有限域上偶數(shù)階量子BCH 碼的構(gòu)造方法*

邢莉娟, 李 卓

西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國家重點實驗室, 西安 710071

1 引言

在實際環(huán)境中, 量子計算機的量子態(tài)不是孤立的, 他會與外部環(huán)境發(fā)生相互作用, 破壞量子態(tài)間的相干性, 從而導(dǎo)致量子消相干現(xiàn)象. 量子糾錯碼(quantum error-correcting codes, QECCs) 不僅能保護存儲的量子信息, 而且能夠?qū)崿F(xiàn)容錯量子門運算、容錯量子態(tài)制備以及容錯量子測量, 使得量子信息處理在有噪聲的環(huán)境中能夠可靠運行.

量子糾錯碼可以由某些滿足特定性質(zhì)的經(jīng)典線性碼來構(gòu)造. 經(jīng)典循環(huán)碼尤其是BCH 碼由于具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu), 是經(jīng)典編碼理論中一個重要的子類. 因此, 用經(jīng)典BCH 碼來構(gòu)造量子碼也引起了人們極大的興趣. 通過大量研究[1–6], 目前已提出了很多構(gòu)造給定參數(shù)量子糾錯碼的方案. 但是, 現(xiàn)有方案中的量子碼均具有一定約束性. 例如: 有限域的階必須是奇素數(shù)的冪[7,8]; 構(gòu)造時某些參數(shù)有限制[1,8]; 或者滿足特定的表達(dá)式[3,9]. 因此, 我們需要對已有的量子BCH 碼的研究方案進行進一步的擴展和補充[4–6].

針對上述問題, 本文給出了選取分圓陪集的一般性方法. 該方法證明了滿足一定條件的分圓陪集處于某個固定的區(qū)間范圍內(nèi), 并給出了在給定區(qū)間內(nèi)的分圓陪集包含元素數(shù)量的充要條件, 降低了構(gòu)造量子BCH 時選取分圓陪集的復(fù)雜度. 然后用Steane 構(gòu)造和Hermitian 構(gòu)造分別構(gòu)造出了偶數(shù)階的非本原非狹義量子BCH 碼, 構(gòu)造出的新量子碼具有更廣泛的參數(shù)范圍, 進一步豐富了量子BCH 碼的種類.

2 基礎(chǔ)與定義

令Fq表示q階有限域, 其中q為素數(shù)的冪. 碼C= [n,k,d]q表示Fq上的線性碼, 其中n表示碼長,k表示維數(shù),d表示最小漢明距離. 在本文中, 若n與q互素, 則令qm ≡1 modn成立的最小正整數(shù)m被稱為q模n的乘法階, 用m=ordn(q) 來表示.

定義1(Euclidean 內(nèi)積)[10]: 對于有限域Fq上的向量x= (x0,x1,··· ,xn?1)∈Fnq和y=(y0,y1,··· ,yn?1)∈Fnq, 他們的Euclidean 內(nèi)積定義為

性質(zhì)1[10]: 有限域Fq上的分圓陪集滿足以下性質(zhì):

(1) 分圓陪集的元素個數(shù)一定是q模n的乘法階的因子, 即|C[i]|| ordn(q). 特別的我們有|C[1]| =ordn(q).

(2) 對于任意的分圓陪集, 當(dāng)且僅當(dāng)i ?=jqzmodn時,C[i]?=C[j].

循環(huán)碼因為具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)結(jié)構(gòu)和循環(huán)特性, 被認(rèn)為是一類重要的線性碼. 在經(jīng)典編碼理論中, BCH碼通常用其生成多項式g(x) 的根來表示.

定義6(經(jīng)典BCH 碼)[10]: 有限域Fq上的碼長為n, 設(shè)計距離為δ的q元BCH 碼C是一個循環(huán)碼, 其生成多項式可表示為g(x)=lcm{M(b)(x),M(b+1)(x),··· ,M(b+δ?2)(x)}, 其中,M(i)(x) 表示索引為i的最小多項式. 碼C的定義集合為

當(dāng)n=qm ?1 時, BCH 碼是本原的; 當(dāng)b=1 時, BCH 碼是狹義的.

研究發(fā)現(xiàn)量子穩(wěn)定子碼可以通過經(jīng)典線性碼來構(gòu)造. 目前, 量子碼主要的構(gòu)造方法包括CSS 構(gòu)造、Steane 構(gòu)造和Hermitian 構(gòu)造.

根據(jù)上述定理, 只要能找到滿足對偶包含關(guān)系的經(jīng)典線性碼, 就可以構(gòu)造對應(yīng)參數(shù)的量子碼. 因此, 下面的引理給出了循環(huán)碼是否滿足對偶包含的條件.

引理1[2]: 若n與q互素, 即滿足gcd(n,q)=1. 我們有下列結(jié)論:

(1) 對于Fq上碼長為n的循環(huán)碼C, 如果C的定義集合為Z, 那么C⊥E ?C的充要條件是Z ∩Z?1=?, 其中Z?1={?zmodn|z ∈Z};

(2) 對于Fq2上碼長為n的循環(huán)碼D, 如果D的定義集合為Z, 那么D⊥H ?D的充要條件是Z ∩Z?q=?, 其中Z?q={?qzmodn|z ∈Z};

通過定理1 和引理1可以看出, 構(gòu)造量子穩(wěn)定子碼的關(guān)鍵是尋找滿足上述條件的分圓陪集. 這些特定的分圓陪集不僅可以保證經(jīng)典循環(huán)碼是對偶包含的, 還便于計算該碼的維數(shù)和最小距離.

3 有限域Fq 上的Steane 構(gòu)造

在文獻[1] 和文獻[8] 中, La Guardia 給出了ordn(q) = 2 時, 碼長分別為n=qm′?1 和n=r(q ?1) 時的量子BCH 碼的構(gòu)造方法. 本文將q的乘法階擴展至任意偶數(shù)階ordn(q)=2m, 碼長擴展至n=r(qm ?1),r> 1. 然后研究碼長為n=r(qm ?1), 任意有限域Fq上偶數(shù)階的量子BCH 碼的構(gòu)造方法.

3.1 m 為偶數(shù)

其中,iql+j ≥0.

綜上, 假設(shè)不成立, 即Z ∩Z?1=?, 碼C滿足Euclidean 對偶包含關(guān)系.

式(5) 和式(6) 相矛盾.

3.2 m 為奇數(shù)

4 有限域Fq2 上Hermitian 構(gòu)造

4.1 m 為奇數(shù)

若m是奇數(shù), 根據(jù)引理5, 我們選擇的分圓陪集直接滿足Hermitian 對偶包含的條件.

推論2若i為任意正整數(shù), 當(dāng)r(qm ?1)|i時,C[i]=?qC[i].

4.2 m 為偶數(shù)

若m為偶數(shù), 根據(jù)引理5, 我們無法直接找到滿足Hermitian 對偶包含的分圓陪集, 下述推論很好的解決了這一問題.

5 性能比較與結(jié)論

本文中, 我們分別使用Steane 構(gòu)造和Hermitian 構(gòu)造給出了任意有限域上偶數(shù)階量子BCH 碼的構(gòu)造方法, 下面我們與現(xiàn)有的結(jié)果進行比較.

(1) Steane 構(gòu)造結(jié)果分析:

表1 Steane 構(gòu)造方法得到的量子BCH 碼參數(shù)比較Table 1 Comparison of quantum BCH code parameters obtained by Steane construction method

文獻[2,13] 中, 都采用Steane 構(gòu)造方法來構(gòu)造量子BCH 碼. 我們的方法在相同碼參數(shù)下, 構(gòu)造出的量子BCH 碼的最小距離下界更大, 碼的性能更好. 表格1 給出了一些碼參數(shù)的比較結(jié)果, 可以看到我們的方法找到的量子BCH 碼的最小距離下界明顯優(yōu)于參考文獻[2,13].

文獻[8] 中, La Guardia 給出了n=r(q ?1), ordn(q)=2 時, 某些特定域上量子BCH 碼的構(gòu)造方法. 本文, 我們將這一結(jié)論擴展至任意偶數(shù)階ordn(q)=2m, 碼長擴大至n=r(qm ?1), 任意有限域上來構(gòu)造量子BCH 碼. 我們的方法可以構(gòu)造出范圍更廣, 碼長取值更多的量子BCH 碼.

(2) Hermitian 構(gòu)造結(jié)果分析:

文獻[2] 中, Aly 等人用Hermitian 構(gòu)造生成了本原量子BCH 碼. 采用本文所述方法, 我們生成了非本原量子BCH 碼. 文獻[8] 中, G. G. L. Guardia 用Hermitian 構(gòu)造生成了非二元本原量子BCH 碼.采用本文所述方法, 我們生成的是非二元非本原量子BCH 碼.

文獻[3] 和文獻[8] 中, 作者都給出了n=r(q2?1), ordn(q2)=2 時, 某些特定域上量子BCH 碼的構(gòu)造方法, 其中q只能取奇素數(shù)的冪. 本文, 我們將這一結(jié)論擴展至n=r(q2m ?1), ordn(q2) = 2m時,任意有限域上來構(gòu)造量子BCH 碼, 其中q為任意素數(shù)的冪. 我們的方法可以構(gòu)造出范圍更廣, 碼長取值更多的量子BCH 碼.

綜上所述, 本文首先分析了滿足Steane 構(gòu)造和Hermitian 構(gòu)造的分圓陪集包含元素個數(shù)的充要條件,然后將量子BCH 碼的構(gòu)造方法擴展到任意有限域的偶數(shù)階上, 給出了非本原非狹義量子BCH 碼的構(gòu)造方法. 與已有的結(jié)果相比較: 我們的方法在選取參數(shù)時沒有太多的限制, 構(gòu)造的量子BCH 碼的最小距離下界更大, 碼的性能更好. 更重要的是, 我們的構(gòu)造方法是基于任意有限域的, 可以得到其他方案無法生成的量子碼, 極大的豐富了量子BCH 碼類的內(nèi)容.