帶有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的趨化模型古典解的長(zhǎng)時(shí)間漸近行為

姚麗麗, 姜克瑞, 劉祖漢, 周 玲

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 揚(yáng)州 225002)

近年來(lái), 由于分?jǐn)?shù)階算子能夠更好地模擬細(xì)胞的擴(kuò)散[1-3], 因此具有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的趨化模型能更好地模擬生物群體中的競(jìng)爭(zhēng)、繁殖和疾病的傳播等過(guò)程[4-6]．Wang等[7]研究了具有相同分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的趨化模型, 證明了該模型的解關(guān)于時(shí)間t的衰減性, 同時(shí)還得到了古典解的存在唯一性及任意階導(dǎo)數(shù)關(guān)于時(shí)間的衰減估計(jì)．本文擬在Rn(n≥2)全空間中, 探討帶有分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的拋物-拋物-橢圓趨化模型

(1)

解的存在唯一性及衰減估計(jì), 其中u(x,t)表示細(xì)胞的濃度,v(x,t)和w(x,t)分別代表細(xì)胞自身分泌的吸引性和排斥性化學(xué)物質(zhì)的濃度; -·((v)v)表示細(xì)胞朝著趨化劑濃度增加的方向運(yùn)動(dòng),·(uξ(w)w)表示細(xì)胞朝著遠(yuǎn)離趨化劑濃度增加的方向運(yùn)動(dòng), 式中正函(v)和ξ(w)分別表示吸引和排斥的強(qiáng)度; 參數(shù)α,β,γ,δ均為正常數(shù), 其中α和γ是u的生產(chǎn)率,β是v的降解率,δ是w的降解率．

1 預(yù)備知識(shí)

(2)

(3)

引理1[7]Kt(x)滿(mǎn)足: ‖Kt(x)‖L1(Rn)≤Ct-1/(2s), ‖(-Δ)rKt(x)‖L1(Rn)≤Ct-r/s, ?0

考慮n維齊次熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問(wèn)題

(4)

由Fourier變換求解得u(x,t)=Kt*φ(x), 則可得下面幾個(gè)衰減估計(jì)．

引理2[7]若任意整數(shù)N≥0, 假設(shè)u(x,t)=Kt*φ(x)是問(wèn)題(4)的解, 則有

‖Kt*φ(x)‖WN,∞(Rn)≤C(1+t)-n/(2s)‖φ(x)‖WN+n+1,1(Rn),

‖Kt*φ(x)‖WN,1(Rn)≤C‖φ(x)‖WN,1(Rn),

‖Kt*φ(x)‖WN,p(Rn)≤Ct-n(1/q-1/p)/(2s)‖φ(x)‖WN,q(Rn),

‖(Kt*φ(x))‖WN,∞(Rn)≤C(1+t)-(n+1)/(2s)‖φ(x)‖WN+n+2,1(Rn),

‖(Kt*φ(x))‖WN,1(Rn)≤C(1+t)-1/(2s)‖φ(x)‖WN+1,1(Rn),

其中1

引理3[7]考慮問(wèn)題

若φ∈Hm+s(Rn),F∈L2([0,T];Hm(Rn)), 其中m∈N,T>0,s∈(0,1), 則上述問(wèn)題有唯一的解u=u(x,t),滿(mǎn)足u∈L2([0,T];Hm+2s(Rn))及?tu∈L2([0,T];Hm(Rn))．進(jìn)一步, 有估計(jì)式

其中正常數(shù)C與時(shí)間T無(wú)關(guān)．

引理5[10]定義[?k,f]g=?k(fg)-f?kg．當(dāng)整數(shù)k≥1時(shí),有

‖[?k,f]g‖Lp(Rn)≤C(‖?f‖Lp1(Rn)‖?k-1g‖Lp2(Rn)+‖?kf‖Lp3(Rn)‖g‖Lp4(Rn));

k≥0時(shí), 有

‖?k(fg)‖Lp(Rn)≤C(‖f‖Lp1(Rn)‖?kg‖Lp2(Rn)+‖?kf‖Lp3(Rn)‖g‖Lp4(Rn)),

其中p,p2,p3∈(1,+∞), 1/p=1/p1+1/p2=1/p3+1/p4．

2 解的全局存在唯一性及衰減估計(jì)

‖u0‖Wm,1(Rn)+‖u0‖Hm+1(Rn)+‖v0‖Wm-1,1(Rn)+‖Δv0‖Hm(Rn)≤E2,

(5)

證明 由問(wèn)題(1)的等價(jià)形式

(6)

(7)

則方程的解為[11]

(8)

(9)

(10)

(11)