帶有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的非線性擾動(dòng)切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

馮改紅,張志銀,蔡國(guó)梁

(鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,河南 鄭州 451191)

切換系統(tǒng)具有離散和連續(xù)的動(dòng)態(tài)屬性,是一類特殊的混雜系統(tǒng)。近年來(lái),隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的提高,工業(yè)生產(chǎn)正面臨機(jī)械化、智能化以及網(wǎng)絡(luò)化的普及[1-3]。切換系統(tǒng)在日常生活中得到應(yīng)用廣泛,如空調(diào)調(diào)節(jié)溫度、車輛變速箱檔位變化、開關(guān)調(diào)節(jié)電燈亮度、人工智能學(xué)習(xí)策略轉(zhuǎn)換和起重臂高度升降等。隨著研究的深入,一些優(yōu)秀的研究成果不斷涌現(xiàn)[4-7]。時(shí)滯現(xiàn)象以及非線性擾動(dòng)廣泛存在于實(shí)際系統(tǒng)中,其存在使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及部分性能遭到嚴(yán)重的破壞,導(dǎo)致系統(tǒng)不能正常的運(yùn)行,進(jìn)而影響工業(yè)生產(chǎn)和日常生活。所以,帶有時(shí)滯和擾動(dòng)的系統(tǒng)在工程上有重要的應(yīng)用。目前,針對(duì)切換系統(tǒng)的研究主要集中在系統(tǒng)穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定、能控性等方面。隨著眾多科研工作者的不斷參與,相應(yīng)的研究結(jié)果已被提出[8-9]。然而,目前的研究?jī)H僅考慮了常時(shí)滯和簡(jiǎn)單的時(shí)變時(shí)滯。事實(shí)上,由于區(qū)間時(shí)滯可能具有很大的時(shí)滯邊界,相較于一般時(shí)滯,區(qū)間時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)性能的影響最大。

筆者考慮了區(qū)間時(shí)變時(shí)滯以及非線性擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響,研究切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題。首先,通過(guò)構(gòu)建L-K泛函,引入自由參數(shù),在證明過(guò)程中利用詹森不等式、索爾普引理以及平均駐留時(shí)間技術(shù),得到了以矩陣不等式形式為基礎(chǔ)的閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的充分條件;然后,通過(guò)矩陣適當(dāng)變形,給出了控制器增益設(shè)計(jì)方法;最后,通過(guò)Matlab進(jìn)行仿真,系統(tǒng)的狀態(tài)軌線圖說(shuō)明了方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

建構(gòu)切換系統(tǒng),其表達(dá)式為

(1)

式中:u(t)∈Rm為控制輸入;x(t)∈Rn為狀態(tài);φ(s)∈Rn為初始條件;Ai,A1i,Bi(i∈L)為常矩陣;σ(t)為切換信號(hào),且σ(t):[0,∞]→L={1,2,…,n}為分段連續(xù)的函數(shù),n為子系統(tǒng)的個(gè)數(shù);{(t0,σ(t0)),(t1,σ(t1)),…,(tk,σ(tk)),…}為切換序列;t0為系統(tǒng)初始切換時(shí)刻;tk為系統(tǒng)第k次切換時(shí)刻。區(qū)間時(shí)滯函數(shù)d(t)滿足

(2)

非線性擾動(dòng)函數(shù)為f(t,x(t-d(t)))且滿足

‖f(t,x(t-d(t)))‖≤‖Vi(x(t-d(t)))‖

式中Vi為已知常數(shù)矩陣。

對(duì)于切換系統(tǒng)式(1),使用如下形式的狀態(tài)反饋控制,表達(dá)式為

u(t)=Kσ(t)x(t)

(3)

式中Ki(i∈L)為反饋增益矩陣。

(4)

定義1[10]記Nσ(t1,t2)為切換信號(hào)σ(t)在區(qū)間(t1,t2)上的切換次數(shù),對(duì)于給定N0≥0,τa≥0,如果

Nσ(t1,t2)≤N0+(t2-t1)/τa

(5)

式中:τa為平均駐留時(shí)間;一般取N0=0。

定義2[11]閉環(huán)系統(tǒng)式(4)的平衡點(diǎn)x*=0在切換信號(hào)σ(·)和反饋控制u(t)=Kσ(t)x(t)下為指數(shù)鎮(zhèn)定的,如果閉環(huán)系統(tǒng)式(4)的解滿足如下條件:

2 結(jié)果與討論

以下給出閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)鎮(zhèn)定的充分條件并進(jìn)行證明。

定理1對(duì)于給定的正常數(shù)α和β≥1,如果存在正標(biāo)量ε以及對(duì)稱正定矩陣Pi,Qi,Ri,則對(duì)任意的i,j∈L(i≠j),成立矩陣不等式為

Pi≤βPj,Qi≤βQj,Ri≤βRj?i,j∈L

(6)

(7)

證明構(gòu)建L-K泛函為

(8)

對(duì)系統(tǒng)軌線進(jìn)行求導(dǎo),可得

從而,可得

(9)

由于‖f(t,x(t-d(t)))‖≤‖Vi(x(t-d(t)))‖ε>0,則對(duì)ε>0有

(10)

根據(jù)引理2可得到

(11)

由式(9～11)可得

(12)

(13)

當(dāng)t∈[tk,tk+1)時(shí),對(duì)式(13)兩端進(jìn)行從tk到t的積分,可得

V(t)=Vσ(t)(t)≤e-α(t-tk)Vσ(tk)(tk)tk≤t

(14)

由式(14)以及k=Nσ(t,t0)≤(t-t0)/τa,可得

V(t)≤e-α(t-tk)βVσ(tk-)(tk-)≤…≤
e-α(t-t0)βkVσ(t0-)(t0-)≤
e-α-lnβ/τa(t-t0)Vσ(t0)(t0)

(15)

構(gòu)建L-K泛函,可得

(16)

由式(15,16)可得

進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

由定義2可得閉環(huán)系統(tǒng)式(4)為指數(shù)鎮(zhèn)定。

定理2對(duì)給定的正常數(shù)α和β≥1,如果存在正常數(shù)ε,矩陣Yi以及對(duì)稱正定矩陣Xi,Ti,Oi,滿足如下條件:

Xj≤μXi,Tj≤μTi,Oj≤μOi?i,j∈L,i≠j

(17)

(18)

(19)

證明由于Ti>0,Oi>0,可得

(20)

(21)

假設(shè)

(22)

由式(21)和引理1可以得到式(7)成立。根據(jù)定理1可知閉環(huán)系統(tǒng)式(4)是指數(shù)鎮(zhèn)定的。

3 數(shù)值仿真

通過(guò)Matlab數(shù)值仿真計(jì)算來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。針對(duì)系統(tǒng)式(1)考慮兩個(gè)子系統(tǒng),各系統(tǒng)參數(shù)分別為

通過(guò)式(17,18),可得

另外,可通過(guò)式(19)求得K1=[0.957 2 0.086 1],K2=[0.785 0 0.647 2]。

現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)初態(tài)為x(0)=[0.5 -0.5]T,利用Matlab仿真,可得閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌線,系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)如圖1所示。由圖1可知:閉環(huán)系統(tǒng)在區(qū)間[0,12]前半段并不穩(wěn)定,隨著狀態(tài)反饋控制器的作用,閉環(huán)系統(tǒng)逐漸趨于鎮(zhèn)定,從而說(shuō)明了該方法的有效性。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)Fig.1 State response of the system

4 結(jié) 論

首先,針對(duì)帶有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯和非線性擾動(dòng)項(xiàng)的切換系統(tǒng),根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理,通過(guò)構(gòu)建L-K泛函,研究系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題;然后,針對(duì)區(qū)間時(shí)滯切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定及控制器的設(shè)計(jì),引入自由參數(shù)矩陣,利用自由權(quán)技術(shù)和平均駐留時(shí)間方法給出切換規(guī)律,建立以矩陣不等式為基礎(chǔ)的非線性切換系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定的充分條件,通過(guò)矩陣有規(guī)則的變形設(shè)計(jì)出該切換系統(tǒng)的控制器;最后,通過(guò)Matlab進(jìn)行仿真,得到的數(shù)據(jù)和系統(tǒng)的狀態(tài)軌線圖說(shuō)明了理論結(jié)果的有效性。帶有區(qū)間時(shí)滯非線性切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題研究具有積極的現(xiàn)實(shí)意義和一定的應(yīng)用價(jià)值,后續(xù),筆者會(huì)將其作為研究主題進(jìn)一步開展深入研究。