考慮畸變影響的薄壁箱梁橫向內(nèi)力修正系數(shù)研究

何嘉祥，張?jiān)＃S洪猛

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

現(xiàn)代橋梁設(shè)計(jì)中常用壁厚較薄、腹板間距和截面挖空率較大的箱梁。在豎向偏心荷載作用下，箱梁產(chǎn)生較大的橫向內(nèi)力,因此，設(shè)計(jì)過程中箱梁的橫向配筋問題顯得非常重要。箱梁設(shè)計(jì)中,工程設(shè)計(jì)人員往往更關(guān)注縱向內(nèi)力分析而輕視橫向內(nèi)力分析，導(dǎo)致箱梁在投入使用后可能出現(xiàn)縱向開裂，嚴(yán)重影響橋梁的安全性和耐久性[1]。因此，開展箱梁橫向內(nèi)力分析很有必要。國內(nèi)外研究人員對(duì)薄壁箱梁橫向內(nèi)力分析已有較多研究。文獻(xiàn)[2-4]在雙對(duì)稱箱梁橫向內(nèi)力傳統(tǒng)框架分析基礎(chǔ)上，提出了帶懸臂板的梯形箱梁橫向內(nèi)力計(jì)算方法。方志等[5]利用空間有限元軟件對(duì)單室箱梁在輪壓局部荷載作用下的橫向內(nèi)力進(jìn)行了參數(shù)分析，提出了計(jì)算變截面箱梁橫向內(nèi)力有效分布寬度經(jīng)驗(yàn)公式，分析了變截面箱梁橫向受力分布規(guī)律。程翔云[6]采用有限條法計(jì)算箱梁橫向彎矩并得到了頂板沿橫向的彎矩包絡(luò)圖。汪洋生等[7]基于框架分析原理研究了箱梁橫向內(nèi)力，進(jìn)行了參數(shù)影響分析，但計(jì)算得出的底板橫向彎矩精度稍差。曾超等[8]在箱梁框架分析基礎(chǔ)上提出了橫向內(nèi)力計(jì)算機(jī)分析方法。Kurian等[9-11]在對(duì)純閉口混凝土箱梁進(jìn)行三維有限元分析基礎(chǔ)上，對(duì)比框架分析法提出橫向內(nèi)力的修正方法。鐘新谷等[12]基于最小勢(shì)能原理推導(dǎo)了箱梁橫向框架效應(yīng)單元?jiǎng)偠染仃囈约暗刃Ч?jié)點(diǎn)荷載。此外，文獻(xiàn)[13-17]還研究了波形鋼腹板組合箱梁的橫向內(nèi)力。

本文在剛性支承框架分析法基礎(chǔ)上考慮箱梁畸變影響，推導(dǎo)單室薄壁箱梁的橫向內(nèi)力計(jì)算公式，采用“半框架模型”計(jì)算橫向變位以提高橫向內(nèi)力計(jì)算精度，并研究橫向內(nèi)力修正系數(shù)以便工程應(yīng)用。

1 橫向內(nèi)力修正系數(shù)及框架剪力差

工程中應(yīng)用的箱梁屬于空間薄殼結(jié)構(gòu)，在偏心豎向分布荷載作用下，為分析箱梁的橫向內(nèi)力，往往沿梁長截取單位長度箱梁梁段，并在腹板下虛設(shè)支承，按剛性支承框架計(jì)算橫向內(nèi)力，但應(yīng)考慮偏載下畸變效應(yīng)引起的橫向內(nèi)力，對(duì)剛性支承框架內(nèi)力進(jìn)行修正。引入橫向內(nèi)力修正系數(shù)λ，其定義為

(1)

式中：m為考慮畸變效應(yīng)后求得的實(shí)際橫向內(nèi)力(彎矩)；mR為僅由剛性支承框架求得的橫向內(nèi)力(彎矩)，可采用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法或桿系結(jié)構(gòu)有限元方法求解。本文著重研究m的合理計(jì)算方法。

當(dāng)箱梁沿橋跨縱向作用豎向偏心分布荷載時(shí)，可在箱梁底板兩角點(diǎn)處虛設(shè)沿橋跨縱向連續(xù)分布的豎向剛性支承，在單側(cè)腹板上下兩角點(diǎn)處虛設(shè)沿橋跨縱向連續(xù)分布的水平剛性支承。通過對(duì)截取的單位長度梁段相應(yīng)的橫向框架進(jìn)行分析，可得到上述4個(gè)角點(diǎn)處的反力。然而，由于上述剛性支承實(shí)際并不存在，需撤除這些剛性支承，即對(duì)箱梁在上述4個(gè)角點(diǎn)處施加與剛性支承反力大小相等且方向相反的力。這些反向施加的豎向反力可進(jìn)一步分解為豎向?qū)ΨQ荷載和反對(duì)稱荷載，其中對(duì)稱荷載作用下產(chǎn)生的橫向彎矩可忽略不計(jì)。本文主要研究箱梁在豎向反對(duì)稱荷載及水平反向荷載作用下的橫向內(nèi)力。

圖1為截取的單位長度箱梁梁段框架尺寸及框架各桿所受荷載簡圖，其中，t′u、t′b、t′w分別表示框架上、下水平桿件及斜桿所受的扭轉(zhuǎn)剪力差荷載，即截取的單位長度箱梁梁段在前后兩個(gè)橫截面處頂板、底板及腹板上扭轉(zhuǎn)剪力流合力，撇號(hào)代表縱向坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。同樣，T′u、T′b、T′w分別為相應(yīng)的畸變剪力差荷載?？蚣艹苌鲜黾袅Σ詈奢d外，還有作用在相應(yīng)角點(diǎn)位置處的豎向反對(duì)稱荷載qv及水平反向荷載qs。

圖1 框架尺寸及剪力差荷載

由腹板和底板交點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)剪力流相等可知

(2)

根據(jù)箱梁在反對(duì)稱荷載作用下的畸變分析理論可知，橫截面上各板件畸變翹曲正應(yīng)力及其對(duì)應(yīng)的彎矩如圖2所示。圖2中，在角點(diǎn)A和D處的畸變翹曲正應(yīng)力分別用σA和σD表示，上、下翼緣板及腹板的畸變翹曲應(yīng)力在自身平面內(nèi)的彎矩分別用Mu、Mb及Mw表示，它們都可通過σA表達(dá)。根據(jù)箱梁橫截面上翹曲正應(yīng)力不合成繞豎向?qū)ΨQ軸的彎矩的平衡條件，可得畸變翹曲系數(shù)β為

圖2 畸變翹曲正應(yīng)力及板件彎矩

(3)

式中：β=σD/σA；α1=b0/b為上翼緣板全寬與頂板寬度之比；tu、tb、tw分別為箱梁上、下翼緣板及腹板厚度。

根據(jù)箱梁各板件彎矩與剪力之間的關(guān)系，畸變剪力差為

(4)

(5)

(6)

對(duì)比式(4)～式(6)可得，各畸變剪力差荷載之間的關(guān)系為

(7)

(8)

值得注意的是，在式(7)中，只有當(dāng)α1=1，β=1，b=c，tu=tb時(shí)，即在雙對(duì)稱截面情況下，上、下翼緣板的畸變剪力差大小相等。對(duì)一般截面，箱梁上、下翼緣板的畸變剪力差并不相等。

2 框架變形分析及協(xié)調(diào)關(guān)系

如圖3所示，框架在反對(duì)稱荷載作用下，上、下桿的反彎點(diǎn)位于其中點(diǎn)處，剪力分別用Qu和Qb表達(dá)；腹桿處的反彎點(diǎn)將腹桿分成上下兩段，其中上段腹桿長度為a/(1+ηm)，下段腹桿長度為aηm/(1+ηm)，ηm為僅取決于箱梁橫截面尺寸的系數(shù)，腹桿反彎點(diǎn)處剪力為Qw。根據(jù)框架在各個(gè)角點(diǎn)處的彎矩平衡，可得

圖3 框架剪力

(9)

(10)

對(duì)比式(9)與式(10)可知

(11)

因?yàn)橄淞嚎蚣芙Y(jié)構(gòu)具有左右對(duì)稱性，其反彎點(diǎn)必位于頂板與底板的中點(diǎn)處，本文建立如圖4所示的無側(cè)移“半框架模型”。為求得對(duì)應(yīng)于箱梁畸變的框架變形，在圖4角點(diǎn)A處施加豎向力P，由豎向力平衡條件可得

圖4 “半框架模型”簡圖

(12)

在小變形情況下，上述框架變形如圖5所示，轉(zhuǎn)角γ1和γ2可表示為

圖5 框架變形

(13)

(14)

為了求解相對(duì)轉(zhuǎn)角γ1和γ2，需求出框架的相對(duì)豎向位移ΔAy和ΔDy，按結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法原理先求出框架內(nèi)剪力，并作出荷載作用時(shí)的框架彎矩圖，然后在A點(diǎn)作用豎向單位荷載并作出彎矩圖，最后用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求得用Qw表達(dá)的ΔAy和ΔDy為

(15)

式中：E為彈性模量；Iw為腹桿的截面慣性矩，Iw=tw3/[12(1-μ2)]；η1為與箱梁橫截面尺寸有關(guān)的系數(shù)。

圖6所示為箱梁橫截面的畸變變形簡圖，畸變角與各板面內(nèi)位移之間的關(guān)系為

圖6 箱梁畸變變形簡圖

(16)

箱梁截面的畸變位移與各板件位移之間的關(guān)系為

(17)

式中：Jw=twa3/12；Ju=tub03/12；Jb=tbc3/12；α為取決于箱梁荷載形式和支承條件的系數(shù)。

由于框架取自箱梁，按框架所求的變形應(yīng)該與箱梁畸變變形保持協(xié)調(diào)，對(duì)比圖5和圖6可知，變形協(xié)調(diào)關(guān)系為

γu+γw=γ1

(18)

γb+γw=γ2

(19)

聯(lián)立式(13)～式(14)、式(16)～式(19)，并代入式(15)經(jīng)整理可得框架腹板內(nèi)剪力和畸變剪力差關(guān)系式為

(20)

3 框架內(nèi)外力平衡關(guān)系

如圖7所示，由內(nèi)外力在水平方向和豎向的平衡及力矩的平衡關(guān)系，可建立如下平衡方程

圖7 內(nèi)外力的平衡

(21)

(22)

(23)

至此已建立了求解橫向內(nèi)力所需的全部方程，通過聯(lián)立求解式(2)、式(7)、式(8)、式(10)、式(11)、式(20)～式(23)，求出框架剪力Qu、Qb、Qw后，即可求得考慮畸變影響的橫向彎矩，再疊加剛性支承框架橫向彎矩，即得最終的橫向彎矩。

4 數(shù)值算例分析

4.1 理論驗(yàn)證與對(duì)比

以文獻(xiàn)[3]中有機(jī)玻璃試驗(yàn)梁模型為例，梁的計(jì)算跨徑為1.20 m，彈性模量為2 800 MPa，泊松比為0.37；豎向偏心均布荷載為1 kN/m，荷載作用點(diǎn)到頂板中心距離為60 mm。截面尺寸如圖8所示。

圖8 荷載及箱梁橫截面(單位: mm)

通過本文解析法和Ansys中Shell63單元計(jì)算跨中截面處頂板角點(diǎn)A和B以及底板角點(diǎn)C和D的橫向彎矩(框架內(nèi)側(cè)受拉為正)，對(duì)比結(jié)果見表1。

表1 跨中截面角點(diǎn)橫向彎矩對(duì)比

由表1可知，兩種方法計(jì)算的角點(diǎn)橫向彎矩與Ansys有限元計(jì)算值吻合良好。通過分析，C、D點(diǎn)的誤差降到了3.3%和4.2%，相比文獻(xiàn)[3]的計(jì)算方法，本文方法使點(diǎn)C、D的誤差有所減小，點(diǎn)A的誤差雖然略微增大，但其他角點(diǎn)的誤差相對(duì)減小。這說明本文“半框架模型”橫向內(nèi)力計(jì)算方法能降低箱梁底板角點(diǎn)橫向彎矩的誤差。

表2為按本文方法和文獻(xiàn)[3]方法計(jì)算跨中截面橫向彎矩的相關(guān)截面特性參數(shù)。由表2可知，按兩種方法求得的慣性矩和畸變翹曲系數(shù)相同，但η1和ηm值不同，這是由于取不同的框架模型而產(chǎn)生不同框架位移造成的。

表2 截面特性參數(shù)

以跨徑30 m單室混凝土簡支箱梁為例[13]，梁上作用沿橋跨縱向的均布豎向偏心荷載為10 kN/m，偏心距為1 m。箱梁采用C50混凝土，彈性模量為34.5 GPa，泊松比為0.2，簡化后的橫截面尺寸如圖9所示。

圖9 箱梁橫截面尺寸(單位: m)

分別用本文方法、剛性支承框架分析法及有限元Ansys 中Shell63單元計(jì)算跨中截面單寬橫向彎矩，將三種方法所得結(jié)果繪于圖10(框架內(nèi)側(cè)受拉為正)。

圖10 跨中截面橫向彎矩(單位：kN·m/m)

對(duì)比圖10所示結(jié)果可知，本文改進(jìn)方法計(jì)算跨中截面橫向彎矩與Ansys計(jì)算值吻合良好，而按剛性支承框架分析法計(jì)算跨中截面底板處橫向彎矩與本文改進(jìn)方法計(jì)算得出的橫向彎矩有較大偏差，甚至出現(xiàn)正負(fù)號(hào)的改變。由此說明，在豎向偏心荷載作用下計(jì)算跨中截面處橫向彎矩時(shí)不能忽略由畸變產(chǎn)生的橫向彎矩。

4.2 參數(shù)分析

為研究箱梁在偏心荷載作用位置變化時(shí)對(duì)跨中截面橫向彎矩的影響，以圖9中30 m簡支箱梁截面為研究對(duì)象，在保持其截面尺寸不變的情況下，改變外荷載q的偏心距d，d的取值范圍以0.5 m為步長從0增至2.5 m。根據(jù)對(duì)稱性，只考慮荷載在左腹板與頂板的角點(diǎn)到頂板中點(diǎn)范圍內(nèi)的移動(dòng)，暫不考慮荷載在懸臂板上的情況。

頂板上荷載作用點(diǎn)的橫向彎矩為MF，由圖11可以看出，跨中截面各點(diǎn)處的橫向彎矩總體上有MF>MB>MA>MC>MD，頂板與左腹板角點(diǎn)A處橫向彎矩值在荷載偏心距為0～0.5m范圍內(nèi)略微增大，而d>0.5m時(shí)MA迅速減小。荷載作用點(diǎn)彎矩值MF和角點(diǎn)B的彎矩值MB隨著荷載偏心距的增大而逐漸減小，而底板與腹板角點(diǎn)彎矩值MC和MD近似于線性增長。

圖11 跨中截面橫向彎矩隨荷載位置變化曲線

圖12反映了跨中截面頂板角點(diǎn)A、B及荷載作用點(diǎn)F處橫向彎矩修正系數(shù)λ隨荷載偏心距d的變化規(guī)律。當(dāng)偏心距d增大時(shí)，修正系數(shù)λB和λF均呈遞增趨勢(shì)，且λB的變化幅度更為明顯，而修正系數(shù)λA逐漸減小。荷載偏心趨于很小時(shí)，頂板角點(diǎn)與荷載作用點(diǎn)處的橫向彎矩修正系數(shù)λ趨近于1。

圖12 修正系數(shù)隨荷載偏心距變化曲線

圖13反映了當(dāng)箱室高寬比h/b=0.5時(shí)，頂板抗彎剛度和腹板抗彎剛度比(令抗彎剛度比k=Iu/Iw)對(duì)箱梁頂板處橫向彎矩的影響。由圖13可知，MF隨著k的增大而增大，相應(yīng)的MB在k值較小時(shí)呈現(xiàn)出平穩(wěn)增大的趨勢(shì)。當(dāng)k>0.5時(shí)，MB緩慢減小，MA隨著k的增大而迅速減??；當(dāng)k約為0.25時(shí)，頂板兩角點(diǎn)處的橫向彎矩峰值最小。

圖13 跨中截面橫向彎矩隨抗彎剛度之比k的變化曲線

圖14反映了箱梁跨中截面頂板角點(diǎn)A、B及荷載作用點(diǎn)F處橫向彎矩修正系數(shù)λ隨抗彎剛度比k的變化規(guī)律。由圖14可知，修正系數(shù)λA和λB的變化規(guī)律相反，隨著k的增大，λA逐漸減小，而修正系數(shù)λB逐漸增大。此外，荷載作用點(diǎn)處的修正系數(shù)λF趨于穩(wěn)定，約為1.06，即抗彎剛度比k的變化對(duì)荷載作用點(diǎn)處的修正系數(shù)影響較小。

圖14 h/b=0.5時(shí)修正系數(shù)隨抗彎剛度比k的變化曲線

為研究不同箱室高寬比對(duì)跨中截面修正系數(shù)隨抗彎剛度比k變化的影響，圖15給出了在箱室高寬比h/b=0.5和h/b=1.0兩種情況下頂板角點(diǎn)A、B處橫向彎矩修正系數(shù)的變化規(guī)律。

圖15 不同h/b的修正系數(shù)隨抗彎剛度比k變化曲線

從圖15可見，高寬比h/b=0.5時(shí)，修正系數(shù)λA隨抗彎剛度比k的增大而逐漸減小，修正系數(shù)λB隨抗彎剛度比k的增大而逐漸增大；高寬比h/b=1.0時(shí)，修正系數(shù)λA與抗彎剛度比k近似于線性減小，修正系數(shù)λB與抗彎剛度比k近似于線性增大。高寬比較大時(shí)，橫向彎矩修正系數(shù)變化更為顯著。

5 結(jié)論

(1) 在剛性支承框架分析法基礎(chǔ)上，選取“半框架模型”計(jì)算橫向變位，通過建立“半框架模型”變形與箱梁畸變變形之間的協(xié)調(diào)關(guān)系，推導(dǎo)了考慮畸變影響的橫向內(nèi)力計(jì)算公式。算例表明，按本文改進(jìn)方法計(jì)算的橫向內(nèi)力與有限元軟件Ansys殼單元計(jì)算值吻合良好，從而驗(yàn)證了本文方法的合理性。

(2) 在剛性支承框架內(nèi)力基礎(chǔ)上，引入了橫向內(nèi)力修正系數(shù)λ，并通過參數(shù)分析探討了λ的變化規(guī)律。由于考慮畸變影響的橫向內(nèi)力計(jì)算較為繁瑣，設(shè)計(jì)人員只需計(jì)算剛性支承框架內(nèi)力，然后乘以修正系數(shù)λ即可得到實(shí)際橫向內(nèi)力。因此，本文引入的橫向內(nèi)力修正系數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)人員尤為方便。

(3) 隨著荷載偏心距的增大，箱梁跨中截面頂板角點(diǎn)處橫向彎矩逐漸減小，底板角點(diǎn)處橫向彎矩逐漸增大。荷載偏心距趨于很小時(shí)，頂板角點(diǎn)與荷載作用點(diǎn)處的橫向彎矩修正系數(shù)趨近于1。

(4) 頂板和腹板的抗彎剛度比k對(duì)箱梁跨中截面頂板角點(diǎn)處橫向彎矩影響較大，對(duì)荷載作用點(diǎn)處橫向彎矩影響較小，當(dāng)k約為0.25時(shí)，頂板角點(diǎn)處橫向彎矩峰值最小。

(5)箱室高寬比h/b=1時(shí)，λ與k近似于線性關(guān)系。當(dāng)高寬比較大時(shí)，橫向彎矩修正系數(shù)隨頂板和腹板的抗彎剛度比變化更為顯著。