提高作圖能力 發(fā)展空間觀念

文/潘學(xué)超

引 言

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。其中，空間形式主要就是研究“形”，即“圖形”。我們生活的客觀世界中存在著大量的“形”，這些“形”去掉輕重、軟硬、冷熱等物理屬性后，抽象出形狀、大小等數(shù)學(xué)屬性的“形”，即“幾何圖形”?！皥D形與幾何”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要知識領(lǐng)域，作圖是學(xué)習(xí)幾何知識的一項重要技能，幾何作圖能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須掌握的一項基本技能。在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生幾何作圖能力，對發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、動手操作能力、審美能力，對弘揚學(xué)生科學(xué)的求知精神，培養(yǎng)其嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度等都具有重要的意義。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數(shù)學(xué)活動要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[1]。而筆者在一次新接手的五年級某班的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，該班學(xué)生在幾何作圖方面有較多問題，普遍存在諸如審題不仔細亂作圖、幾何概念知識理解模糊不會作圖等問題；也存在作圖操作不規(guī)范導(dǎo)致所作的幾何圖形不標準、不美觀等問題；還有操作過程無方法、無技巧等問題。這些問題都嚴重影響了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。為了改變這一現(xiàn)狀，筆者申報了“小學(xué)高年級學(xué)生幾何作圖能力提升的實踐研究”個人課題。在確定研究課題后，筆者進行了一次學(xué)情調(diào)查。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗等導(dǎo)致的問題比較普遍。于是，筆者針對這幾個問題開展了相關(guān)的矯正實踐研究，取得了一定的效果，具體措施如下。

一、培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

借助鉛筆和標準尺規(guī)等作圖工具，既可以使作圖方便，又可以使作出的幾何圖形規(guī)范、標準、美觀，就算出錯也可以快速修改，不影響后續(xù)觀察幾何圖形[2]。通過一段時期的教學(xué)觀察和學(xué)情調(diào)研，筆者發(fā)現(xiàn)，新接手的班級中許多學(xué)生在幾何作圖時不使用鉛筆作圖，導(dǎo)致作圖錯誤后的修改既麻煩又不整潔。針對學(xué)生作圖不使用鉛筆這一現(xiàn)象，筆者專門開展了一節(jié)作圖課，在教學(xué)的開始環(huán)節(jié)設(shè)計了“幾何作圖的工具有哪些？”“為什么要使用這些工具？”等問題，組織學(xué)生討論。通過交流，引導(dǎo)學(xué)生從主觀意識上明白，對工具的規(guī)范使用，既是源于準確作圖的需要，也是源于嚴謹學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)求知精神的要求。

《課程標準》要求，數(shù)學(xué)活動要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。本課題所提的培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣主要包含兩方面內(nèi)容。一方面是指培養(yǎng)學(xué)生良好的閱讀和審題習(xí)慣，比如，在審題時要做到“三讀”，即第一遍快速瀏覽題干，第二遍圈出關(guān)鍵字詞，第三遍確定要完成的任務(wù)。學(xué)生應(yīng)在題干審理上用特殊符號進行圈劃標注，通過長期堅持，培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣。另一方面是指培養(yǎng)學(xué)生良好的作業(yè)和作圖習(xí)慣，例如，用鉛筆和標準尺規(guī)作圖，規(guī)范操作流程，作圖結(jié)束回頭檢查，養(yǎng)成認真負責(zé)任的態(tài)度和科學(xué)嚴謹?shù)木瘛?/p>

二、運用科學(xué)的復(fù)習(xí)方法

及時復(fù)習(xí)就是要趕在遺忘之前進行，不能等忘掉以后再復(fù)習(xí)[3]。學(xué)生生理和心理發(fā)育節(jié)奏不同，學(xué)習(xí)背景存在差異，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗積累的不確定性等因素，導(dǎo)致有些學(xué)生對概念性知識理解和掌握出現(xiàn)不到位、不牢固、偏差、易遺忘等問題。

例如，筆者在對全班學(xué)生關(guān)于“軸對稱圖形”“對稱軸”和“高”概念的調(diào)查結(jié)果中顯示問題比較嚴重。

以下是調(diào)查反饋的情況。

（1）（ ）的圖形是軸對稱圖形，（ ）叫作對稱軸。（2）正方形有（ ）條對稱軸，長方形有（ ）條對稱軸，等腰三角形有（ ）條對稱軸，等邊三角形有（ ）條對稱軸，等腰梯形有（ ）條對稱軸，圓有（ ）條對稱軸，半圓有（ ）條對稱軸。

【調(diào)查目的】了解學(xué)生對軸對稱圖形概念的理解和掌握情況。

（3）三角形有（ ）條高，平行四邊形有（ ）條高，梯形有（ ）條高。

【調(diào)查目的】了解學(xué)生對平面圖形高概念的理解和掌握情況。

【調(diào)查結(jié)果】在“軸對稱圖形”和“對稱軸”這兩個概念的調(diào)查中，調(diào)查結(jié)果顯示沒有學(xué)生回答正確。這一概念內(nèi)容是學(xué)生在中年段就應(yīng)該熟練掌握的知識點，可見學(xué)生對這一概念的掌握不理想，或者遺忘較嚴重，需要糾正。

在正方形、長方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、圓、半圓這幾種軸對稱圖形的對稱軸有幾條的調(diào)查中，圓的對稱軸條數(shù)回答100%正確，正方形、長方形、等腰梯形、圓形及半圓的對稱軸條數(shù)回答正確率達93.0%及以上，錯誤率較高的是關(guān)于等腰三角形和等邊三角形的對稱軸條數(shù)的區(qū)分。在三角形、平行四邊形和梯形高的條數(shù)方面，正確率分別是60.5%、32.6%和41.9%。調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生對這方面知識掌握情況極其不樂觀。在后續(xù)教學(xué)中，教師需要組織學(xué)生通過大量觀察與動手操作，糾正學(xué)生已經(jīng)形成的錯誤認知觀念。

鑒于以上調(diào)查，教師需要在平時的教學(xué)中結(jié)合艾賓浩斯遺忘曲線規(guī)律，有計劃地安排相關(guān)鞏固練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)起數(shù)學(xué)知識內(nèi)部之間的聯(lián)系，使學(xué)生牢固掌握已學(xué)知識和技能。

三、規(guī)范正確的操作步驟

數(shù)學(xué)是一門非常嚴謹?shù)目茖W(xué)，作圖時的操作是否規(guī)范會直接影響計算結(jié)果的精確性，其影響所及，小到當下的作業(yè)練習(xí)，大到未來的工作效率[4]。學(xué)生作圖時操作的不規(guī)范，正是其內(nèi)在素養(yǎng)缺失的外顯，這既是習(xí)慣品質(zhì)的缺失，也是技能技巧的缺乏。教師在平時教學(xué)中要堅持做好規(guī)范性的指導(dǎo)，充分發(fā)揮生生和師生互動教學(xué)模式的作用，積極利用教學(xué)課件和微課視頻等教學(xué)資源推動教法多樣化。同時，教師還要注意教育心理學(xué)“先入為主”的效應(yīng)。在學(xué)生初次接觸操作時，教師需要注意正確、規(guī)范引導(dǎo)學(xué)生。

以教學(xué)“作垂直”一課為例，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先自主完成活動任務(wù)，再請學(xué)生來到講臺，借助視頻把思考和操作過程展現(xiàn)給全班同學(xué)，并組織學(xué)生討論交流操作的方法和步驟，在此基礎(chǔ)上總結(jié)出作垂直的“四步”操作法。即①靠線（即直尺靠已知直線），②靠點（直角三角尺靠點），③作圖（鉛筆畫線），④標記（標垂直符號）?？偨Y(jié)操作步驟有利于學(xué)生理解流程，總結(jié)的字數(shù)簡潔不會給學(xué)生的元認知記憶造成負擔(dān)，使其不容易遺忘。

四、積累有效的作圖經(jīng)驗

在實際操作中，總有個別學(xué)生作圖的結(jié)果仍然會出錯。究其原因，是缺少必要的作圖技巧。因此，在作圖教學(xué)過程中，教師可以幫助學(xué)生總結(jié)簡單易記的幾點操作步驟，研究一些簡單易操作的作圖技巧。針對這一現(xiàn)象，筆者梳理了小學(xué)階段幾何作圖的幾個技巧。

（一）作垂直的技巧

如圖1 操作：①靠線（即直尺靠已知直線），②靠點（直角三角尺靠點），③作圖（鉛筆畫線），④標記（標垂直符號）。

圖1

（二）作平行的技巧

如圖2 操作：①靠線（即直角三角尺的直角邊靠已知直線），②靠邊（直尺靠直角三角尺的另外一條直角邊），③平移（把直角三角尺平移到已知點處），④作圖。

圖2

（三）圓規(guī)畫圓的技巧

如圖3 操作：①定點（在圖紙上確定好圓心），②定長（圓規(guī)兩腳之間確定半徑，也可以用直尺在圖紙上畫好直徑或半徑），③旋轉(zhuǎn)（左手固定好圖紙，右手大拇指和食指捏住圓規(guī)最上面的把柄，把圓規(guī)往順時針方向稍微傾斜一點方便順暢地畫出圓）。

圖3

（四）圖形平移的技巧

小學(xué)階段圖形的平移主要是平面圖形的一次、二次橫向或縱向平移，往往有不少學(xué)生在進行平移操作時會多平移一格，或少平移一格。為了幫助學(xué)生快速、準確地進行平移操作，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把平移的起點與直尺上的零刻度建立聯(lián)系，即平移前先確定一個點，當作零刻度，也就是起點，在起點處標記“0”，然后往平移方向依次標出需要平移的格子數(shù)，把參照點先平移到指定位置，再根據(jù)原圖還原（如圖4 所示）。

（五）圖形旋轉(zhuǎn)的技巧

如果給出的原圖沒有邊與格子圖的格子線對齊重疊，則可以在原圖中，以旋轉(zhuǎn)點作一條輔助線，先把輔助線按照要求旋轉(zhuǎn)，再以輔助線為參照，還原整個圖形（如圖5 所示）。

圖5 把圖形B繞0點逆時針旋轉(zhuǎn)90°

（六）圖形的放大與縮小技巧

如果給出的原圖沒有邊與格子圖的格子線對齊重疊，則可以在原圖外圍先畫出一個長方形，按照放大或縮小的比先把外圍的長方形進行放大或縮小，然后找原圖與長方形的參照點進行圖形復(fù)原（如圖6 所示）。

圖6 把三角形按2∶1的比放大

結(jié) 語

小學(xué)階段的幾何作圖涉及的僅僅是二維平面內(nèi)作圖。例如，作已知直線的垂線或平行線、畫指定度數(shù)的角、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)、軸對稱、圖形的放大與縮小等。學(xué)生如若在小學(xué)階段就熟練掌握幾何作圖的技能，將會對未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到重要的作用。

綜上所述，“圖形與幾何”領(lǐng)域的作圖操作知識和技能教學(xué)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，提高學(xué)生的推理能力和建模能力。教師要充分利用好這一教學(xué)資源，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。