在高中數(shù)學解題中應用轉(zhuǎn)化思想的幾點思考

程新益

摘要：隨著我國課程改革的持續(xù)推進，對教學質(zhì)量的要求也正不斷提升，數(shù)學是三大主課之一，其對于提高學生的成績、邏輯思維等皆具有重要意義.但由于傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”已很難滿足現(xiàn)代高中數(shù)學的教學需求，因此，高中的數(shù)學教師應當對自己的教學方式、方案等進行改善，不斷提升學生的解題能力，為學生的高考奠定基礎.本文主要闡述在高中數(shù)學解題過程中，采用轉(zhuǎn)化思想的作用和方法，并以實例對所提出的方法進行佐證，希望能為有關人員提供參考.

關鍵詞：高中數(shù)學;轉(zhuǎn)化思想;解題;方法策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0052-03

高中數(shù)學的教學重點不僅僅只是讓學生掌握數(shù)學的基本知識和理論，其實踐性和難度都比初中數(shù)學高得多，因此，在高中數(shù)學的教學過程中，不應只讓學生通過“刷題”來提升自己的解題能力，教師應將數(shù)學思維、數(shù)學思想融入教學過程中，讓學生能夠捕捉到解題的方法、重點、思維，快速高效的進行解題.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學解題思想的重要思想，其可將復雜的問題簡單化，陌生問題熟悉化，有助于學生思維嚴謹性的提升，良好的解題習慣也會隨之逐漸形成，進而能撬動學生的思維，在啟智明理中促進學生自主學習，從而提高教學質(zhì)效.

1 轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學解題中的意義

高中數(shù)學題目（尤其是理科數(shù)學）的難度和抽象性皆明顯高于初中數(shù)學，學生在解題過程中，教師可以將轉(zhuǎn)化思想運用于解題過程中，進而達到快速解題的目的.轉(zhuǎn)化思想要求學生通過側(cè)面或反面整理解題思路，尋找突破口，把復雜、抽象、困難的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌梢粋€或若干個自己熟知的或能解決的問題.在學習數(shù)學的過程中，大部分學生會將一個較難的問題通過分解、變形、代換、平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式，將之轉(zhuǎn)化為一個或幾個自己熟悉的基本的問題，從而求出答案.在解答一元二次方程時，學生可以將一元二次方程通過因式分解轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

2 在數(shù)學解題過程中利用轉(zhuǎn)化思想的策略

2.1 將復雜問題簡單化

復雜問題簡單化，可以是一個數(shù)學公式，一個數(shù)學概念，一個數(shù)學定義，也可以是有關數(shù)學公式的記憶，數(shù)學定義的證明等等.下面我就如何簡單數(shù)學問題說我的幾點看法： 一、用自己熟悉的、精簡的語言闡述數(shù)學概念和定義.這樣有利于加強概念、定義的理解和記憶.比如，在我講拋物線方程的時候，拋物線方程與焦點位置有密切關系，拋物線方程一次項即是焦點所在位置.而切拋物線的焦點與拋物線方程的系數(shù)的四分之一倍數(shù)有關.這里我用自己的語言向同學們總結(jié).拋物線的方程要么是x2等于好多y，要么是y2等于好多x，這主要就看焦點位置了，如焦點在x軸，一次項就是x，所以方程就是y2等于好多x.以次類推.當面臨一道結(jié)構(gòu)復雜直接解答會難以上手的問題時，可將該問題劃分為一個或多個簡單的問題，逐個解答.例如以下題目：

2.2 將常量轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞?/p>

變量轉(zhuǎn)化多用于含有X未知數(shù)的不等式問題，在做該類題目時，需根據(jù)題目的條件求出參變量的取值范圍，雖然該類題目的做題方法多，即：對其分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、利用函數(shù)性質(zhì)，但次過程較為復雜，出錯了較高，若能使用變量轉(zhuǎn)化則可事半功倍.例如以下例題：

例1設a，b是兩個實數(shù)，A={（x，y） ∣x=n，y=na+b，n ∈ z}， B={（x，y）∣x=m，y=3m2+15，m ∈z，}C={（x，y） ∣x2+y2≤144}是否存在a，b使得（1）A∩B≠;（2）（a，b） ∈ C同時成立.

方法一假設存在（x，y）∈A∩B，則相應的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點.

即：y=ax+by=3x2+15得3x2+15=ax+b

△=a2-12（5-b） ≥0，即-a2≤12b-180，

a2+b2≤144兩不等式相加得b2≤12b-36，即（b-6）2≤0，故b=6.把b=6代入得a2≥108與a2≤108.所以a2=108，所以a=63或a=- 63，

b=6.再代入原方程得3x2±63+9=0解得x=±3 Z，所以a，b不存在.

方法二當然對于式子3x2+15=ax+b即ax+b-（3x2+15）=0，則式子ax+b-（3x2+15）=0可看作以a，b為變量的直線方程，又因為（a，b）∈C即a2+b2≤144也可看作以a，b為變量的圓及圓內(nèi)的點，探究該直線與圓的位置關系圓心到直線的距離：

d=3x2+15x2+1=3（x2+1+4x2+1）≥12（但當且僅當x2+1=4x2+1，

即x=±3時取等號而x∈z但±3z，

所以a，b不存在.

分析以該題為例，解法一采用X為變量，帶入過程較為復雜，計算量大，學生在解題的過程中，容易出現(xiàn)作物;而解法二是將a、b等轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞?，將X作為常量，轉(zhuǎn)化思維，解題過程簡單易懂，由此看出解決此題選a，b為變量，x為常量同樣是可以找到一種優(yōu)質(zhì)的解法.如何設定主元，對學生的思維能力的要求較高，主元選定之后，有助于用方程或函數(shù)思想來解決問題.

2.3 將抽象問題形象化

學生在解答抽象問題時，往往會出現(xiàn)找不到解題思路的情況，尤其是函數(shù)問題，此時便可采取抽象問題形象化的解題方法解決，將抽象問題形象化主要有換元法、湊合法、待定系數(shù)法、利用函數(shù)性質(zhì)法等.

2.3.1 換元法

即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f（x），這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力.

例2已知 f（xx+1）=2x+1，求f（x）.

解題過程設xx+1=u，則x=u1-u

∴f（u）=2u1-u+1=2-u1-u

∴f（x）=2-x1-x

分析該問題從直觀上將屬于一道抽象函數(shù)問題，常規(guī)的方程解法其過程相對抽象和復雜，設xx+1=u，x換為u采用抽象問題形象化，能夠?qū)㈦y題、怪題或超出課程范圍的題目轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題，將問題形象化，方便解題.

2.3.2 湊合法

該方法是在已知f（g（x））=h（x）的條件下，把h（x）并湊成以g（u）表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f（x）.此解法簡潔，還能進一步復習代換法.

例3已知f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解析∵f（x+1x）=（x+1x）（x2-1+1x2）=（x+1x）（（x+1x）2-3）

又∵|x+1x|=|x|+1x≥1，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x，（|x|≥1）

2.3.3 待定系數(shù)法

先確定函數(shù)類型，設定函數(shù)關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數(shù).

例4已知f（x）二次實函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x）.

解析設f（x）=ax2+bx+c，則f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4比較系數(shù)得2（a+c）=42a=12b=2a=12，b=1，c=32∴f（x）=12x2+x+32

2.3.4 利用函數(shù)性質(zhì)法

主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.

例題已知y=f（x）為奇函數(shù)，當 x>0時，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解析

∵f（x）為奇函數(shù)，

∴f（x）的定義域關于原點對稱，故先求x<0時的表達式.

∵-x>0，

∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x），

∵f（x）為奇函數(shù)，∴l(xiāng)g（1-x）=f（-x）=-f（x）

∴當x<0時f（x）=-lg（1-x）

∴f（x）=lg（1+x），x≥0-lg（1-x），x<0

2.4 靜態(tài)問題動態(tài)化

部分數(shù)學問題在以靜態(tài)的思路進行解題可得出結(jié)果，但過程復雜，學生在做題過程中容易出錯，因此，在做該類題目時，可將靜態(tài)問題動態(tài)化，即：通過研究變動情況對題目可能出現(xiàn)的特殊情況進行分析，進而簡化解題過程，防止錯誤的發(fā)生.

例5設F1，F(xiàn)2為橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P為橢圓上一點.已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

解題過程解①若∠PF2F1=90°.

則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

又∵|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，

解得|PF1|=143，|PF2|=43，∴|PF1||PF2|=72.

②若∠F1PF2=90°，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴|PF1|2+（6-|PF1|）2=20，

∴|PF1|=4，|PF2|=2，∴（|PF1||PF2|=2.

綜上知，|PF1||PF2|=

72或2.

分析改題目的直角位置為得到確定，因此，在解題過程中，我們需要先確定直角可以確定的位置，在以分類的方式對直角的位置進行確定，最后對所有可能出現(xiàn)的可能進行匯總，進而得出范圍.解答問題則可要讓，F(xiàn)1和F2動起來，對其進行分類討論，以提高解題的效率.

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學解題思想中的重要部分，其可將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，抽象問題轉(zhuǎn)化為具象問題等，可幫助學生提升解題效率，降低錯誤率的發(fā)生，對于學生提高成績具有重要意義.其次，轉(zhuǎn)化思想可有效鍛煉學生的思維邏輯能力，提升其做題的嚴謹性，進而使其做事的思維能力、嚴謹性得以有效提升，為其未來的發(fā)展奠定堅實基礎.因此，高中數(shù)學教師在教學過程中，應將該思想廣泛運用，幫助學生領悟解題方法，掌握解題能力，為其高考提供堅實保障.

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[責任編輯：李璟]