百萬擴(kuò)招背景下高職數(shù)學(xué)之教學(xué)實(shí)踐

摘要：在百萬擴(kuò)招背景下，在“三教”改革的引領(lǐng)下，高職數(shù)學(xué)課程革命隨即展開，目的是努力提升學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的能力，培養(yǎng)一線需要的實(shí)用人才.對于高等數(shù)學(xué)中的三大計(jì)算均以“以直代曲”為切入點(diǎn)，通過問題的分析、分解，轉(zhuǎn)移了主要矛盾，重點(diǎn)解決主要矛盾的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生尋找適合自己的學(xué)習(xí)方法，學(xué)會基本的數(shù)學(xué)表達(dá)方式.

關(guān)鍵詞：高職數(shù)學(xué);以直代曲;共識;拓展端口

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0055-03

李克強(qiáng)總理在2019年的《政府工作報(bào)告》中要求的百萬擴(kuò)招政策，使職業(yè)院校生源結(jié)構(gòu)更加多元化，必須全面構(gòu)建開放式、個(gè)性化的學(xué)習(xí)體系.數(shù)學(xué)課程在其中扮演了重要角色.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不僅是知識積累過程，更是恰當(dāng)學(xué)習(xí)方法的探索與掌握的過程.

1 調(diào)查摸底，背景分析

經(jīng)過調(diào)查問卷、座談會和聊天交流等摸底后，發(fā)現(xiàn)擴(kuò)招生源的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，可以用“大”來概括：一是年齡相差大，出現(xiàn)了父子同學(xué);二是基礎(chǔ)相差大，有簡單四則運(yùn)算不熟練的，也有剛學(xué)過一些微積分的;三是學(xué)習(xí)目的相差大，有剛出校門暫不準(zhǔn)備工作的，也有在社會上“闖蕩”多年急需“充電”的;四是可支配時(shí)間相差大，有可脫產(chǎn)的，有工作脫不開身的.

基于生源的實(shí)際情況，在數(shù)學(xué)課堂上必須破解規(guī)?；蛡€(gè)性化、共性需求和個(gè)性需求包容的平衡結(jié)構(gòu)瓶頸，形成更加恰當(dāng)?shù)摹耙虿攀┙獭狈独?基本思路為：首先，學(xué)習(xí)的基本路徑必須是“平緩”的，必須是“深入淺出”的.其次，以“以直代曲”為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生去思考，去分析問題、分解問題、解決問題，在實(shí)現(xiàn)問題分解的同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了難點(diǎn)和主要矛盾的轉(zhuǎn)移.第三，留有“端口”，許多“支節(jié)”問題、特殊問題，不作為課堂內(nèi)容，或者在課堂上提示一下，作為課后作業(yè)布置.目的是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，尋找最佳的個(gè)性化學(xué)習(xí)方法，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的分層分類.

2 揚(yáng)長避短，以人為本

2.1 拾遺補(bǔ)缺

目的是解決部分基礎(chǔ)差的同學(xué)存在的“短板”，以小組、結(jié)對為主，互幫互學(xué)，老師適當(dāng)補(bǔ)充講解、督促、檢查，已經(jīng)會的同學(xué)通過互幫互學(xué)時(shí)的講解能提高掌握程度，提高表達(dá)能力，沒學(xué)過的同學(xué)能找到自己的“不足”之處.

2.2 清障梳理

以基本初等函數(shù)為載體和目標(biāo)，從數(shù)的運(yùn)算，到用字母代替數(shù)，再到方程、函數(shù)，最后是平面直角坐標(biāo)系中的圖象、性質(zhì)，引領(lǐng)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)“短板”障礙，并解決問題.初步建立數(shù)形結(jié)合的思想方法：由圖象記憶性質(zhì)，由性質(zhì)記憶圖象.2.3 以直代曲

作為微積分學(xué)中三大計(jì)算的切入（引入）點(diǎn)，通過“承認(rèn)誤差、減小誤差、消滅誤差”三步驟，將問題進(jìn)行邊分析、邊分解、邊解決，形成數(shù)學(xué)中樸素的、易懂易用的思想方法：“以直代曲”.

2.3.1 數(shù)列極限的概念是以圓內(nèi)接正多邊形面積代替圓面積來引入，具體做法如下.

（1）在以圓內(nèi)接正三角形面積S3、內(nèi)接正六邊形面積S6、內(nèi)接正十二邊形面積S12、…來代替圓面積S，用PPT動畫表現(xiàn)出來，可以與同學(xué)們逐步達(dá)成共識：①用直線段代替了圓弧線;②內(nèi)接正多邊形面積是可以計(jì)算的;③形成了一個(gè)無窮數(shù)列;④每一項(xiàng)都與圓面積有誤差;⑤項(xiàng)數(shù)越往后，誤差越小;⑥有必要觀察這個(gè)數(shù)列的變化趨勢，但這是一個(gè)無法逐一去完成的任務(wù)！

（2）引入針對上述數(shù)列的描述性定義：

純文字：當(dāng)項(xiàng)數(shù)不斷向后推進(jìn)時(shí)，內(nèi)接正多邊形的面積越來越接近于圓面積;

半文字：當(dāng)n→

SymboleB@

時(shí)，Sn→S;

純符號：limn→

SymboleB@

Sn=S.

共識：數(shù)學(xué)是簡潔的！內(nèi)涵是豐富的！

（3）正式講述數(shù)列極限的描述性定義，并通過幾個(gè)簡單的、典型的數(shù)列說明：收斂與發(fā)散，單調(diào)收斂與跳躍收斂，定向發(fā)散與不定向發(fā)散，并強(qiáng)調(diào)記憶.

共識：極限是變化趨勢;有極限計(jì)算這類需求;極限計(jì)算是問題的核心、重點(diǎn)、也是難點(diǎn)，暫時(shí)擱置，以后專門解決.

（4）拓展端口.以問問題的形式，或自問自答，或請同學(xué)回答，也可先小組討論選代表回答，還可以留作課后復(fù)習(xí)、作業(yè)，留作下次課前回答，可以書中找、網(wǎng)上搜等等.本知識點(diǎn)有以下問題可以提出.

①不是正多邊形可以嗎？

②用相同的方法求周長可以嗎？

③是否可以用外切正多邊形來解決問題？

④內(nèi)接正邊形的面積構(gòu)成的數(shù)列的增減性如何？外切的呢？（注：此問題為定理“單調(diào)有界數(shù)列必收斂”作準(zhǔn)備，也為兩邊夾定理作例子）

⑤比較：內(nèi)接正三角形面積S3，內(nèi)接正六邊形面積S6，內(nèi)接正十二邊形面積S12，…，以及，內(nèi)接正三角形面積S3，內(nèi)接正四邊形面積S4，內(nèi)接正五邊形面積S5，…，構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系.（子數(shù)列問題，包括增減有限項(xiàng)問題）

⑥對“趨向（于）”是怎樣理解的？

⑦試算一下內(nèi)接正n邊形的面積.（為第一個(gè)重要極限作準(zhǔn)備）

⑧數(shù)列是函數(shù)嗎？有什么特殊性？

（5）本知識點(diǎn)的課堂用時(shí)為一個(gè)學(xué)時(shí)，用圓內(nèi)接正多邊形面積代替圓面積，以達(dá)到三個(gè)目的：一是“以直代曲”思想，即：“承認(rèn)誤差、減少誤差、消滅誤差”這一數(shù)學(xué)思想方法;二是無窮數(shù)列的變化趨勢是有這方面的需求的;三是復(fù)雜的計(jì)算和觀察變化趨勢“暫時(shí)擱置”—有需求但另議，實(shí)現(xiàn)問題分解和矛盾轉(zhuǎn)移.

2.3.2 導(dǎo)數(shù)的概念以自由落體運(yùn)動為例引入

（1）物理學(xué)中知道：自由落體運(yùn)動中，路程S是時(shí)間t的函數(shù)，并且有

St=12gt2≈5t2

于是，1秒到1.5秒的平均速度V1-1.5=S1.5-S（1）1.5-1=12.5

1秒到2秒的平均速度V1-2=S2-S（1）2-1=15

1秒到3秒的平均速度V1-3=S3-S（1）3-1=20

問題：1秒時(shí)的瞬時(shí)速度V1=？

（2）顯然，我們可以用上面三個(gè)平均速度任何一個(gè)來代替—承認(rèn)誤差，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)與分析，時(shí)間間隔小的誤差也小，于是有1秒到1+Δt秒時(shí)的平均速度：（減小誤差）

V1-（1+Δt）=S1+Δt-S（1）（1+Δt）=5（2+Δt）

Δt越小時(shí)，誤差越小，所以取極限：（消滅誤差）

V（1）=limΔt→0S（1+Δt）-S（1）（1+Δt）-1=limΔt→0ΔSΔt=limΔt→05（2+Δt）=10

所以有：自由落體運(yùn)動中，1秒時(shí)的瞬時(shí)速度是10m/s.

共識：計(jì)算瞬時(shí)速度時(shí)需要計(jì)算路程改變量與時(shí)間改變量比值的極限，簡稱“差商極限”.

（3）拓展設(shè)問：①

能否用0.5秒到1秒的平均速度代替1秒時(shí)的瞬時(shí)速度？試算一下;

②能否用2秒到3秒的平均速度來代替？

③將自由落體運(yùn)動改為變速直線運(yùn)動時(shí)，計(jì)算有什么區(qū)別？改成變速圓周運(yùn)動呢？

（4）還可以通過切線斜率的計(jì)算，歸納出：差商極限的計(jì)算是有需求的，但具體計(jì)算是相當(dāng)不容易的.導(dǎo)數(shù)計(jì)算就是解決主要矛盾，發(fā)揚(yáng)“迎著困難上”的精神.2.3.3 定積分的引入可以用均分求面積來引入

以標(biāo)準(zhǔn)拋物線在[0，1]區(qū)間上所圍面積計(jì)算為例，等分計(jì)算長條面積并求和：近似面積（承認(rèn)誤差），份數(shù)越多誤差越?。p小誤差），取極限（消滅誤差）;又一次展現(xiàn)“以直代曲”的解決方法.

2.4 問題解決.極限、導(dǎo)數(shù)、積分三個(gè)定義中都將矛盾進(jìn)行了的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移成微積分學(xué)中的三大類計(jì)算.

2.4.1 極限計(jì)算只需掌握若干個(gè)基本的未定型，包括兩個(gè)重要極限，即從最簡的幾個(gè)極限出發(fā)，配以極限的四則運(yùn)算法則，來完成極限計(jì)算.以最佳求解方法為范例，不作一題多解.

2.4.2 導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)，是圍繞著“湊”公式進(jìn)行，從直接湊公式到掰開了湊，只是利用四則運(yùn)算法則時(shí)不能想“當(dāng)然”：乘與除的法則是掰開了“組合”地湊！復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，是“借用公式的湊”，將含自變量當(dāng)成自變量湊用公式，后乘含自變量式的導(dǎo)數(shù).

2.

4.3 定積分計(jì)算最為簡單，只需正確書寫微積分基本公式.強(qiáng)調(diào)計(jì)算時(shí)細(xì)心即可.

3 融會貫通，厚積薄發(fā)

微積分學(xué)作為高職數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程，其作用是多方面的.

一方面是知識的積累，明確已有成果，不走“重復(fù)路”：不必去做“割圓術(shù)”，也不必去一一證明導(dǎo)數(shù)公式;而是要“多多益善”地知道數(shù)學(xué)已解決的、可解決的問題.

另一方面是數(shù)學(xué)的思想方法，“以直代曲”就是簡單實(shí)用的一種數(shù)學(xué)的思想方法，是復(fù)雜問題分解成多個(gè)簡單問題的一種處理手段.

第三方面是數(shù)學(xué)式的表達(dá)，從數(shù)學(xué)的角度來看，理解或掌握的知識點(diǎn)并不一定能恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)出來，“恰當(dāng)?shù)乇硎尽本褪怯米顬楹啙嵉?、易懂的、?yán)密的（不引起岐意的）表達(dá)出來，換言之就是，數(shù)學(xué)中的定理都是簡潔而內(nèi)涵豐富.例如，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.不足二十字的定理，其中的內(nèi)涵可以推敲多時(shí).

由此可見，數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中的作用是重要的，是其它課程無法替代的，更是為學(xué)生可持續(xù)發(fā)展打造出一個(gè)基礎(chǔ)平臺，一個(gè)具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力的平臺.為更好地建設(shè)這個(gè)平臺，結(jié)合擴(kuò)招生源的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)了上述的課堂實(shí)施線路圖.讓學(xué)生始終明確“要做什么，怎么做”，學(xué)會分析、分解問題、解決問題的總體線路，潛移默化地讓學(xué)生克服對數(shù)學(xué)的恐懼心理，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法、習(xí)慣.同時(shí)，留下相當(dāng)?shù)耐卣苟丝?，鼓?lì)學(xué)生進(jìn)行查閱各種教材及上網(wǎng)搜索，為個(gè)性化學(xué)習(xí)提供方向.

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