基于Guyan縮聚的模型修正方法在管道結(jié)構(gòu)的應用

張明輝 戴納新

南華大學土木工程學院 衡陽 421000

引言

近些年，核能因其良好的安全性和經(jīng)濟型等優(yōu)點被大量使用。但切爾諾貝利和福島核事故對世界核電的發(fā)展造成了巨大的負面影響，暴露出了當前核工業(yè)不足之處。核電站管道的動力學分析一直是行業(yè)研究的熱點問題，為了能夠精確的掌握管道結(jié)構(gòu)的動力學特性，必須對研究對象建立精確可靠的模型。錯誤或誤差較大的動力學分析是沒有價值的，甚至會造成巨大的工程事故。

當前，主要通過試驗建模和理論建模兩種方法了解結(jié)構(gòu)的動力學特性。試驗建模是基于試驗模態(tài)分析方法，對結(jié)構(gòu)進行試驗測試，再利用采集到的測試數(shù)據(jù)通過模態(tài)參數(shù)識別技術(shù)識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，從而了解結(jié)構(gòu)的動力學特性。研究人員認為試驗測試能夠反映出研究對象真實的動力學特性，實驗建模的結(jié)果是可靠的。理論建模主要是利用有限元［1］方法，利用仿真技術(shù)在計算機中計算出建立的有限元模型，得到仿真模型的動力學特性。有限元建模可以在設(shè)計初期完成理論分析，為整個設(shè)計減小出錯率以及縮短工期。但有限元方法中隱含了許多的假設(shè)和簡化，例如實際工程管道系統(tǒng)焊接處、法蘭與閥門等都會影響到有限元模型的建立。利用實測數(shù)據(jù)來修正有限元模型，使有限元模型的結(jié)果更貼合實際結(jié)果，解決有限元建模的缺陷。

有限元模型修正中最主要的兩部分是自由度匹配和修正算法。由于測試點布置的局限性和部分自由度難以測量。測試振型自由度一般均小于有限元模型自由度數(shù)量，特別是復雜龐大的管道系統(tǒng)，有限元模型的自由度可能成千上萬，然而試驗測量數(shù)據(jù)一般僅有幾十或幾百。因此，需要對自由度進行匹配。

目前，主要有模型縮聚法和模態(tài)擴階法。前者是將有限元模型縮減到與試驗測量的自由度保持一致，后者是把測量振型擴展到與有限元模型具有相同的自由度數(shù)。模型縮聚后求出的特征參數(shù)與實測的特征參數(shù)符合，并且能保證將其帶回完成自由度下的有限元后，二者仍能保持一致。模態(tài)擴階法在擴展過程中保留了原有的試驗誤差，并且試驗自由度數(shù)量遠小于有限元模型自由度數(shù)量，因此模態(tài)擴展可能會將試驗誤差進行放大處理。當前，常用的自由度匹配法是模型縮聚技術(shù)。模型縮聚不僅可以節(jié)省計算機資源，還能夠提高工作效率。

現(xiàn)有的修正算法主要有迭代修正方法和直接修正方法兩類［2］。迭代修正方法有明確的物理含義，但模型參數(shù)的選取十分嚴格，且需要進行大量的結(jié)構(gòu)分析，限制其在復雜的結(jié)構(gòu)中的廣泛應用［3－5］。直接修正方法是一種基于獨立變量、在準確約束條件下最小化函數(shù)的方法。這類方法不需要迭代計算，因此消除了計算發(fā)散和較大計算量的可能性。Baruch［6］和Berman［7］方法為直接修正方法中最常使用的解析方法。

1 直接模型修正方法

1.1 質(zhì)量矩陣修正

Berman和Nagy［8］運用類似Baruch［6］修正剛度矩陣的方法，把試驗測量結(jié)果作為參考基準，去修正分析質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

質(zhì)量矩陣的修正問題可看成運用已知的特征向量矩陣和質(zhì)量矩陣的解析估計，推導出質(zhì)量矩陣的最優(yōu)解。通過約束最小化式：

并滿足正交性約束條件：

利用拉格朗日乘子法，將約束方程代入該函數(shù)并進行最小化，計算得到：

其中，Γ是拉格朗日乘子矩陣，將式（3）與質(zhì)量正交性聯(lián)合，得出修正矩陣為：

1.2 剛度矩陣修正

根據(jù)上述修正后的質(zhì)量矩陣，采用Baruch［6］方法對剛度矩陣進行修正。該方法是基于約束最小化技術(shù)，推導出滿足對稱性和特性方程約束的剛度矩陣最優(yōu)解。

Baruch等利用范數(shù)進行最小化，即：

利用拉格朗日乘子算法將要最小化的增廣函數(shù)表示為：

其中，ωmj為第j個測試得到的固有頻率，拉格朗日乘子γΛij和γKij可表示為矩陣ΓΛ和ΓK的元素。

當拉格朗日乘子僅有下式約束時，產(chǎn)生唯一解：

對式（7）取待修正剛度矩陣（r，s）元素的偏微分，得到：

ΓK是反對稱，經(jīng)過整理可以得到K滿足：

式子兩側(cè)都右乘Φ，利用特征向量矩陣的正交性和運動方程得到：

引入假設(shè)條件ΓTΛMaΦ是對稱的，得到：

其中，將［I＋ΦΦTMa］矩陣取逆，才能得到式（11）的簡化形式。

對于任意等冪矩陣A，都有：

在這種情況下，得到它的逆為：

把式子（13）代入到（11）中，得到ΓΛ滿足等式：

根據(jù)式（14）能夠檢查出ΓTΛMaΦ 是對稱的，驗證了前面的假設(shè)。將式（14）代入到式（9）中，合并同類項得到修正剛度矩陣的表達式為：

Baruch推導的剛度矩陣是唯一的，是式（5）優(yōu)化的最小解。

2 模型修正的縮聚方法

2.1 Guyan縮聚法

Guyan［9］縮聚法完全忽略了副自由度的慣性影響得出了自由度轉(zhuǎn)換矩陣，也成為靜力縮聚法。Guyan縮聚法是一種非常經(jīng)典的方法。該方法將結(jié)構(gòu)自由度［X］分為主自由度［Xa］和副自由度［Xb］，根據(jù)主自由度和副自由度的相應位置，調(diào)整剛度矩陣和質(zhì)量矩陣中元素的位置，在分塊形式下的特征方程為：

展開公式（1）的第2 行可以得到：

忽略副自由度的慣性效應，得到副自由度與主自由度的關(guān)系：

從而得到結(jié)構(gòu)自由度為：

其自由度轉(zhuǎn)換矩陣T為：

此時式（4）可簡化為：

將式（6）代入特征方程中，兩端同時乘上TT，得到縮聚后的廣義特征方程為：

MG和KG為縮聚后的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，轉(zhuǎn)換形式為：

2.2 IRS縮聚法

IRS［10］縮聚法是在靜力縮聚的基礎(chǔ)上，增加了慣性項使得縮聚后的精度有了進一步的提升。并且可以通過迭代運算進一步提高模型縮聚的精度。

將式（16）在頻域內(nèi)用分塊矩陣表示為：

其中，ω是角頻率。同式（17）整理得到：

將上述方程通過級數(shù)展開后，僅保留第一階慣性項得到：若將所有慣性項去掉，即得到Guyan 縮聚法［9］。利用靜力縮聚求出代入式（26）整理得到：

其中KS＝TT1KT1、MS＝TT1MT1，自由度轉(zhuǎn)換矩陣T1為：

3 數(shù)值仿真

通過對兩個算例進行模型修正，一是觀察修正后結(jié)構(gòu)結(jié)果的精確度，二是觀察修正后結(jié)構(gòu)在地震激勵下的響應情況。本文利用有限元軟件計算出真實的結(jié)構(gòu)工況，將得到的結(jié)果作為試驗數(shù)據(jù)代入到有限元模型修正中。通過Matlab［11］來進行大量的矩陣計算和動力分析。主要對修正后的有限元模型模態(tài)頻率和時程分析的研究，目的在于為核管道在地震響應下更精確的模擬提供一種有效的方法。

3.1 實驗室管道

本文模擬一個單端固定的實驗室管道結(jié)構(gòu)如圖1 所示，管道長度為L＝2650mm，外徑D＝60mm，厚度2.5mm，彈性模量E＝200GPa，泊松比0.3，密度7850kg／m3。“試驗測試”數(shù)據(jù)來源于一個22 自由度模擬系統(tǒng)獲得。由于管道處在熱處理工藝下，導致管道材料屬性發(fā)生了變化。假設(shè)實驗管道材料的彈性模量發(fā)生了變化，將其彈性模量降低為原本的0.8 倍，其結(jié)果作為“試驗測量”數(shù)據(jù)，對有限元模型進行修正。

圖1 管道單元部分組成的模型示意Fig.1 Model schematic diagram of pipe unit parts

管道有限元模型采用的是單節(jié)點2 個自由度進行分析，分別是平動自由度和轉(zhuǎn)動自由度。直管單元的結(jié)點位移為d＝（ui qj）T。除去約束，該管道共有20 個自由度。為了更好的修正管道模型，把仿真結(jié)果所獲取的低階頻率和所有平動模態(tài)振型作為試驗數(shù)據(jù)，代入到有限元模型中對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣進行修正。利用Guyan 縮聚方法來實現(xiàn)自由度匹配，通過編寫Matlab程序?qū)⒅鞲弊杂啥冗M行分塊處理，將管道中的平動向視為主自由度，轉(zhuǎn)動向視為副自由度。有限元模型的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣縮聚后為一個10 ×10 的矩陣。運用剛度矩陣修正方法計算得到模型的特征值，如表1 所示給出了精確值（實際結(jié)構(gòu)）、修正前和修正后的數(shù)值。

表1 管道前10 階固有頻率的對比Tab.1 Comparison of the first 10 natural frequencies of pipes

由于試驗數(shù)據(jù)來源于仿真軟件數(shù)據(jù)具有完備性，測量數(shù)據(jù)與有限元模型的自由度相匹配，不需要進行Guyan縮聚或模態(tài)擴階，且修正后的計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)是一致的。在真實工況下，實測的自由度數(shù)量遠低于有限元模型，相對于平動自由度來說，轉(zhuǎn)動自由度難以測量。因此，僅考慮平動項的數(shù)據(jù)進行修正有限元模型。這樣更符合真實的情況。通過表1可以看出，當有限元模型進行剛度矩陣修正后，計算出管道結(jié)構(gòu)的固有頻率能夠較好的還原出真實的管道情況，相比修正前誤差有很大的提升，相對誤差均小于3.92182E-10 的絕對值。

本文同時也運用了IRS 模型縮聚技術(shù)實現(xiàn)自由度匹配如表2 所示，在模型縮聚中IRS 法相比Guyan縮聚法具有更好的效果，IRS 法中轉(zhuǎn)換矩陣是將結(jié)構(gòu)慣性量考慮進去。由于有限元剛度矩陣與真實的剛度矩陣存在誤差，轉(zhuǎn)換矩陣中多次引入含有誤差的剛度矩陣，致使IRS 法在剛度矩陣修正后相比Guyan縮聚具有更大的誤差。無論使用的是何種縮聚技術(shù)，經(jīng)過剛度矩陣修正后其誤差都比最初的有限元模擬提升了很多。說明在模型修正中，關(guān)鍵的影響因素是修正數(shù)據(jù)，在一定量的試驗數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上誤差與模型縮聚技術(shù)關(guān)聯(lián)性不大。

表2 對比不同模型縮聚法下的固有頻率Tab.2 Natural frequencies under modelreduction of different models

3.2 核電廠導汽管系統(tǒng)

本文以核電廠中導汽管道為工程背景［12］，對模型修正方法進行闡述。導汽管道系統(tǒng)由4 根φ168 ×14 的合金鋼管構(gòu)成，每根導汽管水平段長為5364mm，兩端分別與氣缸和主蒸汽管的汽門相連接。將水平導管劃分為10 個單元、11個節(jié)點，且每個單元屬性相同。為模擬模型中的誤差，假設(shè)工況：④號單元為管道焊接處（圖2），其剛度發(fā)生偏差降低40%；為對比修正前后的效果，在模態(tài)分析基礎(chǔ)上對管道進行時程分析，計算在地震激勵下管道結(jié)構(gòu)的位移和速度情況。地震波由El-Centro 波改造而來如圖3所示。

圖2 有限元管道模型Fig.2 Finite element pipeline model

圖3 地震波形時程曲線Fig.3 Seismic waveform time history curve

試驗結(jié)果是從與分析模型具有相同自由度數(shù)量的模型中獲得，這是一種理想情況。但在實際工程中，利用儀器測量得到的數(shù)據(jù)是有限的。因此，假設(shè)僅在管道單元中4、5、6、7、8 有平動自由度試驗結(jié)果，利用Guyan縮聚技術(shù)對有限元模型進行模型縮減，實現(xiàn)自由度匹配。在進行模型修正過程中，不能利用Baruch 和Bar-Itzhack所提出的直接修正法。Baruch和Bar-Itzhack認為質(zhì)量矩陣是準確的，但模型在進行Guyan 縮聚過程中MG＝TTMT縮聚后的質(zhì)量矩陣有轉(zhuǎn)換矩陣的參與，而轉(zhuǎn)換矩陣構(gòu)建過程中需要利用剛度矩陣進行構(gòu)造引入了誤差，使得轉(zhuǎn)換矩陣是帶有誤差的。因此，在模型修正時將試驗數(shù)據(jù)作為參考基準，去修正剛度矩陣才更為準確。

通過圖4 對比同一節(jié)點不同情況下的動力學響應，發(fā)現(xiàn)有限元模擬（修正前）管道焊接處的節(jié)點位移與真實情況偏差較大，真實模型運用Guyan縮聚得到的結(jié)果優(yōu)于有限元模擬，剛度矩陣修正后的結(jié)果最好，位移響應更貼合真實情況。通過圖4 中不同節(jié)點下的響應情況，發(fā)現(xiàn)在節(jié)點6、7、8 處（材料屬性無變化）模型修正前后的位移響應并無明顯變化，Guyan 縮聚得到的結(jié)果與真實情況偏差最大。通過表3 最大位移可以觀察到節(jié)點6、7、8 剛度矩陣修正后的誤差反而大于修正前的結(jié)果，誤差提升了1%左右。誤差變大是Guyan縮聚轉(zhuǎn)換矩陣所引起的。在材料屬性損傷處，由原本的21%降低到2%左右。模型修正后的位移誤差可以控制在2%左右，有限元模擬的結(jié)果在整體上的誤差相對更大且很不穩(wěn)定。

圖4 管道各節(jié)點的位移對比曲線Fig.4 The displacement contrast curves of each node of the pipeline

表3 對比不同情況下的最大位移響應Tab.3 Maximum displacement response under different conditions

本文Guyan縮聚是在真實情況下進行自由度縮減，通過圖4 不難發(fā)現(xiàn)剛度矩陣修正后的結(jié)果相比Guyan縮聚得到的結(jié)果更精確，因此利用剛度矩陣修正方法可以提高Guyan 縮聚后結(jié)果的精確性，為提高模型縮聚精確度提供一個新的思路。

4 結(jié)論

本文利用試驗數(shù)據(jù)代入到有限元模型中進行逆運算完成修正，從模態(tài)分析和時程分析去觀察模型修正結(jié)果。

1.模型縮聚技術(shù)可以很好的解決試驗數(shù)據(jù)與有限元模型自由度匹配問題，并減少計算時間和資源占用。在試驗數(shù)據(jù)充足的情況下，修正精度與模型縮聚方法關(guān)聯(lián)性不大。

2.在管道結(jié)構(gòu)材料屬性損傷處，通過試驗數(shù)據(jù)進行剛度矩陣修正可以有效的降低結(jié)構(gòu)在時程分析中位移誤差。相比修正前有限元模擬更能體現(xiàn)出管道結(jié)構(gòu)在地震激勵下真實的響應情況。

3.模型修正的精確度會隨著試驗數(shù)據(jù)的增加而提高，當試驗數(shù)據(jù)完備時可以精確的模擬出管道結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率。

4.利用試驗數(shù)據(jù)進行模型修正在管道損傷處修正效果最佳，修正后的結(jié)果相比以修正前更接近真實值，此外利用模型修正技術(shù)可以提高模型縮聚后的精確度，避免縮減后管道模型為提高精度進行大量的迭代運算。