耦合組合剛度非線性能量阱的線性振子動(dòng)力學(xué)分析

張運(yùn)法， 孔憲仁， 岳程斐

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所， 哈爾濱 150080； 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 空間科學(xué)與應(yīng)用技術(shù)研究院， 深圳 518055)

航天器在發(fā)射時(shí)會(huì)面臨十分復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境，在過(guò)去的數(shù)十年中，抑制有害振動(dòng)進(jìn)入到結(jié)構(gòu)系統(tǒng),一直是值得關(guān)注的重要問(wèn)題。結(jié)構(gòu)減振的方法包括主動(dòng)、半主動(dòng)、被動(dòng)和混合方法，在實(shí)際工程中由于被動(dòng)減振應(yīng)用方便，因此被廣泛的使用[1-4]。Frahm等[5-9]提出了一種典型的被動(dòng)減振裝置線性動(dòng)力吸收器(TVA)，其構(gòu)造簡(jiǎn)單、減振效果顯著，因此得到許多學(xué)者廣泛的研究。但是TVA僅能在特定固有頻率附近具有較好的減振性能，減振帶寬比較窄。為增加吸振器抑制帶寬，Roberson[10]提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)，它是一個(gè)由黏性阻尼和強(qiáng)非線性(不可線性化)彈簧構(gòu)成的輕型附件。NES中振動(dòng)能量的吸收機(jī)制為靶能量傳遞(TET)，可以實(shí)現(xiàn)能量從源頭(系統(tǒng))到供體(NES)的單向不可逆?zhèn)鬟f[11]。NES與線性TVA相比，不僅減振帶寬更廣，抑制振動(dòng)更有效，而且還提高了魯棒性[12-15]。從此，NES得到了越來(lái)越多的關(guān)注和研究[16-19]。NES現(xiàn)在種類(lèi)豐富，可以分為分段線性NES、不光滑的剛度遞減NES、雙穩(wěn)定NES、內(nèi)部旋轉(zhuǎn)NES等等[20-23]。

Gendelman等[24-26]在研究耦合NES的系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)受到與其固有頻率相同的簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率時(shí)能量傳遞的情況，發(fā)現(xiàn)在NES和主結(jié)構(gòu)1∶1共振頻率附近系統(tǒng)會(huì)發(fā)生不尋常的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)(strongly modulated response, SMR)，其可以解釋為是由不同穩(wěn)定區(qū)間的跳躍現(xiàn)象引起。隨后利用數(shù)值方法對(duì)NES進(jìn)行優(yōu)化結(jié)果表明SMR比穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)在抑制振動(dòng)方面具有更好的效果，為產(chǎn)生SMR需要系統(tǒng)含有非線性且NES與線性主結(jié)構(gòu)比值足夠小。

由于在工程實(shí)際中NES理想的純立方剛度很難實(shí)現(xiàn)，因此為提高其在工程中的實(shí)用性，本文對(duì)耦合組合剛度NES的線性振蕩器動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了相關(guān)的建模和分析[27]。首先利用復(fù)變量平均法對(duì)研究目標(biāo)進(jìn)行建模，得到了系統(tǒng)的慢變方程。然后系統(tǒng)進(jìn)行鞍結(jié)分岔和Hopf分岔分析，對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)和穩(wěn)定進(jìn)行了分析。最后還利用能量譜對(duì)各部分質(zhì)量比、激勵(lì)幅值、組合剛度NES的剛度及阻尼帶來(lái)的影響進(jìn)行分析，并與純立方剛度NES在減振方面的應(yīng)用進(jìn)行比較，說(shuō)明了組合剛度NES的減振效果。

1 研究對(duì)象動(dòng)力學(xué)模型及方程

本文研究耦合組合剛度NES線性振子的系統(tǒng)模型，如圖1所示。

圖1 耦合組合剛度NES的線性振子模型圖Fig.1 Model diagram of the linear oscillator with combined stiffness NES

圖1中m1、m2分別表示線性振子和NES的質(zhì)量，kl、knl分別表示線性振子的線性剛度和NES的非線性剛度，其中knl由線性剛度k21和非線性剛度k23組成，c1、c2分別表示線性振子和NES的線性阻尼，簡(jiǎn)諧激勵(lì)F=F0cos(wt)，其中x1、x2分別表示線性振子和NES的位移，耦合組合剛度NES的線性振子運(yùn)動(dòng)方程如下所示

(1)

(2)

化簡(jiǎn)為

(3)

本文將采取如下假設(shè)，假設(shè)一：NES的質(zhì)量相對(duì)于線性振子的質(zhì)量而言微不足道，即0<ε<<1；假設(shè)二：本文研究系統(tǒng)在共振下的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況，線性振子和簡(jiǎn)諧激勵(lì)的頻率差距很小，假設(shè)兩者差別在ε1的范圍內(nèi)，滿(mǎn)足w= 1+εδ，其中δ代表頻率失諧系數(shù)[28]。因此可將運(yùn)動(dòng)方程化簡(jiǎn)為

(4)

用u、v分別表示系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)位移和線性振子與NES之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移，如下式所示

u=x1+εx2,v=x1-x2

(5)

代入式(4)進(jìn)行變量替換，可化為

(6)

本文對(duì)式(6)利用復(fù)變量平均法進(jìn)行相關(guān)研究，并進(jìn)行下式所示的變量替換

(7)

上式將系統(tǒng)周期解近似分解為快速振動(dòng)部分e(1+εδ)t和振幅慢調(diào)制部分φi(t)，在研究系統(tǒng)能量傳遞時(shí)主要考慮慢變部分，因此略去快變部分，可以得到系統(tǒng)的慢變方程，如下

(8)

2 分岔研究

將平衡固定點(diǎn)φ10、φ20代入耦合組合剛度NES系統(tǒng)的慢變方程式(8)可得

(9)

由式(9)第一式可解得

(10)

將式(10)代入式(9)第二式可將其化簡(jiǎn)為

(11)

式中，M= (2εδ+1)/(2εδ+2δ+1)，將式(1)進(jìn)一步化簡(jiǎn)可以得到鞍結(jié)分岔邊界條件為

α0+α1Z+α2Z2+α3Z3=0

(12)

α1+2α2Z+3α3Z2=0

(13)

對(duì)式(13)求解可以得到

(14)

將式(14)代入式(12)可以得到

(15)

式(15)已化為A與各參數(shù)的方程，即A=f(λ,δ)，其可以進(jìn)一步表示鞍結(jié)分岔邊界曲線，并區(qū)分周期解的情況，如圖2所示。在圖2中參數(shù)選取為ε= 0.1，k1= 1/3，k3= 4/3[25，28]。

圖2 δ = 2時(shí)組合剛度NES的鞍結(jié)分岔圖Fig.2 Saddle-node bifurcation diagram of combined stiffness NES when δ= 2

從圖2可得耦合組合剛度NES系統(tǒng)鞍結(jié)分岔邊界曲線的形狀近似為類(lèi)三角形，且[λ,A]平面被劃分為兩部分，在曲線與坐標(biāo)軸圍成封閉曲線內(nèi)任取一點(diǎn)λ= 0.2，A= 0.9，此時(shí)可以得到三個(gè)平衡點(diǎn)，即具有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；在封閉曲線外的上下部分各取一點(diǎn)，本文分別抽取λ= 0.2，A= 0.5和λ= 0.2，A= 1.4，此時(shí)可以得到一個(gè)平衡點(diǎn)，即只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。因此由圖2可以得出當(dāng)λ固定時(shí)，改變A的值可以得到不同數(shù)目的平衡點(diǎn)。

接著研究頻率失諧系數(shù)對(duì)鞍結(jié)分岔圖的影響,即改變?chǔ)牡闹?，其它參?shù)不變，可以得到不同δ的鞍結(jié)分岔圖，如圖3所示。

從圖3中可以得出，當(dāng)δ> 0時(shí)，隨著δ值增大，A的最大值在逐漸增大；當(dāng)δ= 0時(shí)，鞍結(jié)分岔不存在；當(dāng)δ< 0時(shí)，隨著δ值增大，A的最大值在逐漸減小。

由圖2、圖3可以得出，改變?chǔ)嘶颚亩伎赡苡绊憣?shí)根個(gè)數(shù)，而兩者影響方式不同，當(dāng)δ固定時(shí)，鞍結(jié)分岔形狀、所屬范圍不變，改變?chǔ)丝梢詫?dǎo)致其實(shí)數(shù)根數(shù)目變化，是因?yàn)槠涓淖兞怂鶎俚膶?shí)數(shù)根數(shù)目區(qū)域?qū)е?。而?dāng)λ固定，能固定其所屬的位置不變，改變?chǔ)目梢詫?dǎo)致實(shí)數(shù)根數(shù)目變化，則是因?yàn)槠涓淖兞税敖Y(jié)分岔所屬范圍導(dǎo)致。

接下來(lái)本文將利用Hopf分岔來(lái)考慮組合剛度NES系統(tǒng)所求平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，對(duì)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近考慮擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，令

φ1=φ10+ο1,φ2=φ20+ο2

(16)

代入慢變方程式(8)可得

(17)

式(17)的特征方程可以化簡(jiǎn)為

μ4+γ1μ3+γ2μ2+γ3μ+γ4=0

(18)

式中，μ為特征值。對(duì)上式系數(shù)進(jìn)行如下簡(jiǎn)化

(19)

可得特征方程各系數(shù)的表達(dá)式為

γ1=λ(1+ε)

3k223(k221(1+ε)2-2εδ(1+ε)-1)Z+

εδk221(1+ε)

γ3=(ελ(4ε2δ2+4εδ2+4εδ+1))/4

64δ((1+2εδ)2(δ-k221)+λ2(ε+1))+

64δ2λ2(ε+1)2+16λ2))/256+3Z(k221+

2k221δ(ε+1)-2δ-4δ2ε)k223δ2(2δ(ε+1)+

(20)

當(dāng)Hopf分岔出現(xiàn)時(shí)，平衡點(diǎn)穩(wěn)定性發(fā)生變化，且通過(guò)復(fù)平面的正負(fù)虛軸，因此有μ= ±iΩ，代入式(18)分離實(shí)虛部可得

Ω4-γ2Ω2+γ4=0,Ω(γ1Ω2-γ3)=0

(21)

消去Ω，式(21)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(22)

將式(22)可以整理為Z的表達(dá)式，如下所示

ν1Z2+ν2Z+ν3=0

(23)

其中

(24)

對(duì)式(23)進(jìn)行求解可得

(25)

從式(12)可得Hopf分岔穩(wěn)定區(qū)域的邊界為

(26)

當(dāng)δ=2，ε=0.1，k221=1/3，k223=4/3時(shí)，耦合組合剛度NES系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔和Hopf分岔如圖4所示。圖中在Hopf分岔曲線右側(cè)為穩(wěn)定區(qū)域，左側(cè)為不穩(wěn)定區(qū)域，從圖中可以得出鞍結(jié)分岔和Hopf分岔不同區(qū)域之間存在交叉。

圖4 系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔和Hopf分岔圖Fig.4 Saddle node bifurcation and Hopf bifurcation diagrams of the system

同時(shí)本文研究頻率失諧系數(shù)對(duì)Hopf分岔的影響，如圖5所示。從圖5中可以得出，隨著δ值增大，A的最大值及所屬的面積在逐漸增大。由圖4、圖5我們可得其他參數(shù)不變時(shí)，改變?chǔ)嘶颚挠绊懛€(wěn)定性的規(guī)律和影響鞍結(jié)分岔時(shí)的類(lèi)似。

當(dāng)δ=3,ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2時(shí)，系統(tǒng)所受激勵(lì)幅值變化對(duì)響應(yīng)幅值的影響如圖6所示。當(dāng)A=0.6，ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2時(shí)，系統(tǒng)所受激勵(lì)頻率變化對(duì)響應(yīng)幅值的影響如圖7所示。

在圖6中隨著A的增大，系統(tǒng)平衡點(diǎn)先是處于穩(wěn)定狀態(tài)，隨后處于不穩(wěn)定狀態(tài)，最后又回到穩(wěn)定狀態(tài)；系統(tǒng)平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)是先處與單個(gè)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)階段，隨后處于三個(gè)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)階段，最后又回到單個(gè)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)階段。在圖7中隨著δ的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性與增大A時(shí)的情況整體趨勢(shì)相同, 而平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)在類(lèi)似于增大A的三階段過(guò)程后又增加了一個(gè)三個(gè)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)階段和最后回到單個(gè)平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)階段。

圖6 當(dāng)激勵(lì)幅值變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)幅值的影響圖N20= |φ20|，實(shí)線：穩(wěn)定分支，星號(hào)：不穩(wěn)定分支Fig.6 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation amplitude changes. N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

由上面分析可知，平衡點(diǎn)實(shí)根個(gè)數(shù)與穩(wěn)定性皆可以被λ或δ的取值影響，但方式不同。當(dāng)δ固定時(shí)，鞍結(jié)分岔、Hopf分岔形狀固定，改變?chǔ)丝梢詫?dǎo)致位置移動(dòng)，進(jìn)而影響實(shí)根個(gè)數(shù)、穩(wěn)定性。然而當(dāng)λ固定時(shí)，其在鞍結(jié)分岔、Hopf分岔圖上位置不變，改變?chǔ)目梢詫?dǎo)致形狀變化，進(jìn)而區(qū)域覆蓋范圍發(fā)生變化，從而影響實(shí)根個(gè)數(shù)、穩(wěn)定性。同時(shí)還得出當(dāng)激勵(lì)幅值、頻率發(fā)生變化時(shí)，對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)幅值大小、平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性帶來(lái)影響的規(guī)律。因此，調(diào)節(jié)以上參數(shù)可以使系統(tǒng)更容易處于不穩(wěn)定和系統(tǒng)響應(yīng)幅值更小的狀態(tài)，對(duì)系統(tǒng)減振具有重要意義。

圖7 當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)幅值的影響圖N20= |φ20|，實(shí)線：穩(wěn)定分支，星號(hào)：不穩(wěn)定分支Fig.7 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation frequency changes, N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

3 耦合NES系統(tǒng)的減振應(yīng)用

本部分將研究耦合組合剛度NES的系統(tǒng)在減振方面的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使其在減振方面達(dá)到最優(yōu)，并比較其在減振方面的差異。由于耦合NES系統(tǒng)在發(fā)生共振時(shí)具有十分復(fù)雜的響應(yīng)機(jī)制和時(shí)變振幅。因此為了更準(zhǔn)確的表示不同NES的振動(dòng)抑制效果，本文利用能量譜來(lái)進(jìn)行比較分析。本文依據(jù)式(3)，可將耦合NES的系統(tǒng)線性振子的能量表示為

(27)

其中〈·〉t表示在時(shí)間區(qū)間t內(nèi)取平均值，前面提到使耦合NES的系統(tǒng)在減振方面達(dá)到最優(yōu)可以等價(jià)為使上式E的值在共振頻率附近達(dá)到最小，基于此本文進(jìn)行相關(guān)分析，選取t∈ [2 000,3 000]。

接下來(lái)對(duì)考慮頻率失諧影響的耦合單自由度NES系統(tǒng)在不同質(zhì)量比ε、不同激勵(lì)幅值A(chǔ)、不同NES剛度及阻尼下的減振情況進(jìn)行分析。先對(duì)不同質(zhì)量比ε、不同激勵(lì)幅值A(chǔ)、不同NES剛度情況下的減振情況進(jìn)行研究，其中k221/k223= 0.1，λ1= 0.2，主結(jié)構(gòu)在共振頻率附近的能量譜如圖8所示。同時(shí)利用Poincare映射和時(shí)間響應(yīng)對(duì)ε= 0.1,A= 0.3時(shí)不同剛度的系統(tǒng)進(jìn)行抽查分析，可得圖9 (a)、(b)。

由圖8可知當(dāng)ε、A固定時(shí)，耦合組合剛度NES的系統(tǒng)在共振頻率附近的平均能量隨著NES剛度不斷增加在逐漸減小且調(diào)制、減振帶寬在不斷增大，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生SMR如圖9(a)所示。但當(dāng)k223過(guò)大時(shí)，在共振頻率附近略小于共振頻率1處出現(xiàn)一個(gè)共振峰，對(duì)此處用Poincare和時(shí)間響應(yīng)進(jìn)行分析，由圖9(b)可知該處出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)，不利用系統(tǒng)減振，應(yīng)該在NES選值時(shí)避免這一情況。由圖8可知當(dāng)ε固定時(shí)，增大A會(huì)使達(dá)到最優(yōu)減振效果的剛度減小，同時(shí)使得最優(yōu)減振效果得到能量譜面積增大，不利于系統(tǒng)減振。當(dāng)A固定時(shí)，增大ε同樣會(huì)使達(dá)到最優(yōu)減振效果的剛度減小，且會(huì)使得最優(yōu)減振效果的能量譜帶寬增大，同樣不利于系統(tǒng)減振。綜上，在設(shè)計(jì)NES時(shí)，應(yīng)選取較小的ε、A和適當(dāng)大的NES的剛度以減小系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)能量譜帶寬和面積，降低系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的平均能量，達(dá)到最優(yōu)的減振效果。

進(jìn)一步對(duì)不同質(zhì)量比ε、不同激勵(lì)幅值、不同NES阻尼情況下的減振情況進(jìn)行研究，在k223= 1、k221= 0.1條件下分別取不同阻尼值，其主結(jié)構(gòu)在共振頻率附近的能量譜如圖10所示。同時(shí)當(dāng)ε= 0.1,A= 0.3時(shí)，利用Poincare映射和時(shí)間響應(yīng)對(duì)λ1= 0.1、λ1= 0.5的系統(tǒng)進(jìn)行分析，可得圖11。

由圖10可以得出當(dāng)ε、A固定時(shí)，增大NES的阻尼并不能使得線性主結(jié)構(gòu)平均能量減小，通過(guò)圖11能更清楚地得出當(dāng)NES選的阻尼較小時(shí)，在共振頻率附近系統(tǒng)存在SMR，此時(shí)對(duì)線性主結(jié)構(gòu)振動(dòng)抑制效果更好；當(dāng)NES的阻尼較大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)，此時(shí)不利于線性主結(jié)構(gòu)減振。由圖10可以得出當(dāng)ε固定時(shí)，增大A會(huì)使達(dá)到最優(yōu)減振效果的阻尼增大，同時(shí)使得最優(yōu)減振效果得到能量譜面積增大，不利于系統(tǒng)減振。當(dāng)A固定時(shí)，增大ε同樣會(huì)使達(dá)到最優(yōu)減振效果的阻尼增大，且使得最優(yōu)減振效果的能量譜帶寬和能量譜面積增大，同樣不利于系統(tǒng)減振。綜上，在設(shè)計(jì)NES時(shí)，應(yīng)選取較小的ε、A和適當(dāng)小的NES阻尼以減小系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)能量譜帶寬和面積，降低系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的平均能量，達(dá)到最優(yōu)的減振效果。

由上面分析可知通過(guò)改變材料參數(shù)，根據(jù)能量譜可以找出最優(yōu)減振效果的NES參數(shù)，本文選用評(píng)價(jià)最優(yōu)減振效果的標(biāo)準(zhǔn)主要是能量譜中E的面積最??；其次是能量譜中E的各處峰值最小。根據(jù)本文優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)同樣可得耦合組合剛度的單自由NES的系統(tǒng)，在立方剛度與線性剛度比為0.1時(shí)，取ε= 0.1,A= 0.3,k223= 3.38，λ1= 0.12，組合剛度NES取得最優(yōu)減振效果，并將其與文獻(xiàn)[26,30]中純立方剛度NES在ε= 0.1,A= 0.3時(shí)取得的最優(yōu)能量譜進(jìn)行對(duì)比可得圖12。

圖12 不同NES最優(yōu)時(shí)能量譜對(duì)比圖Fig.12 The comparison of the energy spectrum of the best vibration suppression for different NESs

由圖12可得各NES在共振頻率附近具有較好的振動(dòng)抑制效果；組合剛度NES相較于立方剛度NES在能量譜中，E的面積較小，且大多數(shù)位置處幅值要低，因此可以認(rèn)為，此時(shí)組合剛度NES比立方剛度NES振動(dòng)效果整體要好。

4 結(jié) 論

在承受諧波激勵(lì)載荷下耦合組合剛度NES系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)特性，本文首先對(duì)所研究系統(tǒng)進(jìn)行了建模, 利用復(fù)變量平均法得到了系統(tǒng)的慢變方程。其次，對(duì)慢變方程進(jìn)行了鞍結(jié)分岔和Hopf分岔分析，在進(jìn)行鞍結(jié)分岔分析中，得到了鞍結(jié)分岔邊界曲線的形狀皆近似為類(lèi)三角形，其將[λ,A]平面劃分為三個(gè)實(shí)數(shù)根和僅一個(gè)實(shí)數(shù)根的兩部分；同時(shí)得到了頻率失諧系數(shù)與激勵(lì)幅值的關(guān)系，即在其他參數(shù)固定的情況下，隨著δ模的增大A的最大值在逐漸增大。在進(jìn)行Hopf分岔研究中，得到所求平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性區(qū)域，并分析了激勵(lì)幅值、頻率變化對(duì)響應(yīng)幅值的影響，即隨著激勵(lì)幅值的增大響應(yīng)幅值在逐漸增大，且僅在A= 3附近為不穩(wěn)定部分；在改變激勵(lì)頻率時(shí)，僅在δ= 0附近存在不穩(wěn)定部分。還得到了耦合組合剛度NES系統(tǒng)平衡點(diǎn)實(shí)根個(gè)數(shù)與穩(wěn)定性皆可能被λ或δ的取值影響。當(dāng)δ固定時(shí)，鞍結(jié)分岔、Hopf分岔形狀固定，改變?chǔ)藢?dǎo)致所屬的區(qū)域變化，進(jìn)而影響實(shí)根個(gè)數(shù)、穩(wěn)定性。然而當(dāng)λ固定時(shí)，其在鞍結(jié)分岔、Hopf分岔圖上的位置不變，改變?chǔ)膶?dǎo)致所屬的區(qū)域范圍變化，進(jìn)而影響實(shí)根個(gè)數(shù)、穩(wěn)定性。這一部分還可以得出當(dāng)激勵(lì)幅值、頻率發(fā)生變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)幅值的大小、平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性帶來(lái)影響。由于SMR在不穩(wěn)定狀態(tài)更容易發(fā)生，因此分岔研究為后面減振應(yīng)用的優(yōu)化提供合理的參數(shù)選值建議。再次，利用能量譜對(duì)不同質(zhì)量比ε、不同激勵(lì)幅值、不同NES剛度及阻尼下的減振情況進(jìn)行分析，在本研究NES模型的前提下，在一定范圍內(nèi)增加NES的剛度可以有利于系統(tǒng)減振，而增大NES的阻尼不一定利于系統(tǒng)的減振，SMR出現(xiàn)有利于系統(tǒng)減振。在其它參數(shù)固定的前提下，ε、A取值越小越有利于系統(tǒng)減振。最后，本文還將組合剛度NES與立方剛度NES最優(yōu)減振時(shí)的能量譜進(jìn)行比較，驗(yàn)證了組合剛度NES減振性能的優(yōu)越性。