分數(shù)階Sprott A混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

顏閩秀, 接敬鋒

(沈陽化工大學(xué)信息工程學(xué)院, 沈陽 110142)

混沌理論被廣泛應(yīng)用于環(huán)境污染、圖像或通信加密、故障診斷和土壤鹽漬化處理等方面[1-2]. 混沌系統(tǒng)對初始條件的強敏感性使得吸引子共存現(xiàn)象及其同步控制成為研究熱點[3-4]. 通常, 當混沌系統(tǒng)自身存在對稱特性時, 易產(chǎn)生多吸引子共存現(xiàn)象[5]. 具有對稱性的非線性動力學(xué)系統(tǒng)更能表現(xiàn)出多穩(wěn)態(tài)特性, 系統(tǒng)可根據(jù)外部環(huán)境在不同的穩(wěn)態(tài)之間進行切換[6-7]. 近年來, 多吸引子共存的實現(xiàn)方法備受關(guān)注. Lai等[8]利用非線性反饋控制輸入實現(xiàn)了多吸引子共存; Fang等[9]構(gòu)造的四維分數(shù)階混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生共存隱藏吸引子且存在極端多穩(wěn)態(tài)情況; Bao等[10]使用憶阻器代替耦合電路實現(xiàn)具有1個鞍點和2個穩(wěn)定焦點的混沌電路, 提出無限多吸引子共存的問題, 探究得出長期動力學(xué)行為與憶阻器的初始條件密切相關(guān)的結(jié)論; Huang等[11]認為混沌系統(tǒng)復(fù)變量的實部與虛部之間存在線性相關(guān)性, 并采用經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)表示其線性相關(guān)關(guān)系, 再利用復(fù)雜系統(tǒng)驗證了簡化定律; Rashidnejad等[12]通過研究混沌系統(tǒng)的有限時間同步, 提出分數(shù)階滑動面并進行實例評估; Yu等[13]在蔡氏電路中通過構(gòu)造復(fù)合雙曲正切三次非線性函數(shù)成功產(chǎn)生多渦卷吸引子; 筆者[14]運用Silnikov定理引入零點分段函數(shù), 通過擴展系統(tǒng)平衡點增加系統(tǒng)不變集, 構(gòu)建出共存吸引子個數(shù)可調(diào)的混沌系統(tǒng). 上述文獻主要是針對整數(shù)階混沌系統(tǒng)多吸引子共存現(xiàn)象開展的研究, 而分數(shù)階混沌系統(tǒng)的多吸引子共存鮮見報道. 本文擬應(yīng)用Caputo定義Sprott A系統(tǒng), 并在分數(shù)階Sprott A系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加含有余弦周期函數(shù)的非線性項,得到具有唯一平衡點的新分數(shù)階混沌系統(tǒng), 以期在不同的初始條件下產(chǎn)生多重吸引子共存現(xiàn)象.進一步地, 設(shè)計自適應(yīng)控制器, 以實現(xiàn)對新分數(shù)階混沌系統(tǒng)在參數(shù)未知情況下的同步控制.

1 混沌系統(tǒng)方程

經(jīng)典Sprott A系統(tǒng)[15]為

(1)

應(yīng)用Caputo定義系統(tǒng)(1), 得到

(2)

當系統(tǒng)(2)的初始值選取(0.1,0.1,0.1)時, 其動力學(xué)特性分析結(jié)果如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(2)的動力學(xué)特性分析Fig.1 Analysis of dynamic characteristics of system (2)

由圖1可見: 系統(tǒng)(2)在階次變化時存在從周期向混沌的轉(zhuǎn)化過程; 系統(tǒng)(2)在大范圍內(nèi)的Lyapunov指數(shù)之和不為0, 具有混沌吸引子; 龐加萊截面圖中的密集成片點和時序圖中所展現(xiàn)的連續(xù)性都顯示出系統(tǒng)的混沌特性.

雖然系統(tǒng)(2)能產(chǎn)生混沌吸引子, 但是由于系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)簡單而無法實現(xiàn)多重吸引子共存. 現(xiàn)對系統(tǒng)(2)增加非線性項和不確定參數(shù), 得到新的分數(shù)階混沌系統(tǒng)

(3)

系統(tǒng)(3)相較于系統(tǒng)(2)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜,余弦函數(shù)以及非線性項的添加使得共存吸引子的出現(xiàn)成為可能.設(shè)定初始條件a=6,b=5,q=0.98, 初始值為(1,1,1), 系統(tǒng)(3)產(chǎn)生的混沌吸引子如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)(3)的混沌吸引子圖Fig.2 Chaotic attractor diagram of system (3)

2 系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析

將系統(tǒng)(3)左端賦值為0,得到

(4)

選取參數(shù)a=6,b=5, 得到式(4)的唯一平衡點(133.5,0.447 2,49.76).據(jù)分析, Jacobian矩陣

(5)

的特征值為298.5, 0.040 2, -49.76, 故可判定其平衡點為一個不穩(wěn)定的鞍點.

當初始值為(1,1,1)時, 系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)圖如圖3(a)所示, 其中Lyapunov指數(shù)L1=0.212 5,L2=0,L3=-0.379 9, 對應(yīng)的Lyapunov維數(shù)

(6)

由圖3(a)可見系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)存在正數(shù)、0和負數(shù)共存的情況.選取z=0, 得到x-y平面的龐加萊截面圖如圖3(b)所示. 由圖3(b)可知, 大量無規(guī)則密集點的存在表明系統(tǒng)(3)為混沌系統(tǒng).

圖3 系統(tǒng)(3)的動力學(xué)特性分析Fig.3 Analysis of the dynamic characteristics of system (3)

3 系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象

設(shè)定參數(shù)b=5, 初始值為(1,1,1), 階數(shù)q=0.98, 得到a∈[3,10]時系統(tǒng)(3)的最大Lyapunov指數(shù)和分岔圖, 如圖4所示.由圖4可見, 系統(tǒng)(3)在a∈[3,4.2)時處于周期狀態(tài);a∈[4.2,4.5)時處于倍周期狀態(tài);a∈[4.5,10]時處于混沌狀態(tài).進一步地, 選取a=3,4.3,5,10, 系統(tǒng)(3)的吸引子圖如圖5所示.

圖4 a[3,10]時, 系統(tǒng)(3)的最大Lyapunov指數(shù)和分岔圖Fig.4 The maximum Lyapunov exponent diagram and bifurcation diagram of system (3) when a[3,10]

圖5 b=5時, 系統(tǒng)(3)的吸引子圖Fig.5 Attractor diagram of system (3) when b=5

設(shè)定參數(shù)b=3.8,a∈[3,6],q=0.98, 初始值分別選取x01=(-2.5, -2.5, -2.5),x02=(0.5, 0.5, 0.1).系統(tǒng)(3)在不同初始值時的分岔圖及共存吸引子圖如圖6～7所示.

圖6 b=3.8, 不同初始值下系統(tǒng)(3)的分岔圖Fig.6 b=3.8, bifurcation diagram of system (3) with different initial values

圖7 b=3.8, 不同初始值下系統(tǒng)(3)的共存吸引子圖Fig.7 b=3.8, coexistence attractor diagram of system (3) with different initial values

由圖6～7可見: 系統(tǒng)(3)在不同初始值作用下的動力學(xué)軌跡存在差異;a=3時, 存在周期吸引子共存現(xiàn)象;a=3.7時, 存在周期吸引子和倍周期吸引子共存現(xiàn)象;a=4時, 存在混沌吸引子與周期吸引子共存現(xiàn)象;a=5.3時, 存在混沌吸引子共存現(xiàn)象.

上述研究表明, 系統(tǒng)(3)存在大量來自不同區(qū)域的共存吸引子.當參數(shù)a=0.5,b=0.9, 階次q=0.98, 初始值選擇(-0.1k,-0.1,-0.1),k=π,1.5π,2π,2.5π時, 系統(tǒng)(3)的吸引子共存圖如圖8(a)所示. 圖8(a)顯示系統(tǒng)(3)存在4個周期吸引子.當參數(shù)選取a=5,b=10, 初始值選擇(0.1k,0.5,0.5),k=π, 1.5π,2π, 2.5π時, 系統(tǒng)(3)的吸引子共存圖如圖8(b)所示. 圖8(b)顯示系統(tǒng)(3)存在周期吸引子、倍周期吸引子和混沌吸引子共存的現(xiàn)象.仿真結(jié)果表明, 系統(tǒng)(3)可以通過選擇不同的初始條件產(chǎn)生不同的吸引子. 由于系統(tǒng)(3)中存在余弦周期函數(shù), 這為無窮多混沌吸引子的產(chǎn)生奠定了條件, 當k趨近于無窮時能夠產(chǎn)生無窮多的共存吸引子.

圖8 系統(tǒng)(3)的多重吸引子共存圖Fig.8 Coexistence diagrams of multiple attractors in system (3)

4 自適應(yīng)同步控制器的設(shè)計

選取系統(tǒng)(3)作為驅(qū)動系統(tǒng), 并改寫形式為

(7)

其中xi為狀態(tài)變量,i=1,2,3;a,b為未知參數(shù).

響應(yīng)系統(tǒng)為

(8)

定義同步誤差ei=yi-xi.根據(jù)式(7)(8)得到誤差動態(tài)方程

(9)

(10)

選取控制參數(shù)k, 得到自適應(yīng)控制器

(11)

設(shè)計參數(shù)自適應(yīng)律

(12)

DqV≤e1Dqe1+e2Dqe2+e3Dqe3+eaDqea+ebDqeb.

(13)

將式(9)(10)(12)代入式(13), 得

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知誤差系統(tǒng)處于漸近穩(wěn)定狀態(tài), 驅(qū)動系統(tǒng)(7)與響應(yīng)系統(tǒng)(8)趨于同步.

5 仿真分析

為了驗證控制器的有效性, 應(yīng)用MATLAB軟件進行仿真實驗. 設(shè)置驅(qū)動系統(tǒng)初始值為(1.5, 0.2, 2.5), 響應(yīng)系統(tǒng)初始值為(1,2,-2), 誤差系統(tǒng)初始值為(-0.5,1.8,-4.5), 估計參數(shù)a=6,b=5, 階次q=0.98, 控制參數(shù)k=10.基于上述數(shù)據(jù)進行仿真, 得到同步仿真結(jié)果如圖9所示.由圖9可見, 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)可在短時間內(nèi)實現(xiàn)同步, 誤差系統(tǒng)能快速趨近于0.進一步驗證了自適應(yīng)控制器的可行性與有效性.

圖9 同步誤差Fig.9 Synchronization error

6 結(jié)論

本文對Sprott A系統(tǒng)進行分數(shù)階處理, 并在分數(shù)階Sprott A系統(tǒng)的基礎(chǔ)上增加非線性項, 得到能夠產(chǎn)生多重吸引子共存的分數(shù)階混沌系統(tǒng).通過探討新分數(shù)階混沌系統(tǒng)的動力學(xué)特性和設(shè)計自適應(yīng)控制器,實現(xiàn)了含未知參數(shù)情況下分數(shù)階系統(tǒng)的自適應(yīng)同步.結(jié)果表明,新分數(shù)階混沌系統(tǒng)的混沌特性極其豐富,具有對初始條件強烈的敏感性, 能夠在不同參數(shù)和初始值的作用下產(chǎn)生多重吸引子共存乃至無窮多吸引子共存的情況. 本文設(shè)計的自適應(yīng)控制器可在參數(shù)未知的條件下實現(xiàn)系統(tǒng)同步,具有一定的實際意義.