慮了p(t)可以趨向于無窮的情況，我們得到的Leighton型振動準(zhǔn)則，也考慮了p(t)→∞(t→∞)的情況。上述結(jié)果在文獻(xiàn)中是沒有出現(xiàn)過的。本文給出的例子也說明所得結(jié)果是新的。 即文獻(xiàn)中的振動定理或者不能適用，或者所得結(jié)果不如我們的定理精確。本文是在假設(shè)(C2)成立條件下，即方程是正則型的。我們下一步將考慮(C2)不成立的情況，即方程是非正則型的。歡迎有興趣的同行一起合作和交流。