一類分?jǐn)?shù)階分段Duffing振子的混沌研究

王 軍， 申永軍， 張建超， 王曉娜

(1.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；2.河北軌道運(yùn)輸職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，石家莊 050021)

關(guān)于系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的問(wèn)題，很多學(xué)者利用Melnikov方法對(duì)其進(jìn)行了研究。如：牛玉俊等[1]利用Melnikov方法,研究了定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)出現(xiàn)Smale馬蹄意義下混沌的必要條件，為定點(diǎn)脈沖系統(tǒng)的混沌研究提供了一種解析工具。李海濤等[2]利用Melnikov方法研究了三穩(wěn)態(tài)能量收集系統(tǒng)同宿分岔以及混沌動(dòng)力學(xué)的定性研究方法，得到了發(fā)生同宿分岔的閾值曲線。沈曉娜等[3]通過(guò)研究非線性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)共存的光滑Melnikov函數(shù)和非光滑Melnikov函數(shù)，得到光滑同宿軌分叉和非光滑同宿軌分岔產(chǎn)生Smale馬蹄混沌的必要條件。李海濤等[4]利用Melnikov方法對(duì)非對(duì)稱勢(shì)能阱的雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)進(jìn)行研究得出了系統(tǒng)發(fā)生同宿分岔的閾值，研究結(jié)果將拓展非線性動(dòng)力學(xué)的研究范疇，為實(shí)現(xiàn)混沌響應(yīng)的調(diào)控提供一種策略。張紅麗等[5]利用Melnikov方法研究了一類帶有外激的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，得到當(dāng)某些參數(shù)值取特定值時(shí)，平均方程的異宿軌破裂，這可能引起Smale馬蹄混沌。Wang等[6]利用Melnikov方法研究了準(zhǔn)周期擾動(dòng)下單壁碳納米管在參量激勵(lì)和外激勵(lì)下的共振行為，獲得了具有周期攝動(dòng)近似系統(tǒng)的Smale馬蹄混沌的必要條件。劉彬等[7]利用Melnikov方法研究了一種液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)，得到了液壓缸非線性剛度約束系統(tǒng)發(fā)生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。

還有一些文獻(xiàn)主要針對(duì)整數(shù)階 Duffing 振子產(chǎn)生混沌的問(wèn)題進(jìn)行研究。如：李航等[8]利用Melnikov方法對(duì)Duffing系統(tǒng)的主-超諧聯(lián)合共振系統(tǒng)進(jìn)行全局分析，得到系統(tǒng)進(jìn)入Smale馬蹄意義下混沌的條件。Wen等[9]用Melnikov方法研究了強(qiáng)迫激勵(lì)下的整數(shù)階Duffing振子在位移延遲反饋和速度延遲反饋下的異宿分岔和混沌，分析了產(chǎn)生混沌的必要條件。Sun等[10]利用Melnikov方法研究了在諧振激勵(lì)下具有延遲位移和速度反饋的整數(shù)階Duffing振蕩器的混沌行為，得出了同宿分岔產(chǎn)生混沌的必要條件。Shen等[11]基于Melnikov方法研究了在共振激勵(lì)下具有延遲位移和速度反饋的Duffing振蕩器的分叉和混沌行為，建立了Smale馬蹄鐵意義上混沌解析的必要條件。

針對(duì)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)產(chǎn)生混沌問(wèn)題的研究還比較少。Xing等[12]利用Melnikov方法分析了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)欠諧波激勵(lì)下Duffing振子混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件，建立了Smale馬蹄形意義上的混沌必要條件，然后得到了混沌閾值曲線。Nwagoum Tuwa等[13]利用 Melnikov 方法分析了分?jǐn)?shù)階簡(jiǎn)支非線性黏彈性板在參數(shù)和外部激勵(lì)作用下的混沌振動(dòng)，提出了由同宿分叉引起的Smale馬蹄混沌現(xiàn)象的判據(jù)。Anague Tabejieu等[14]利用Melnikov方法分析了具有分?jǐn)?shù)階黏彈性特性的階次對(duì)梁振幅的影響，得出了由異斜分叉引起的Smale馬蹄形混沌發(fā)生的必要條件。Liu等[15]利用Melnikov方法分析了具有分?jǐn)?shù)階物理特性的壓電振動(dòng)能量采集器(VEH)系統(tǒng)的混沌行為，得出了均方準(zhǔn)則用于檢測(cè)該隨機(jī)系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的必要條件。Chang等[16]利用Melnikov方法分析了具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的非線性車輛懸架系統(tǒng)的混沌行為，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階數(shù)，剛度系數(shù)和系統(tǒng)的阻尼系數(shù)均會(huì)影響必要條件，并分別對(duì)這些參數(shù)的影響進(jìn)行分析。

通過(guò)以上文獻(xiàn)可以看出，現(xiàn)有研究多偏重于整數(shù)階或單獨(dú)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)研究，關(guān)于分?jǐn)?shù)階和分段系統(tǒng)耦合作用下系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的研究還很少。在含有分?jǐn)?shù)階的分段光滑系統(tǒng)中，由于分?jǐn)?shù)階和分段光滑系統(tǒng)非線性的雙重影響使產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的必要條件更加復(fù)雜。

本文基于Melnikov方法研究了分?jǐn)?shù)階分段Duffing振子產(chǎn)生Smale馬蹄混沌現(xiàn)象的必要條件。本文的結(jié)構(gòu)如下：在第1章中，基于Melnikov方法建立了系統(tǒng)同宿軌的Melnikov函數(shù)，并獲得了混沌的必要條件。在第2章中，通過(guò)數(shù)值仿真的方法對(duì)混沌必要條件進(jìn)行了驗(yàn)證，通過(guò)繪制系統(tǒng)的時(shí)間歷史，相圖和龐卡萊截面圖等驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性。在第3章中，分析了分?jǐn)?shù)階參數(shù)、分段參數(shù)等對(duì)混沌必要條件的影響。最后，對(duì)具體結(jié)論進(jìn)行了總結(jié)和分析。

1 分?jǐn)?shù)階分段Duffing系統(tǒng)的變換

研究如下分?jǐn)?shù)階分段Duffing振子

(1)

(2)

關(guān)于分?jǐn)?shù)階的定義有多種不同的形式，Caputo定義是最常用的形式之一。本章采用Caputo定義形式計(jì)算分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)如下

(3)

設(shè)式(1)存在周期解，即方程的一階穩(wěn)態(tài)解。采用平均法進(jìn)行研究，假設(shè)式(1)滿足

x(t)=acosφ

(4)

式中，φ=ωt+θ。

當(dāng)0

(5)

利用等價(jià)系數(shù)替換公式中的分?jǐn)?shù)階項(xiàng)，一階近似等價(jià)整數(shù)階系統(tǒng)可得到如下表達(dá)式

(6)

式中:系統(tǒng)等價(jià)的阻尼系數(shù)為C1=c+cp;系統(tǒng)等價(jià)的剛度系數(shù)為K=k-kp。

2 等效整數(shù)階分段Duffing振子的混沌必要條件

令εC=C1，εF=F1，將式(6)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程的形式

(7)

當(dāng)ε=0時(shí)，可得到式(7)的未擾系統(tǒng)。由于式(7)為分段系統(tǒng)，因此其未擾系統(tǒng)也為分段形式

(8)

由式(8)可以得到未擾系統(tǒng)的Hamilton方程，系統(tǒng)的Hamilton方程也為分段形式

(9)

(1)α1≤0且α2≤0時(shí)，系統(tǒng)只有一個(gè)鞍點(diǎn)(0，0)；

第一種情況系統(tǒng)不存在同宿軌，第二種和第三種情況系統(tǒng)僅存在一條同宿軌，第四種情況系統(tǒng)存在兩條同宿軌，本文僅考慮第四種情況。

(10)

同樣，當(dāng)M13時(shí)，未擾系統(tǒng)的同宿軌道為

(11)

依據(jù)Melnikov方法，得到非光滑系統(tǒng)同宿軌的Melnikov函數(shù)表達(dá)式為

(12)

(13)

將式(13)分為M1、M2兩個(gè)部分分別進(jìn)行計(jì)算，首先對(duì)第一部分M1進(jìn)行計(jì)算

(14)

由于式(14)包含四部分內(nèi)容，因此把它們分別定義為M11、M12、M13和M14，分別進(jìn)行積分，其中M11的詳細(xì)積分過(guò)程如下

(15)

同理，可以得到M12、M13和M14的積分值，分別如下

(16)

(17)

(18)

綜上，將M11、M12、M13和M14四部分內(nèi)容相加，即得到M1的結(jié)果

M1=

(19)

同樣的方法可得到M2的結(jié)果如下

(20)

將式(19)和式(20)的積分結(jié)果代入式(13)，經(jīng)整理得到

M(t0)=

(21)

(22)

當(dāng)M(t0)=0時(shí)，式(22)可變形得到

(23)

根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)，式(23)可近似為以下形式

(24)

式(24)即為系統(tǒng)產(chǎn)生Smale馬蹄變換意義下混沌的必要條件，經(jīng)整理得到系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要參數(shù)條件為

≤F

(25)

3 混沌必要條件的數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析得到的混沌必要條件，本節(jié)采用數(shù)值仿真方法進(jìn)行驗(yàn)證。選取系統(tǒng)的基本參數(shù)為：k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

根據(jù)第2章得到的混沌必要條件的解析結(jié)果，即式(25)，得到隨分?jǐn)?shù)階階次p變化的混沌必要條件的臨界線，如圖1所示，臨界線上各點(diǎn)即為系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的最小激勵(lì)振幅Fmin。由圖1可以看出，臨界線將F-p平面分為兩部分，分別為周期運(yùn)動(dòng)和非周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F-p平面上的點(diǎn)處于臨界線下方及臨界線上的區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)F-p平面上的點(diǎn)處于臨界線上方的區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)可能產(chǎn)生馬蹄意義上的混沌，即同宿軌發(fā)生了橫截相交，系統(tǒng)處于非周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為了驗(yàn)證上述結(jié)果，下面分別選取F-p平面上的點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值仿真，包括位于周期區(qū)域內(nèi)臨界線上的點(diǎn)①和點(diǎn)⑥、周期區(qū)域內(nèi)位于臨界線下方的點(diǎn)③和點(diǎn)⑤，以及非周期區(qū)域內(nèi)位于臨界線上方的點(diǎn)②和點(diǎn)④，逐一繪制這六個(gè)點(diǎn)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊圖進(jìn)行驗(yàn)證，分別如圖2～圖7所示。

圖1 混沌臨界曲線及驗(yàn)證點(diǎn)Fig.1 Chaotic critical curves and verification points

(1) 點(diǎn)①是臨界線上的點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階階次p=0.6，激勵(lì)振幅F=0.9，系統(tǒng)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖2所示，此時(shí)系統(tǒng)做穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，由圖2可知系統(tǒng)正處于單周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(2) 點(diǎn)②位于非周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，分?jǐn)?shù)階階次p=0.6，激勵(lì)振幅F=1.15，系統(tǒng)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖3所示，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(3) 點(diǎn)③位于周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，分?jǐn)?shù)階階次p=1，激勵(lì)振幅F=1.5，系統(tǒng)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖4所示，此時(shí)系統(tǒng)也處于單周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(4) 點(diǎn)④位于非周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，分?jǐn)?shù)階階次p=1，激勵(lì)振幅F=1.7，系統(tǒng)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖5所示，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(5) 點(diǎn)⑤位于周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，分?jǐn)?shù)階階次p=1.2，激勵(lì)振幅F=1.55，系統(tǒng)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖6所示，此時(shí)系統(tǒng)正處于周期五運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(6) 點(diǎn)⑥也是臨界線上的點(diǎn)，位于周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，分?jǐn)?shù)階階次p=1.2，激勵(lì)振幅F=1.848，系統(tǒng)的相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖7所示，此時(shí)系統(tǒng)正處于周期二運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖8～圖10分別為分?jǐn)?shù)階階次p=0.6、1和1.2時(shí)的系統(tǒng)分岔圖。由圖8的系統(tǒng)分岔圖可以看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p=0.6時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵(lì)振幅Fmin為1.130；由圖9的系統(tǒng)分岔圖可以看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p=1時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵(lì)振幅Fmin為1.685；由圖8的系統(tǒng)分岔圖可以看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p=1.2時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的激勵(lì)振幅Fmin為1.855。而由Melnikov解析方法得到的混沌必要條件如圖1臨界線所示，對(duì)應(yīng)于p=0.6、1和1.2混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin分別為0.900、1.620和1.848，可以看出由仿真得到的數(shù)值結(jié)果和由解析得到的結(jié)果存在一定誤差，這是由于使用Melnikov函數(shù)只是近似結(jié)果，同時(shí)分?jǐn)?shù)階微分也是采用的近似等價(jià)結(jié)果，因此解析結(jié)果與數(shù)值計(jì)算存在一定的誤差。由于誤差在可接受范圍內(nèi)，因此把系統(tǒng)中的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)變換成等價(jià)的整數(shù)階系統(tǒng)這種方法是可行的。

圖8 p=0.6時(shí)系統(tǒng)分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=0.6,K=0.6,ω=0.8)Fig.8 System bifurcation diagram when p=0.6

圖9 p=1時(shí)系統(tǒng)分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1,K=0.6,ω=0.8)Fig.9 System bifurcation diagram when p=1

圖10 p=1.2時(shí)系統(tǒng)分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1.2,K=0.6,ω=0.8)Fig.10 System bifurcation diagram when p=1.2

4 主要參數(shù)對(duì)混沌必要條件的影響

由式(25)可知，所選參數(shù)不同，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件也不同。為了更好地了解各項(xiàng)參數(shù)對(duì)分段非線性振子混沌必要條件的影響，下面采用數(shù)值仿真的方法進(jìn)行分析。所選基本參數(shù)為k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

4.1 線性剛度和線性阻尼系數(shù)對(duì)混沌必要條件的影響

本節(jié)分析系統(tǒng)線性剛度系數(shù)k和線性阻尼系數(shù)c對(duì)系統(tǒng)混沌必要條件的影響。圖11和圖12分別為線性剛度系數(shù)k和阻尼系數(shù)c變化時(shí)，由式(25)得到混沌必要條件的臨界線。

圖11 線性剛度系數(shù)k對(duì)混沌必要條件的影響Fig.11 Influence of linear stiffness coefficient k on necessary conditions of chaos

圖12 阻尼系數(shù)c對(duì)混沌必要條件的影響Fig.12 Influence of damping coefficient c on necessary conditions of chaos

由圖11可以看出，隨著系統(tǒng)線性剛度系數(shù)逐漸增大，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin也隨之不斷增大，臨界線斜率也逐漸變大。同樣，由圖12可以看出，隨著系統(tǒng)線性阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin值也隨之不斷增大。這是因?yàn)樽枘岬脑龃髸?huì)使系統(tǒng)消耗更多的能量，意味著系統(tǒng)同宿軌產(chǎn)生橫截相交發(fā)生混沌所需要的Fmin就越大。因此，增大線性剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)均可以減小系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，能夠在一定程度起到抑制混沌的作用。

4.2 分?jǐn)?shù)階階次和分?jǐn)?shù)階系數(shù)對(duì)混沌必要條件的影響

首先分析系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階階次p對(duì)系統(tǒng)混沌必要條件的影響。圖13為分?jǐn)?shù)階階次變化時(shí)，由式(25)獲得的系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的臨界線曲線圖。由圖13可以明顯看出，隨著分?jǐn)?shù)階階次p的增大，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)幅值Fmin先升高后降低，最大門檻值Fmin出現(xiàn)在p=1.2附近。

圖13 分?jǐn)?shù)階系數(shù)kp對(duì)混沌必要條件的影響Fig.13 Influence of fractional coefficient kp on necessary conditions of chaos

由式(5)分?jǐn)?shù)階項(xiàng)引起的等效阻尼表達(dá)式可以看出，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p由0逐漸增加到2時(shí)，等效阻尼先增大后減小，而同樣由式(5)分?jǐn)?shù)階項(xiàng)引起的等效剛度表達(dá)式可以看出，分?jǐn)?shù)階階次p由0逐漸增加到2時(shí)，等效剛度一直是逐漸減小。由4.1節(jié)可知，系統(tǒng)線性阻尼的增大會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin增大，而等效阻尼減小則會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin減小，因此當(dāng)p由0逐漸增加到2時(shí)，由等效阻尼部分引起的混沌必要條件激勵(lì)振幅Fmin先增大后減小；同樣，由4.1節(jié)得知，等效剛度的減小會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin減小。又由圖11和圖12可知當(dāng)系統(tǒng)線性阻尼和線性剛度較小時(shí)，線性阻尼對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin的影響更大，因此，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次p由1增加到2時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin隨之先增大后減小。

其次分析分?jǐn)?shù)階系數(shù)kp對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件的影響。保持基本參數(shù)不變，分?jǐn)?shù)階系數(shù)kp分別為0.2、0.4、0.6、0.8和1.0時(shí)，相應(yīng)的混沌必要條件臨界線如圖13所示，它們分別采用不同類型的曲線表示。

從圖13中曲線的變化情況可以看出，分?jǐn)?shù)階階次p取較小值p

由圖13可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階階次p繼續(xù)增大(pmin1時(shí)，由于分?jǐn)?shù)階等效剛度kp的變號(hào)，系統(tǒng)剛度K變?yōu)殡S著kp的增大而增大，而系統(tǒng)線性剛度K的增大會(huì)導(dǎo)致混沌必要條件的Fmin增大， 因此，在p>1時(shí)，隨著kp的增大，系統(tǒng)混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin也隨之增大。綜上可知，在p較大時(shí)(pmin

4.3 分段非線性剛度系數(shù)對(duì)混沌必要條件的影響

分析分段非線性剛度系數(shù)比值s=α1/α2對(duì)系統(tǒng)發(fā)生混沌必要條件的影響。同樣保持其他參數(shù)不變，選取α2=0.1，0.5和0.9時(shí)，得到隨著s變化的混沌必要條件臨界線如圖14所示。由圖可以看出同樣的s下，α2越小，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件的激勵(lì)振幅值Fmin越大，可見(jiàn)s一定時(shí)，選取較小的α2會(huì)抑制分?jǐn)?shù)階分段非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。同樣由圖14還可以看出，當(dāng)α2不變時(shí)，隨著s增大，產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin先迅速減小，到s=1附近時(shí)激勵(lì)振幅Fmin的降幅逐漸變緩，而后繼續(xù)緩慢減小，s越大的地方，F(xiàn)min的變化越平緩。

圖14 分段非線性剛度系數(shù)比值s對(duì)混沌必要條件的影響Fig.14 Influence of piecewise nonlinear stiffness coefficient ratio s on necessary conditions of chaos

由混沌必要條件式(25)可知，分段非線性系數(shù)α1和α2對(duì)混沌必要條件的影響是一致的，因此可以得到：隨著α1或者α2的減小，系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin越大，而對(duì)于任意選定的α1或者α2，應(yīng)盡可能選取較小的α2或者α1，這樣會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌必要條件的激勵(lì)振幅Fmin越大，系統(tǒng)非周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域越小，越不易產(chǎn)生混沌。

5 結(jié) 論

本章對(duì)含有分?jǐn)?shù)階微分的分段Duffing系統(tǒng)的混沌閾值進(jìn)行了研究。

(1) 基于Melnikov方法，得到了系統(tǒng)產(chǎn)生Smale意義下混沌的必要條件。建立了各參數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)混沌必要條件得到了系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域和非周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域。

(2) 通過(guò)數(shù)值模擬相圖、時(shí)間歷程圖和龐卡萊截面圖以及系統(tǒng)分岔圖對(duì)混沌必要條件進(jìn)行了驗(yàn)證，并詳細(xì)分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌必要條件的影響，得出系統(tǒng)的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、分?jǐn)?shù)階參數(shù)以及分段非線性參數(shù)均對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的必要條件有著重要影響，通過(guò)改變這些參數(shù)可以改變系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和非周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域，研究結(jié)果對(duì)類似系統(tǒng)的混沌抑制有一定意義。