一種考慮系統(tǒng)不確定性估計的重載列車最優(yōu)黏著控制

付雅婷，朱虹燕，楊輝

(1.華東交通大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.江西省先進(jìn)控制與優(yōu)化重點實驗室，江西 南昌 330013)

重載列車在鐵路貨物運(yùn)輸中起著重要作用，高牽引性能能使列車更好地運(yùn)行，重載列車的牽引力由車輪和軌道之間的黏著力實現(xiàn)，黏著力由輪軌之間的黏著系數(shù)決定[1]。當(dāng)軌面條件不好時，車輪的牽引轉(zhuǎn)矩超過輪軌可提供的最大黏著力，會發(fā)生滑動或者空轉(zhuǎn)現(xiàn)象，這種現(xiàn)象會造成輪軌磨損、列車牽引性能下降等不良影響，所以對重載列車的黏著優(yōu)化控制研究具有重要的實際意義[2]。當(dāng)前重載列車黏著控制主要分為2個方向，分別是再黏著控制和黏著優(yōu)化控制，再黏著控制指的是在列車空轉(zhuǎn)之后，使輪軌重回黏著狀態(tài)的控制方法。傳統(tǒng)的再黏著控制的主要方法是校正法，校正型系統(tǒng)的閾值設(shè)定要進(jìn)行大量的實驗研究，若參數(shù)調(diào)定不正確會影響機(jī)車牽引性能的發(fā)揮[3]。針對空轉(zhuǎn)之后再黏著的問題，KONDO[4]提出了一種基于蠕滑加速度的再黏著牽引轉(zhuǎn)矩指令生成方法，通過仿真計算驗證了該黏著控制系統(tǒng)性能；PICHLIK等[5]利用無跡卡爾曼濾波估計黏著系數(shù)后再使用PI控制器實現(xiàn)再黏著控制。黏著優(yōu)化控制則是以黏著特性曲線峰值點為目標(biāo)，同時保持輪軌工作點始終位于黏著特性曲線的穩(wěn)定區(qū)，其克服了校正法的不足，獲得了相對更高的黏著利用率。近年來，關(guān)于黏著優(yōu)化的控制策略取得了一定的成果。趙凱輝等[6]利用滑模極值搜索算法搜索得到黏著系數(shù)最優(yōu)點，并設(shè)計超螺旋控制器來實現(xiàn)對列車最優(yōu)黏著控制；ZHAO等[7]設(shè)計基于對稱障礙李雅普諾夫函數(shù)的控制器對最優(yōu)蠕滑速度進(jìn)行跟蹤控制實現(xiàn)最優(yōu)黏著控制；李寧洲等[8]采用動態(tài)多子群GSA-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對重載列車進(jìn)行黏著智能優(yōu)化控制；WEN等[9]提出基于分布式模型預(yù)測控制的黏著優(yōu)化控制。離散滑模變結(jié)構(gòu)控制因為對系統(tǒng)的不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性，所以在計算機(jī)實時控制和工程上得到了較好的應(yīng)用。但是離散滑模系統(tǒng)未進(jìn)入滑模動態(tài)前，穩(wěn)定性無法保證，針對此問題，提出將積分項引入離散滑?？刂?，其能夠在系統(tǒng)開始運(yùn)行時就抵消未知干擾的影響，增強(qiáng)了控制律的魯棒性。段文杰等[10]將離散積分滑模容錯控制用于含多故障的衛(wèi)星控制系統(tǒng)中；鄭長明等[11]針對永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的不確定性和容易受到擾動影響的問題，提出離散比例-積分滑?？刂疲朔€(wěn)態(tài)誤差并實現(xiàn)了全程魯棒性，得到了較好的效果。鑒于此，本研究針對重載列車安全平穩(wěn)行車、提高牽引利用率的需求，提出基于離散積分滑?？刂品椒?，對最優(yōu)蠕滑速度進(jìn)行跟蹤控制，同時采用一步延遲估計方法對系統(tǒng)不確定性估計以此提高控制器的精確性。通過仿真結(jié)果驗證，所設(shè)計的跟蹤控制器能夠?qū)ψ顑?yōu)蠕滑速度進(jìn)行精確快速的跟蹤。

1 重載列車動力學(xué)模型和黏著特性

1.1 重載列車動力學(xué)模型

重載列車牽引系統(tǒng)可簡化為重載機(jī)車輪對動力學(xué)模型和機(jī)車車體運(yùn)動方程2部分。

忽略阻尼系數(shù)，牽引電機(jī)運(yùn)動方程為[6]：

上述各式中，Tm為牽引電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩，N·m；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，N·m；ωm為電機(jī)轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度，rad/s；ωd為輪對角速度，rad/s；r為輪對半徑，m；vd為輪對線速度，m/s，vt為列車前進(jìn)速度，m/s；vs為列車蠕滑速度；Jm為轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；Fμ為輪軌間的黏著力，N；Rg為齒輪箱轉(zhuǎn)速傳遞比；M為列車質(zhì)量，kg；Fμi為第i軸牽引電機(jī)產(chǎn)生的牽引力，N；Fd為列車運(yùn)行過程中的阻力，N，與車體速度vt相關(guān)；Wg為列車單軸軸重，kg；l，m和n為經(jīng)驗阻力系數(shù)，均為正常數(shù)。

1.2 輪軌黏著特性分析

列車在牽引過程中，輪對速度vd大于機(jī)車前進(jìn)速度vt，定義蠕滑速度為輪對速度vd與機(jī)車速度vt之間的速度差，公式如下 ：

式中：a,b,c和d為軌面條件參數(shù)，均為正常數(shù)。

圖1所示為3種不同軌面下的黏著特性曲線。由圖1可知，不同軌面下的黏著系數(shù)是不同的，但在不同路況下都存在最大值，且隨著蠕滑速度的增大黏著系數(shù)都呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。峰值點左側(cè)是黏著區(qū)，峰值點右側(cè)是滑動區(qū)。在黏著區(qū)dμ/dvs>0，在滑動區(qū)dμ/dvs<0，在最大值處dμ/dvs=0。

圖1 黏著特性曲線Fig.1 Adhesion characteristic curves

2 最優(yōu)蠕滑速度參考值設(shè)定

2.1 觀測黏著系數(shù)

輪軌表面的黏著系數(shù)無法直接測量，因此提出一種串聯(lián)滑模觀測器來觀察黏著系數(shù)，在重載列車實際運(yùn)行中，牽引電機(jī)的角速度ωm和轉(zhuǎn)角θm是可測的，負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL不可測。通過對負(fù)載轉(zhuǎn)矩的測量可以得到黏著系數(shù)的觀測值[14]。

選擇狀態(tài)變量x1=θm,x2=ωm,x3=TL，根據(jù)式(1)，可以得到:

串聯(lián)觀測器公式如下：

2.2 黏著特性曲線斜率估計

黏著特性曲線斜率估計值?μ采用帶有遺忘因子的最小二乘法(IRLS)進(jìn)行估計，IRLS算法的更新規(guī)則可以表示為[15].

在式(16)中，γ為指數(shù)加權(quán)因子，P為誤差協(xié)方差，λ為遺忘因子，φ(k)=dvs/dt，為了實時反映蠕滑速度的變化，需要對遺忘因子進(jìn)行合適的設(shè)置，然后得到黏著特性曲線斜率的估計值

2.3 最優(yōu)蠕滑速度搜索

使用梯度下降法自動迭代搜索蠕滑速度，得到最優(yōu)蠕滑速度參考值。

其中：α(n)是設(shè)計的自適應(yīng)學(xué)習(xí)步長函數(shù)；α0為初始學(xué)習(xí)步長；A,B,ρ和α0都是需要設(shè)置的參數(shù)。

當(dāng)黏著峰值點在黏著特性曲線左側(cè)黏著區(qū)時，斜率?μ為正值，根據(jù)式(17)，此時vs會逐漸增加接近峰值點，當(dāng)在滑動區(qū)時，由于斜率?為負(fù)值，vs會逐漸減小，當(dāng)斜率?μ=0時，搜索到最優(yōu)蠕滑速度vs(n+1)=vs(n)。

3 最優(yōu)蠕滑速度離散積分滑模跟蹤控制器

3.1 重載列車最優(yōu)黏著控制結(jié)構(gòu)

重載列車最優(yōu)黏著控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。圖2包括串聯(lián)滑模觀測器、帶遺忘因子的最小二乘算法、最優(yōu)蠕滑速度搜索和離散積分滑模控制器4部分，首先牽引電機(jī)轉(zhuǎn)子角度θm輸入串聯(lián)滑模觀測器再經(jīng)過式(7)得到實時黏著系數(shù)觀測值，然后帶遺忘因子的最小二乘法估計得到黏著特性曲線斜率?μ，再使用變步長搜索算法對進(jìn)行判斷并搜索得到期望蠕滑速度v*s，最后離散積分滑?？刂破鞲鶕?jù)實際蠕滑速度vs與給定期望蠕滑速度v*s之間的誤差來計算控制輸出牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩T*m，從而達(dá)到重載列車最優(yōu)黏著控制實現(xiàn)的目的。

圖2 最優(yōu)黏著系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Control block diagram of optimal adhesion system

3.2 對系統(tǒng)不確定性估計的離散積分滑模跟蹤控制律設(shè)計

根據(jù)式(4)和式(5)，令x=vd-vt=vs，則重載列車模型可以轉(zhuǎn)換為：

假設(shè)采樣時間為T，利用前向歐拉法離散化式(19)描述的輪軌動態(tài)方程：

令u(k)=Tm(k)，將建模未考慮到的因素和離散化產(chǎn)生的誤差稱為系統(tǒng)不確定性?(k)，則式(20)可以整理為：

首先，定義重載列車的離散蠕滑速度跟蹤誤差

式中：v*s(k)，vs(k)和e(k)分別為期望蠕滑速度、實際蠕滑速度及跟蹤誤差。

根據(jù)式(24)，定義離散積分滑模面[16-17]

式中：ε(0)=0。

由式(25)可得

即系統(tǒng)狀態(tài)從一開始就位于滑模面上，消除了滑模控制的趨近運(yùn)動。

針對離散系統(tǒng)(21)，趨近律選擇式(27)所示的離散指數(shù)趨近律。

其中：0<β1<1，β2>0。

考慮式(25)滑模面，設(shè)計蠕滑速度離散積分滑模跟蹤控制律為

式中：β1和β2為大于0的控制律設(shè)計參數(shù)。

證明 將式(21)代入式(25)，可得

對于離散系統(tǒng)(21)，如果式(33)在所有時刻都成立，且β3>0，則由控制律(27)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定于期望蠕滑速度的附近。

式中：β3>0為不確定性誤差上確界。

根據(jù)式(32)，滑模面可分為以下幾種情況。

當(dāng)s(k)≥β2+β3時，可得

當(dāng)s(k)≤-β2-β3時，可得

當(dāng)采樣時間T趨近于0時，系統(tǒng)不確定性誤差上確界β3非常小，同時，由β3<β2可取β2為極小值。所以根據(jù)式(47)可以得知，控制律(28)構(gòu)造的控制器能夠使蠕滑速度漸進(jìn)穩(wěn)定在一個很小的區(qū)域，從而保證跟蹤控制器的跟蹤精度。

為了抑制式(28)中符號函數(shù)產(chǎn)生的抖振，采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)，則式(28)進(jìn)一步修正為

式(49)中：τ為邊界層厚度。

4 仿真分析

為了驗證本文所提出的帶有估計模塊的離散積分滑?？刂品椒ǖ挠行?，本節(jié)對所提出的重載列車最優(yōu)蠕滑速度跟蹤控制策略進(jìn)行仿真驗證，并將其分別與經(jīng)典離散滑模方法和無估計模塊的離散積分滑模方法對最優(yōu)蠕滑速度的跟蹤效果進(jìn)行對比，通過對比實驗更好地體現(xiàn)了本文控制方法的優(yōu)勢。部分仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)Tible 1 Simulation parameters

為了模擬軌面突變的情況，軌面狀況采用圖1所示的干燥、潮濕和雨雪3種狀態(tài)，3種軌面黏著特性參數(shù)值如表2所示，首先重載列車運(yùn)行在干燥軌面，于30 s時切換到潮濕的軌面狀態(tài)，60 s時切換到雨雪的軌面狀態(tài)，列車的阻力系數(shù)l=0.5，m=0.004 1，n=0.002 2，整個仿真時間為90 s，系統(tǒng)的采樣和控制周期為0.1 s。

表2 黏著特性曲線參數(shù)值Table 2 Adhesion characteristic curve parameter value

串聯(lián)滑模觀測器觀測黏著系數(shù)仿真結(jié)果如圖3所示，紅色和藍(lán)色實線分別代表實際黏著系數(shù)和觀測黏著系數(shù)，仿真結(jié)果表明觀測器能夠?qū)崿F(xiàn)對實際值進(jìn)行快速準(zhǔn)確的估計。

圖3 黏著系數(shù)實際值與觀測值Fig.3 Actual value and observed value of adhesion coefficient slip velocity tracking control

本文采用的帶不確定性估計的離散積分滑?？刂品椒ㄅc采取經(jīng)典離散滑模方法對期望蠕滑速度的跟蹤效果對比如圖4所示。由仿真對比結(jié)果表明：本文所提出的跟蹤方法能夠更精確地跟蹤目標(biāo)蠕滑速度，并且在變換路況的時候更加平穩(wěn)。

圖4 帶不確定性估計的離散積分滑模與經(jīng)典離散滑模蠕滑速度跟蹤控制Fig.4 Discrete-time integral sliding-mode with uncertainty estimation and discrete-time sliding-mode

為了驗證帶系統(tǒng)不確定性估計的離散積分滑模方法的優(yōu)越性，將其與無不確定性估計模塊的離散積分滑模方法進(jìn)行了對比，仿真圖如圖5所示。從圖5可以看出，由于最優(yōu)蠕滑速度搜索算法的作用，每個路況下都搜索得到最優(yōu)值，在30 s時干燥路面轉(zhuǎn)變?yōu)槌睗衤访?，最?yōu)蠕滑速度從0.2 m/s降到0.085 m/s，在60 s時潮濕路面轉(zhuǎn)變?yōu)橛暄┞访?，最?yōu)蠕滑速度從0.085 m/s增至0.153 m/s，無論離散積分滑?？刂破鲙Ч烙嬆K還是無估計模塊，都能夠穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)蠕滑速度，但對系統(tǒng)不確定性進(jìn)行估計的跟蹤控制器具有更高的跟蹤精度，跟蹤誤差如圖6所示。同時根據(jù)圖7顯示的控制牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩仿真情況，對不確定性進(jìn)行估計的控制牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩在轉(zhuǎn)換路況時更加平滑，其具有更好的牽引平穩(wěn)性。

圖5 帶不確定性估計與無不確定性估計的離散積分滑模蠕滑速度跟蹤控制Fig.5 Discrete-time integral sliding-mode with or without estimation tracking slip velocity

圖6 帶不確定性估計與無不確定性估計的離散積分滑模蠕滑速度跟蹤誤差Fig.6 Discrete-time integral sliding-mode with or without estimation tracking slip velocity error

根據(jù)圖7牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果和圖1黏著特性曲線，可以看出牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm和黏著系數(shù)μ隨軌面狀態(tài)變化的趨勢總體一致，在0～30 s控制轉(zhuǎn)矩Tm穩(wěn)定于8 400 N·m，黏著系數(shù)觀測值μ?穩(wěn)定在0.291附近,其與黏著系數(shù)實際值誤差很?。辉?0～60 s牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm穩(wěn)定在4 400 N·m，黏著系數(shù)觀測值?穩(wěn)定在0.263附近，在60～90 s牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Tm穩(wěn)定在2 300 N·m，黏著系數(shù)觀測值μ?穩(wěn)定在0.095附近。仿真結(jié)果表明，即使改變2次路面狀況，控制器也能及時調(diào)整牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩跟蹤上期望蠕滑速度，實現(xiàn)重載列車的最優(yōu)黏著控制。

圖7 帶不確定性估計與無不確定性估計的離散積分滑模牽引電機(jī)轉(zhuǎn)矩Fig.7 Comparison of traction motor torque discrete-time integral sliding-mode with or without estimation

5 結(jié)論

1)針對未知路面狀況下的最優(yōu)蠕滑速度參考值的選定問題，提出帶遺忘因子的最小二乘算法和梯度下降法搜索得到最優(yōu)蠕滑速度。設(shè)計離散積分滑?？刂破鞲櫰谕浠俣?，使列車在軌面狀態(tài)發(fā)生變化的情況下也能在較短時間內(nèi)搜索到并穩(wěn)定工作在最佳蠕滑速度下。

2)為了抑制抖振現(xiàn)象和提高控制系統(tǒng)精確性，設(shè)計一步延遲估計方法對系統(tǒng)不確定性進(jìn)行補(bǔ)償和估計。實驗結(jié)果證明，所提出對系統(tǒng)不確定性進(jìn)行估計的離散積分滑?？刂破髂艽_保較高的跟蹤速度和精度，達(dá)到對重載列車最優(yōu)黏著控制的要求。