基于奇異攝動理論的無人機反步飛行控制律設(shè)計

李 勇，常緒成，李樹豪

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院航空發(fā)動機學(xué)院，鄭州 450046)

0 引言

未來空中交通的發(fā)展對新一代無人機和通用航空飛機的自主性、安全性和機動性提出了更高的要求。未來的驅(qū)動因素，如空中交通密度的增加，無人機交通的插入和增長，多平臺協(xié)作任務(wù)和緊密編隊飛行的前景，以及在湍流和有限空域中的近地操作，都需要高度的機動性和不插手或補充的自主控制機制。為了解決這些問題，可以使用控制增強技術(shù)來創(chuàng)建簡單和安全的飛機操縱特性。因此，針對小型飛機實用化飛行控制系統(tǒng)需求，討論了如何提高無人機或小型通用飛機飛行安全性和飛機的易操作性。

目前，國內(nèi)外學(xué)者圍繞飛機飛行控制領(lǐng)域開展了大量的研究工作。費愛玲等設(shè)計了基于擴張狀態(tài)觀測器的反步控制器抑制系統(tǒng)擾動以提高無人機的控制性能。曹立佳等設(shè)計了一種帶有自適應(yīng)參數(shù)近似的塊控反步飛行控制器，所設(shè)計的控制器具有良好的指令跟蹤能力和較強的魯棒性。譚健等針對存在干擾的飛翼布局無人機縱向著陸控制問題，提出一種基于 super twisting 滑模干擾觀測器與跟蹤微分器的反步L2增益魯棒控制方案。李繼廣等以帶有流體矢量方向舵的飛翼無人機為研究對象，設(shè)計了非線性控制器，并進行飛行驗證。另外針對飛翼布局無人機操縱能力不足的特點，提出了結(jié)合流體矢量控制技術(shù)控制策略。吳中華針對無人飛行器非線性系統(tǒng)控制問題，綜合魯棒反演控制、預(yù)設(shè)性能控制和基于擾動觀測器的控制方法進行深入探討，給出了輸入、狀態(tài)受限與跟蹤誤差約束條件下的控制律設(shè)計方案。劉朝陽在反步控制方法的基礎(chǔ)上，引入浸入映射與不變流形方法在無人機非線性控制方面開展了相關(guān)研究。吳岸平針對無人機飛行控制系統(tǒng)采用基于PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法進行了控制律設(shè)計，具有較高的實際應(yīng)用價值。王芳針對高超聲速飛行器再入姿態(tài)控制問題，完成了魯棒自適應(yīng)濾波反步控制器的設(shè)計并進行了仿真分析。Swarnkar等針對固定翼無人飛行器六自由度模型設(shè)計了自適應(yīng)反步控制器。Choi等結(jié)合自適應(yīng)反步法與控制分配方法，為多操縱面飛機設(shè)計了飛行控制律。Sun等提出基于混合多傳感器的反步控制方法并實現(xiàn)了飛行控制系統(tǒng)的容錯控制。Sonneveldt等應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非線性自適應(yīng)方法針對 F-16 飛機設(shè)計跟蹤控制器，仿真結(jié)果表明在參數(shù)未知和執(zhí)行機構(gòu)故障的情況下，控制器仍具有閉環(huán)穩(wěn)定性。Choi等設(shè)計了一種參數(shù)不確定的四旋翼無人機(UAV)自適應(yīng)指令濾波反步飛行控制律，仿真結(jié)果表明，在參數(shù)不確定性和推力失準誤差的情況下，所提出的控制律也能控制系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)，從而提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。Kim等提出了一種利用角加速度測量的附加增廣控制方法，針對先進教練機的數(shù)學(xué)模型進行了頻域線性分析和時域數(shù)值仿真，結(jié)果表明，該控制方法有效地減少了無指令側(cè)向運動，改善了飛機的操縱品質(zhì)。

文中針對某小型無人機飛行控制提出了一種新的非線性控制器設(shè)計方法，該方法基于反步法、奇異攝動理論和近似動態(tài)逆理論，這種方法被稱為基于傳感器的反步法(SBB)，它不使用動態(tài)模型信息，僅依賴于測量。通過建立某型無人機系統(tǒng)模型和基于奇異攝動理論的反步控制器模型，比較了兩種反步控制器設(shè)計對參數(shù)不確定性、傳感器噪聲、干擾、時延等對飛機響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，基于傳感器的反步(SBB)控制器比傳統(tǒng)的反步法具有更大的優(yōu)勢，即模型不確定性對性能的影響較小，測量噪聲對飛機的響應(yīng)影響很小同時保證了受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，提出的新的控制器設(shè)計能夠滿足無人機飛行控制需要，對模型不確定性、傳感器偏差、傳感器噪聲和時間延遲具有魯棒性，同時要足夠快和準確，以適應(yīng)小型飛機相對靈活的動態(tài)特性。

1 無人機系統(tǒng)模型

建立了一種用于飛行控制律設(shè)計的動態(tài)飛機模型。提出了一組參考框架來定義飛機的動態(tài)行為，并用運動方程來確定這種行為。該模型僅適用于巡航條件下的無人機飛行控制律設(shè)計，并且控制律需要對模型不確定性具有較強的魯棒性。

飛機的動態(tài)行為可以用一組稱為運動方程(equations of motion,EOM)的方程來描述。由于運動僅在參照系中有意義，因此先從第1.1節(jié)定義一組參照系開始。下面將在第1.2節(jié)中推導(dǎo)EOM。

1.1 飛機模型參照系

開發(fā)的飛機模型使用了6個參照系。這些參照系廣泛用于飛機建模，因此僅在此處列出。

1)地球固定參照系在相對于地球的位置和姿態(tài)上是固定的，并且假定是慣性的。

2)裝備局部-地球參照系的飛行器，與飛行器平行，但姿態(tài)與相同。

3)運動學(xué)參照系指向飛機相對于地面的移動方向，并通過在航跡角、飛行軌跡角和運動學(xué)傾斜角上旋轉(zhuǎn)來獲得。

4)機身固定參照系指向飛機機頭，通過在偏航角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角上旋轉(zhuǎn)而獲得。

5)空氣動力參照系指向飛機相對于空氣的行進方向，并通過在側(cè)滑角和攻角上旋轉(zhuǎn)或在空氣動力軌跡角、飛行軌跡角和氣動傾斜角上旋轉(zhuǎn)來獲得。

(6)軌道固定參照系是一種右手正交軸系，其指向地球固定軌道，通過在軌道角上旋轉(zhuǎn)而獲得。

1.2 動態(tài)飛機模型運動方程

通過推導(dǎo)給出了描述飛機運動的12個微分方程和一系列假設(shè)。第一組三個微分方程用于計算飛行器的平移運動：

(1)

其中：是飛行器質(zhì)量;,,分別為飛行器在縱軸、橫軸、垂直軸上的受力。機體坐標軸系的3個速度分量(,,)是飛行速度在機體坐標軸系各軸上的投影分量。機體坐標軸系的3個角速度分量(,,)是機體坐標軸系相對于慣性坐標系的轉(zhuǎn)動角速度在機體坐標軸系各軸上的投影分量。

第二組三個微分方程用于計算飛機的旋轉(zhuǎn)運動：

(2)

其中：為轉(zhuǎn)動慣量;,,分別為飛行器的滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩、偏航力矩。

第三組三個運動學(xué)方程用來描述中飛機姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)變化率。

(3)

式(1)～式(3)稱為物體方位方程式。其中為偏航角;為俯仰角;為滾轉(zhuǎn)角。

最后一組三個微分方程，稱為導(dǎo)航方程，用于描述中物體的平移運動:

(4)

式中，表示空氣相對于地球的恒定速度：

其中表示參考高度的風(fēng)速；表示相對于的風(fēng)向。

并且

此外，中的力方程可以寫為:

(5)

其中：為飛行器的實際空速；為飛行器在中所受到的力。將式(5)代入式(1)，則這些導(dǎo)數(shù)也可以從式(6)獲得：

(6)

地面速度和軌道角的變化可以使用類似的形式來描述：

(7)

其中：為飛行器的地面速度；為航跡角；為飛行軌跡角。上述公式在飛行控制律設(shè)計中得到了應(yīng)用。

上述微分方程式在以下假設(shè)下成立:

1)假設(shè)地球是平坦的、不自轉(zhuǎn)的，因此地球固定的參照系與慣性參照系相同。

2)飛機是剛體，因此飛機內(nèi)的任何兩個點都保持在固定的相對位置。

3)飛機的質(zhì)量在模擬時間段內(nèi)是恒定的。因此，可以在沖量方程的時間導(dǎo)數(shù)之外計算所有質(zhì)量元素的積分。

4)飛機的俯仰角以-π/2<<π/2為界。這一假設(shè)防止了式(3)中的奇點出現(xiàn)。

其他有關(guān)飛行器的力和力矩模型、大氣環(huán)境模型、氣動模型等的建模方法參見參考文獻[17]。

2 控制方法

2.1 反步控制

反步法又稱反推法、后推法或反演法，它是科克托維奇等在1995年首先提出的用來解決非線性系統(tǒng)控制問題的有效方法之一。反步法屬于遞歸非線性設(shè)計策略的一類。其主要思想是在一個小的子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上設(shè)計一個控制李雅普諾夫函數(shù)(CLF)，然后在每個步驟中將這個設(shè)計逐步應(yīng)用于一個擴展的子系統(tǒng)。當擴充部分恢復(fù)到整個系統(tǒng)時，設(shè)計就完成了。Backstep從控制輸入中移除的積分步數(shù)最多的子系統(tǒng)開始。每一步用一個“虛擬控制輸入”穩(wěn)定子系統(tǒng)，然后用一個積分方程增廣，直到最終得到原始控制輸入和完整的系統(tǒng)。在圖1中，從離控制輸入最遠的積分器開始，在每一步添加積分方程式，看起來是在向后移動。這就是反步的由來。

()=0?()<0

(8)

在反步控制器的設(shè)計中使用CLF的原因是，CLF的存在等同于全局穩(wěn)定控制律的存在。換言之，當找到CLF時，反步控制律將是全局穩(wěn)定的。圖1顯示了所產(chǎn)生的閉環(huán)系統(tǒng)的框圖。綠色箭頭表示用于確定反步控制律的模型信息。反步過程也可以推廣到階嚴格反饋系統(tǒng)。

圖1 二階非線性系統(tǒng)和反步控制律閉環(huán)系統(tǒng)

2.2 奇異攝動理論

奇異攝動，即不能近似為零的小攝動，導(dǎo)致系統(tǒng)中的時間尺度分離行為。這可以從系統(tǒng)對外部輸入的反應(yīng)的慢瞬變和快瞬變中看出?？紤]一個奇異攝動的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：

(9)

其中和平穩(wěn)地依賴于小的正參數(shù)。

在奇異攝動理論中，給出系統(tǒng)：

(10)

2.3 近似動態(tài)逆(ADI)控制器

Hovakimyan等提出了一種基于奇異攝動系統(tǒng)時間尺度分離特性的控制器。針對非線性系統(tǒng)

(11)

其中對于(,)∈×，(0)=。?和?是包含相應(yīng)原點的區(qū)域。這里表示狀態(tài)向量，表示輸入向量。函數(shù)的自變量是連續(xù)可微的。此外，假設(shè)??對于(,)∈,?×是從零起有界的，其中,是一組可能的初始條件的緊湊集合，即存在>0使得|??|>。

為狀態(tài)定義基準信號，并且狀態(tài)和該基準之間的跟蹤誤差由=-給出。因此，系統(tǒng)的動態(tài)誤差可以寫成:

(12)

一種用于式(12)的ADI控制器可以基于式(13)快速動態(tài)來構(gòu)建：

(13)

其中(,,)是映射×→。

2.4 基于傳感器的反步法

假設(shè)式(13)中的函數(shù)(,,)可以寫成:

(14)

(15)

(16)

(17)

稱為基于傳感器的反步(sensor-based backstepping,SBB)控制器。圖2顯示了SBB控制器的框圖，綠色箭頭表示控制器設(shè)計中使用的模型信息。

圖2 基于傳感器的反步法控制器框圖

3 對比與分析

針對式(5)，其中表示作用在飛機上的力的總和，也包含不確定的參數(shù)。操縱面偏轉(zhuǎn)和油門桿角度(=)對的影響可寫為:

(18)

其中:表示推進模型;為不確定參數(shù)作用在飛機上的力，并再次假設(shè)系統(tǒng)是仿射控制。在姿態(tài)模式下，使用速率命令姿態(tài)保持(rate command attitude hold，RCAH)策略控制俯仰角和滾動角，應(yīng)抑制側(cè)滑并保持速度。

為了實現(xiàn)速率命令姿態(tài)保持控制，結(jié)合式(3)、式(5)，整個系統(tǒng)可以寫成：

(19)

針對某型飛機動態(tài)模型將提出的基于傳感器的反步控制器與一般增量反步(incremental backstepping，IB)控制器進行仿真對比分析，對于一般的增量反步控制器設(shè)計，考慮系統(tǒng):

(20)

可以使用線性化系統(tǒng)近似來構(gòu)造使該系統(tǒng)的動態(tài)誤差=-穩(wěn)定的IB控制器:

(21)

圖3和圖4顯示了SBB控制器對飛機響應(yīng)的影響。請注意，飛機響應(yīng)在這里指的是文中描述的飛機模型的響應(yīng)，顯然，控制器能跟蹤姿態(tài)速率命令信號，并在沒有輸入的情況下保持姿態(tài)角。

圖3 基于傳感器的反步和增量反步控制縱向飛機響應(yīng)曲線

圖4 基于傳感器的反步和增量反步控制橫向飛機響應(yīng)曲線

使用傳感器模型對測量的輸入和輸出信號進行噪聲處理。在仿真環(huán)境中增加了一個用于角加速度計的模型。結(jié)果如圖5和圖6所示。顯然，兩個控制器仍然能夠跟蹤參考信號。在每個繪圖的前5 s內(nèi)，可以看到偏移量，這些偏移量是由于角加速度計的傳感器偏置而存在的。圖5(e)顯示SBB控制器與IB控制器相比，生成更平滑的油門桿角度PLA命令。圖6顯示，當存在噪聲時，IB控制器相對于SBB控制器在處理側(cè)滑方面的優(yōu)勢消失了。與IB控制器生成的方向舵命令相比，SBB控制器生成的方向舵命令也更平滑。

圖5 傳感器噪聲存在時基于傳感器的反步和增量反步控制的縱向飛機響應(yīng)曲線

圖6 傳感器噪聲作用下基于傳感器反步和增量反步控制的飛機橫向響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

提出了一種基于奇異攝動理論的反步控制器設(shè)計方法，稱為基于傳感器的反步法。該方法在實施過程中使用測量數(shù)據(jù)，而不是模型知識，因此有可能在很多小型飛機上使用。無論是對簡單標量系統(tǒng)，還是對某型無人機的飛行控制，使用這種方法可以獲得良好的跟蹤性能(無論是否存在不確定性)。

將基于傳感器的SBB控制器同另一種基于泰勒展開的IB控制器進行對比分析。仿真結(jié)果表明，在存在傳感器噪聲的情況下，SBB控制器提供了更好的結(jié)果，測量噪聲對飛機的響應(yīng)影響很小，與傳統(tǒng)的反步方法得到的結(jié)果相似。由于該反步控制器是基于李雅普諾夫分析的，因此保證了受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開發(fā)的新控制器比傳統(tǒng)的反步法具有更大的優(yōu)勢，即模型不確定性對性能的影響較小，因此該控制器設(shè)計方法很可能是向小型飛機/無人機先進飛行控制律認證邁出的重要一步。

在設(shè)計任何一種先進的控制器之前，仍有一些實際因素需要考慮。目前文中開發(fā)的新控制器的主要缺點是需要對執(zhí)行器輸出進行測量，以便對時間延遲具有魯棒性。初步的仿真結(jié)果表明，使用執(zhí)行器模型也可以得到較好的結(jié)果，在今后的工作中，執(zhí)行器模型的精確度是一項值得研究的內(nèi)容。

此外，還需要進一步研究并尋找更科學(xué)的控制器增益選擇方法。文中使用的大部分控制器增益是通過試驗和誤差選擇的，可以改進。未來可以采取最小化控制誤差、噪聲衰減、干擾抑制和跟蹤性能的成本函數(shù)方法，以找到最優(yōu)的控制器增益?；蛘?，可以使用類ANOVA方差分解方法提供的控制性能評估來調(diào)整控制器增益，以便找到能夠更好地抑制噪聲的控制器增益。