蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)振動特性研究

許笛楓

(中國飛行試驗研究院飛機所，陜西 西安 710000)

0 引言

蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)在航空航天領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]，其面臨苛刻的振動環(huán)境。研究復(fù)合材料蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的振動特性對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)在飛行器上的成功運用，避免結(jié)構(gòu)因振動產(chǎn)生破壞，保證飛行器安全具有重要意義。

蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)是一種具有特殊芯子形式的夾芯結(jié)構(gòu)，其動力學(xué)分析模型主要基于三種理論：經(jīng)典層合板理論、一階剪切變形理論和高階剪切變形理論。基于一階剪切變形理論Ressiner理論與Hoff理論，中國科學(xué)院北京力學(xué)研究所給出了結(jié)構(gòu)的振動控制方程和固有頻率解析解[2]；王勝春基于一階剪切變形理論建立了蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)橫向振動方程，通過引入位移函數(shù)和偏微分算子對方程進行簡化并給出解析解[3]；郝家瓊對一階剪切變形和高階剪切變形理論進行了對比研究，給出了各理論使用范圍[4]。另有一些研究采用有限元軟件建立結(jié)構(gòu)等效模型或幾何特征模型對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)振動特性進行了分析[5-7]。

本文對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的振動特性進行了研究，在一階剪切變形假設(shè)上，推導(dǎo)了將材料參數(shù)等效后的正交各項異性蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)橫向振動控制方程，計算具體尺寸結(jié)構(gòu)的固有頻率，與其試驗值、有限元計算值進行比較分析，同時研究結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對結(jié)構(gòu)振動特性的影響，研究結(jié)構(gòu)固有頻率隨面板、芯子等參數(shù)變化的一般規(guī)律。

1 橫向振動控制方程

蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)由上下兩層面板與蜂窩芯子組成?？紤]芯子上的剪應(yīng)力影響，基于一階剪切變形假設(shè)建立蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的振動控制方程。

1.1 一階剪切變形基本假設(shè)

采用等效法[8]將芯子等效為厚度、體積不變的實心結(jié)構(gòu)，對等效后的實心夾芯板進行分析。在圖1所示的坐標系中，根據(jù)一階剪切變形基本假設(shè)，結(jié)構(gòu)中的位移場函數(shù)可假設(shè)為式(1)的形式：

(1)

式中，u0、v0、w0為結(jié)構(gòu)中面位移，ψx、ψy為結(jié)構(gòu)中面法線轉(zhuǎn)角：

(2)

圖1 蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)單元坐標示意圖

1.2 位移-應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系

由式(1)假設(shè)的位移場函數(shù)，根據(jù)位移-應(yīng)變關(guān)系，結(jié)構(gòu)中的應(yīng)變分量可表示為：

(3)

對于面板為復(fù)合材料層合板的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，等效后可將結(jié)構(gòu)整體視為厚度較大的層合板結(jié)構(gòu)，對該結(jié)構(gòu)，其各層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為式(4)的形式：

[σ]k=[Q]k[ε]

(4)

其中，[σ]k、[Q]k、[ε]分別表示各層復(fù)合材料單層板及等效后芯子的應(yīng)力矩陣、剛度矩陣和應(yīng)變矩陣。

1.3 合力、合力矩與平衡方程

根據(jù)復(fù)合材料層合板理論，對圖1所示的厚度為h+2t蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)單元體進行分析，應(yīng)力合力與合力矩可以表示為：

(5)

由于等效后芯子具有弱各向異性，以及復(fù)合材料面板由正交各項異性單層板堆疊而成，因此對于合力和合力矩的計算需要根據(jù)結(jié)構(gòu)進行分層積分。

1.4 橫向自由振動控制方程

根據(jù)哈密爾頓原理[8]，蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的動力學(xué)平衡方程可表示為：

(6)

忽略體力影響，蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的橫向振動控制方程可用式(6)的后三項表示：

(7)

式(7)可以表示為如下形式：

(8)

由式(1)-式(5)其合力與合力矩即可表示為式(9)的形式，式中Dij為結(jié)構(gòu)的抗彎剛度，Cij為結(jié)構(gòu)的剪切剛度，通過經(jīng)典層合板理論在夾芯結(jié)構(gòu)厚度方向上積分得出。

(9)

蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的上下面板一般具有對稱性，結(jié)構(gòu)整體為正交各項異性，對正交各項異性蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)有：

(10)

且根據(jù)式(1)與式(2)假設(shè)的一階剪切變形位移場函數(shù)，有：

(11)

式中，Gcxz與Gcyz為蜂窩芯子等效剪切模量。

綜合上述推導(dǎo)，將式(9)代入式(7)，結(jié)合上兩式可得一階剪切變形假設(shè)下的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)橫向自由振動控制方程：

(12)

2 結(jié)構(gòu)固有頻率

求解式(12)所示的結(jié)構(gòu)橫向自由振動控制方程即可得出結(jié)構(gòu)的固有頻率。式(12)中含有w、ψx和ψy三個廣義位移，求解較難，對于此種方程的求解一般可采用Navier法[9]和Levy法[10]。本節(jié)選用一種引入偏微分算子和位移函數(shù)的方法，給出了方程求解和結(jié)構(gòu)固有頻率的計算方法。

2.1 橫向振動控制方程求解

通過引入偏微分算子和廣義位移函數(shù)，可將式(12)給出的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)橫向振動控制方程表示為如下形式：

(13)

式中：

U1=

U2=-(D12+D66)·

(14)

化簡式(14)并代入式(13)，可得出僅含有位移函數(shù)χ的正交各向異性蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的自由振動控制方程：

=0

(15)

式中：

(16)

2.2 固有頻率求解

在四邊簡支邊界條件下，求解長為a(L向)、寬為b(W向)、高為h+2t(h為芯子高度，t為面板厚度)蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的固有頻率。此時位移函數(shù)w可用式(17)表示：

(17)

用廣義位移函數(shù)χ可表示為如下形式：

(18)

廣義位移函數(shù)χ的解有如下形式：

χ=Asinkm1xsinkm2yejωmt

(19)

式中，ωm為結(jié)構(gòu)第m階固有頻率，km1=m1π/a，km2=m2π/b，(m1，m2)為模態(tài)序數(shù)。

將廣義位移函數(shù)式(19)代入橫向自由振動控制方程式(15)中可得：

=0

(20)

由式(20)即可得出在四邊簡支邊界條件下矩形正交各項異性蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)自由振動固有頻率解：

(21)

式(21)即為一階剪切變形假設(shè)下正交各項異性蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)四邊簡支條件下的固有頻率解，可以看出其形式較為復(fù)雜。

3 蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)振動特性

根據(jù)式(21)，在對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)進行等效后即可得出結(jié)構(gòu)在四邊簡支邊界條件下的自由振動固有頻率。分別對兩個算例進行計算，研究蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的振動特性。

算例一：采用本文固有頻率解法，計算蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)振動固有頻率，與試驗值、有限元軟件Abaqus計算值進行比較。尺寸為a×b-1.83 m×1.22 m，芯子高度為6.35 mm，上下面板厚度均為0.4064 mm。材料性能參數(shù)見表1[11]。

表1 結(jié)構(gòu)材料屬性

考慮芯子的面內(nèi)彈性性能，結(jié)構(gòu)前六階固有頻率計算值與試驗值、有限元軟件計算值比較見表2(文獻中未給出結(jié)構(gòu)一階固有頻率試驗值)。

表2 試驗值與計算值比較

由表2可以看出：采用本文方法計算和有限元分析得出的結(jié)構(gòu)二階至六階固有頻率值與試驗值接近；本文的計算方法得出的結(jié)構(gòu)第二階至第六階固有頻率整體小于試驗值，采用Abaqus建立的等效模型固有頻率值要比試驗值偏大。

考慮到與面板的面內(nèi)性能相比，芯子的面內(nèi)性能很弱，因此表3給出了忽略芯子的面內(nèi)彈性的結(jié)構(gòu)前六階固有頻率計算值與試驗值的對比。

對比表2及表3中考慮及忽略芯子面內(nèi)性能后固有頻率計算值與試驗值可以看出，忽略芯子面內(nèi)性能對求解結(jié)構(gòu)固有頻率的影響非常小。

表3 忽略芯子面內(nèi)性能的計算值與試驗值的比較

算例二：結(jié)構(gòu)整體尺寸為a×b=1.5 m×0.3 m，面板及蜂窩芯子材料均為鋁合金，模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρf=2780 kg/m3，面板厚度t=1 mm，芯子高度h=20 mm，芯子壁厚δc=0.07 mm，芯子等效密度ρc=129.6 kg/m3的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)進行分析，研究不同結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時結(jié)構(gòu)振動特性的變化。

圖2給出了芯子高度不變，隨面板厚度t變化的結(jié)構(gòu)前三階固有頻率?？梢钥闯?，當面板很薄時，結(jié)構(gòu)近似為整體剛度極低芯子，因此結(jié)構(gòu)固有頻率很低。隨著面板厚度的增加，蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點顯現(xiàn)出來，固有頻率隨結(jié)構(gòu)剛度的增加也顯著增加。隨著面板厚度的進一步增加，結(jié)構(gòu)特征趨于普通夾芯結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)剛度增加的同時密度也不斷增加，結(jié)構(gòu)固有頻率減小，最終趨于平穩(wěn)。

圖2 隨面板厚度變化結(jié)構(gòu)前三階固有頻率

圖3為結(jié)構(gòu)面板厚度不變時，隨芯子高度h的變化的結(jié)構(gòu)前三階固有頻率。可以看出，隨著芯子高度的增加，結(jié)構(gòu)固有頻率隨著剛度的增加而增大，當芯子高度繼續(xù)增加時，固有頻率趨于平穩(wěn)。

圖4為結(jié)構(gòu)整體厚度h+2t不變時，隨面板厚度與結(jié)構(gòu)厚度比t/(h+2t)變化的結(jié)構(gòu)前三階固有頻率?？梢钥闯?，當面板與芯子厚度比t/(h+2t)大于0.07時，結(jié)構(gòu)的固有頻率將隨著面板厚度的增加而減小。

圖3 隨芯子高度的變化結(jié)構(gòu)前三階固有頻率

圖4 厚度比t/(h+2t)的變化結(jié)構(gòu)前三階固有頻率

圖5為結(jié)構(gòu)整體尺寸參數(shù)不變，結(jié)構(gòu)前三階固有頻率隨芯子密度的變化。隨著芯子密度的增加，結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量增加，結(jié)構(gòu)固有頻率降低。

圖5 不同芯子密度的結(jié)構(gòu)前三階固有頻率

4 結(jié)論

本文基于一階剪切變形假設(shè)，推導(dǎo)了等效后正交各向異性蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的橫向自由振動控制方程，使用一種基于偏微分算子和位移函數(shù)的方程解法計算了結(jié)構(gòu)的固有頻率，對蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)振動特性進行了研究。

(1)使用本文方法計算得出的結(jié)構(gòu)固有頻率值比試驗值相差較小，計算值比試驗值偏高，與有限元計算結(jié)果結(jié)合，可以確定結(jié)構(gòu)振動固有頻率上下限。

(2)芯子的面內(nèi)性能對結(jié)構(gòu)固有頻率的影響很小，忽略蜂窩芯子的面內(nèi)性能對結(jié)構(gòu)振動特性的影響。

(3)增加面板厚度與增加芯子高度都能增加結(jié)構(gòu)整體的彎曲剛度。芯子高度增加，結(jié)構(gòu)固有頻率增加。芯子本身面內(nèi)彈性性能很弱，因此其自身抗彎能力有限，但其結(jié)構(gòu)高度較大，因而當面板與芯子共同組成夾芯結(jié)構(gòu)時，其彎曲剛度較高，固有頻率顯著增加，而隨著面板厚度不斷增加，其作為夾芯結(jié)構(gòu)的特征降低，結(jié)構(gòu)固有頻率降低。

(4)結(jié)構(gòu)整體厚度不變，結(jié)構(gòu)面板厚度相對增加，結(jié)構(gòu)固有頻率先增加后減小。同時對于一般蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，其面板、結(jié)構(gòu)厚度比通常大于0.07，因此對于一般蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)，增加面板相對厚度，對結(jié)構(gòu)慣性增加的影響大于對結(jié)構(gòu)剛度增加的影響，結(jié)構(gòu)固有頻率會隨之減小。

5 注釋表

項 目注 釋項 目注 釋U,V,W廣義位移ψx,ψy中面法線轉(zhuǎn)角Qx,Qy剪應(yīng)力h芯子高度t面板厚度εij應(yīng)變[σ]k應(yīng)力矩陣[Q]k剛度矩陣Nij合力Mij合力矩q體力ρ密度Dij彎曲剛度Cij剪切剛度Gcxz,Gcyz芯子等效剪切剛度ρc芯子等效密度ρf面板密度χ廣義位移函數(shù)ωmm階固有頻率(m1,m2)模態(tài)序數(shù)f固有頻率