選擇合適的方法，求解曲線的方程問題

楊樓儉

求曲線的方程問題在圓錐曲線中比較常見.此類問題側(cè)重于考查圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及一元二次方程的性質(zhì).求解曲線的方程問題的方法有很多種，如定義法、相關(guān)點(diǎn)法、消參法、數(shù)形結(jié)合法等.那么，如何選擇合適的方法進(jìn)行求解呢？下面結(jié)合實(shí)例加以說明.

一、定義法

運(yùn)用定義法求解曲線的方程問題，主要是根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線、圓的定義來求解.這就要求同學(xué)們熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線、圓的定義，根據(jù)這些定義來建立關(guān)系式，求得曲線的方程.

∴4a=16-12，得a=l，

∵a+b=c=4，∴b3，

二、相關(guān)點(diǎn)法

有些求曲線的方程問題中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，此時(shí)可采用相關(guān)點(diǎn)法解題.首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并用該動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示另外一個(gè)相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入滿足條件的方程中，即可得有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

解：由題意可得F（-2，0），F(xiàn)（2，0），設(shè)點(diǎn)A（x，y），B（x，y），M（x，y），

將兩式相減可得（x-4）（x-x）=（y-y）y，

得（x-6）-y=4，

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M（8，0）滿足（x-6）-y4，

∴點(diǎn)M的軌跡方程為（x-6）-y=4.

由題意可知，M點(diǎn)隨著A、B的變化而變化，因此可采用相關(guān)點(diǎn)法來解題.設(shè)出點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)，并用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出A、B，然后根據(jù)題意建立關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，即可求出點(diǎn)M的軌跡方程.

三、消參法

消參法是解答圓錐曲線問題的重要方法.運(yùn)用消參法求解曲線的方程問題，需先根據(jù)題意設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、動(dòng)直線的方程、交點(diǎn)的坐標(biāo)等，然后將其代入題設(shè)中，建立關(guān)系式，最后通過消參、化簡(jiǎn)得到只含有動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的式子，即可求得曲線的方程.

解：①當(dāng)切線l的斜率k存在且k≠0時(shí)，設(shè)直線l

的方程為y=kx+m，

∵動(dòng)直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴Δ=16km-4（1+2k）（2m-2）=0，

整理可得m=2k+1，

∵直線MQ與直線l垂直，且經(jīng)過M（l，0），

而m=2k+1，

∴點(diǎn)Q軌跡方程為x+y=2，

②當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，Q（l，±l）滿足x+y=2，

綜上所述，點(diǎn)。軌跡方程為x+y=2.

解答本題，需首先設(shè)出動(dòng)直線的方程，將其與橢

圓的方程聯(lián)立，并消去y得到一元二次方程，根據(jù)直線與橢圓相切的關(guān)系可得Δ=0，據(jù)此得到關(guān)于參數(shù)、x、y的式子，通過消參求得Q點(diǎn)的軌跡方程.

相比較而言，定義法較為簡(jiǎn)單;相關(guān)點(diǎn)法的適用

范圍較窄;消參法比較常用.在求解曲線的方程問題時(shí)，同學(xué)們可首先將問題與圓錐曲線的定義關(guān)聯(lián)起

來，運(yùn)用定義法求解，然后分析動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，合理選擇相關(guān)點(diǎn)法、消參法進(jìn)行求解.