時(shí)滯控制下軸向運(yùn)動(dòng)納米梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性研究

朱 燦，李夢(mèng)瑤

(昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

納米梁是納機(jī)電系統(tǒng)(nano-electromechanical system，NEMS)的基本組成結(jié)構(gòu)，納米梁加工工藝研究、納米梁力學(xué)電學(xué)測(cè)試研究以及納米梁在集成電路和傳感器領(lǐng)域中應(yīng)用研究具有重要意義。MOTE[1-3]對(duì)物體軸向運(yùn)動(dòng)誘發(fā)產(chǎn)生的橫向振動(dòng)已有了很好的研究。YANG和TAN等[4-5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁外部激勵(lì)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)固有頻率之間的關(guān)系。?Z等[6]以軸向加速運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，利用攝動(dòng)法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行求解，分別對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的波動(dòng)頻率接近系統(tǒng)自然頻率2倍時(shí)出現(xiàn)的主參數(shù)共振情況以及速度的波動(dòng)頻率為系統(tǒng)兩個(gè)自然頻率的和時(shí)出現(xiàn)的組合參數(shù)共振情況進(jìn)行分析，討論不同共振情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李曉軍和陳立群[7]以兩端固支的軸向運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，建立一種數(shù)值解析的方法，求解得到系統(tǒng)發(fā)生橫向振動(dòng)的自然頻率和模態(tài)。楊曉東和唐有綺[8]在復(fù)模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，得出軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)在發(fā)生橫向振動(dòng)時(shí)的頻率和模態(tài)。 SATO等[9]利用中心流形定理和平均法研究帶有時(shí)滯的非線性動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定周期解及其穩(wěn)定性，討論時(shí)滯對(duì)該系統(tǒng)自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)的影響。LIU等[10]研究一種時(shí)滯反饋控制參數(shù)的求解方法，并運(yùn)用最優(yōu)化控制方法對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行減振控制。SHANG等[11-12]基于Helmoholtz振蕩器系統(tǒng)，給出時(shí)滯位移反饋對(duì)其安全流域分形侵蝕的影響。LIU等[13]以一類時(shí)滯控制下的懸臂梁為研究對(duì)象，通過系統(tǒng)的一次和二次共振，發(fā)現(xiàn)速度時(shí)滯及其反饋系數(shù)可以有效地提高該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)于時(shí)滯對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的控制的相關(guān)研究還處于初級(jí)階段，為此，文中采用軸向運(yùn)動(dòng)納米梁模型，通過動(dòng)力系統(tǒng)分支理論和冪級(jí)數(shù)法，研究系統(tǒng)在時(shí)滯控制下軸向運(yùn)動(dòng)納米梁的振動(dòng)行為和穩(wěn)定區(qū)域。

1 理論模型

如圖1所示，考慮兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)納米梁，其軸向速度隨時(shí)間的變化為v(t)。梁的長(zhǎng)度、質(zhì)量密度、橫截面積、橫截面積慣性矩、楊氏模量和初始張力分別為L(zhǎng)、ρ、A、J、E和P。

圖1 兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)非局部梁Fig.1 A nonlocal beam with simply supported axial motion at both ends

利用動(dòng)力系統(tǒng)分支理論和Hamilton原理，可以得到以下運(yùn)動(dòng)方程[14]

(1)

引入速度時(shí)滯和位移時(shí)滯，得到時(shí)滯控制下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

基于多尺度法[15]，可將方程(2)無量綱化,得到

gpw(t-τ1)+gqw,t(t-τ2)

(3)

其中,

且w*、x*、t*、v*、μ、α、gp、gq、τ1和τ2分別為無量綱橫向位移、軸向坐標(biāo)、時(shí)間、軸向速度、非局部參數(shù)、彎曲剛度、位移反饋增益系數(shù)、速度反饋增益系數(shù)、位移時(shí)滯和速度時(shí)滯。

設(shè)系統(tǒng)的軸向速度在平均速度附近作簡(jiǎn)諧變化，即

(4)

利用多尺度法，引入小擾動(dòng)參數(shù)ε，采用時(shí)間尺度Tn=εnt(n=0,1,2)，運(yùn)動(dòng)方程(3)的解可設(shè)為

w(x,t;ε)=w0(x,T0,T1)+εw1(x,T0,T1)+O(ε2)+…

(5)

w(x,t-τ;ε)=w0(x,T0-τi,T1-τi)+εw1(x,T0-τi,T1-τi)+O(ε2)+…

(6)

把方程(4)～(6)代入方程(3)，歸并ε的同次冪項(xiàng)，可得

gpw0τ1-gqw0τ2,T0=0

(7)

(2v0sinΩt)w0,xT0-(v0ΩcosΩt)w0,x-

(2v0sinΩt)w0,xxxT0+(v0ΩcosΩt)w0,xxx+

(8)

方程(7)的解可設(shè)為

(9)

(10)

將An(T1-ετi,T2-ε2τi)進(jìn)行泰勒展開，得到

An(T1-ετi,T2-ε2τi)=An(T1,T2)-ετiD1An(T1,T2)-ε2τiD2An(T1,T2)+…?An(T1,T2)

(11)

將方程(9)～(11)代入方程(7)，可得到

(12)

接著進(jìn)行模態(tài)函數(shù)的確定及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析。

根據(jù)冪級(jí)數(shù)法思想，可以假設(shè)

(13)

其中，bm是未知系數(shù)。將式(13)代入方程(12)，令x同次冪項(xiàng)的系數(shù)相等，可以得到

P0(b0,b1,…，bN)x0+P1(b0,b1,…，bN)x1+

P2(b0,b1,…，bN)x2+…+PN(b0,b1,…，bN)xN=0

(14)

gqiωke-iωkτ2)b0

gqiωke-iωkτ2)b0

…

gqiωke-iωkτ2)bN

為了令方程(14)對(duì)所有的x都成立，令x所有的系數(shù)都等于0，即

P0=0,P1=0,P2=0,…,PN=0

(15)

利用上述代數(shù)方程組，得到bm為b0、b1、b2、b3的函數(shù)。對(duì)于兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)，其邊界條件為

W(0)=W(1)=0,W″(0)=W″(1)=0

(16)

將邊界條件帶入方程(15)，可得

(17)

由式(17)可以得到關(guān)于b1、b3的方程組，通過對(duì)其系數(shù)行列式求解，可以得到固有頻率ωk，N取值越大，得到的結(jié)果越精確?？紤]系統(tǒng)前兩階的固有頻率，取N=29時(shí)即可得到合理的結(jié)果，再根據(jù)固有頻率可求出系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)。

不考慮小尺度效應(yīng)，研究不同的位移時(shí)滯量、速度時(shí)滯量、位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

由圖2可知，當(dāng)位移時(shí)滯量逐漸增加時(shí)，系統(tǒng)的特征頻率隨之增加，系統(tǒng)的臨界速度沒有發(fā)生改變，系統(tǒng)在失穩(wěn)前的固有頻率會(huì)隨著位移時(shí)滯量的增加而增加，系統(tǒng)的耦合模態(tài)顫振消失。

圖2 位移時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響Fig.2 The effect of displacement delay on the natural frequency of the system(α=0.8,μ=0,gp=10,gq=0,τ2=0)

圖3給出了位移時(shí)滯量的變化對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)振型的影響。

圖3 位移時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)振型的影響Fig.3 Influence of displacement delay on system mode

由圖4可知，隨著位移反饋增益系數(shù)的增加，頻率的實(shí)部逐漸增加，系統(tǒng)的臨界速度逐漸減小，系統(tǒng)的耦合系統(tǒng)前兩階頻率耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象消失。

圖4 位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響Fig.4 Influence of displacement feedback gain coefficient on natural frequency of the system(α=0.8,μ=0,τ1=0.05，gq=0,τ2=0)

圖5給出了位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振型的影響。

圖5 位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振型的影響Fig.5 Influence of displacement feedback gain coefficient on system mode

由圖6可看出，在系統(tǒng)中加入了速度時(shí)滯后，系統(tǒng)的頻率實(shí)部隨著速度時(shí)滯的增加而減小。速度時(shí)滯的增加對(duì)系統(tǒng)分叉點(diǎn)的臨界速度影響甚微，系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象消失。

圖6 速度時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)頻率的影響Fig.6 Influence of speed delay on system frequency(α=0.8,μ=0,gp=0,gq=3,τ1=0)

由圖7給出了速度時(shí)滯量對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)前兩階振型的影響。

圖7 速度時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)模態(tài)振型的影響Fig.7 Influence of velocity delay on system mode

由圖8可知，隨著速度反饋增益系數(shù)的增加，系統(tǒng)的臨界速度減小，且速度反饋系數(shù)的值越大，系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象消失越明顯。如圖8(b)可知，系統(tǒng)頻率的虛部一直存在負(fù)值，即系統(tǒng)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率的影響Fig.8 Influence of velocity feedback gain coefficient on system frequency(α=0.8,μ=0,gp=0,τ1=0,τ2=0.05)

圖9給出了速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振型的影響。

圖9 速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)模態(tài)振型的影響Fig.9 Influence of velocity feedback gain coefficient on system mode

圖10給出了位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)頻率的影響。當(dāng)系統(tǒng)只存在速度反饋增益系數(shù)或同時(shí)存在位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象消失。因此，位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)都可以消除系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象，位移反饋增益系數(shù)可以增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖10 位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率的影響Fig.10 Influence of displacement feedback gain coefficient and velocity feedback gain coefficient on system frequency(α=0.8,μ=0,τ1=0,τ2=0)

圖11給出了不同位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振型的影響。

圖11 位移反饋增益系數(shù)和速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)振型的影響Fig.11 Influence of displacement feedback gain coefficient and velocity feedback gain coefficient on system mode

2 次諧波共振穩(wěn)定性研究

考慮當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度的脈動(dòng)頻率Ω接近系統(tǒng)某階固有頻率的兩倍時(shí)發(fā)生的共振現(xiàn)象，即

Ω=2ωk+εσ

(18)

其中，σ表示調(diào)諧參數(shù)，ωk表示第k階模態(tài)的頻率。

方程(8)的解可以寫成

w0=φk(x)Ak(T1)eiωkT0+cc

(19)

其中，Ak是第k階振幅，cc表示前面所有項(xiàng)的復(fù)共軛。

將上述方程代入式(8),得

(20)

為了避免久期項(xiàng)，令

gqiωkφke-iωkτ2)Ak,φk〉=0

(21)

利用內(nèi)積的性質(zhì)，方程(21)可以整理為

(22)

其中,

(23)

(24)

將Ak(T1)變換為如下形式

(25)

把方程(25)代回到方程(22),可得

(26)

可以看出方程(26)有零解，設(shè)其非零解為

Bk=p1(T1)+iq1(T1)

(27)

其中,p1和q1均為關(guān)于T1的實(shí)函數(shù)。將方程(27)代回到方程(26)，將結(jié)果的實(shí)部和虛部進(jìn)行分離，可得

(28)

(29)

特征方程為

(30)

根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據(jù)，如果根均有負(fù)實(shí)部，則表示其解是穩(wěn)定的，由此推得方程(22)的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?/p>

(31)

圖12 位移時(shí)滯量和位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)次諧波共振區(qū)域的影響Fig.12 Influence of displacement delay and displacement feedback gain coefficient on sub-harmonic resonance region of the system

圖13 速度時(shí)滯量和速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)次諧波共振的影響Fig.13 Influence of velocity delay and velocity feedback gain coefficient on system sub-harmonic resonance

3 組合參數(shù)共振穩(wěn)定性研究

考慮當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)速度的脈動(dòng)頻率Ω為系統(tǒng)某兩階固有頻率之和時(shí)發(fā)生的組合參數(shù)共振現(xiàn)象，即

Ω=ωk+ωk′+εσ

(32)

其中，ωk、ωk′分別為k階和k′階的頻率。此時(shí)，設(shè)方程(8)的解為

w0=φk(x)Ak(T1)eiωkT0+φk′(x)Ak′(T1)eiωk′T0+cc

(33)

將方程(32)～(33)代入方程(8)，可得

(34)

為了避免久期項(xiàng)，令

(35)

(36)

整理可得

(37)

其中,

(38)

(39)

(40)

(41)

可以得到系統(tǒng)發(fā)生組合參數(shù)共振的穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?/p>

(42)

其中,

(43)

(44)

(45)

圖14 位移時(shí)滯量和位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)組合參數(shù)共振區(qū)域的影響Fig.14 Influence of displacement delay and displacement feedback gain coefficient on resonance region of system combination parameters

圖15 速度時(shí)滯量和速度反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)組合參數(shù)共振區(qū)域的影響Fig.15 Influence of velocity delay and velocity feedback gain coefficient on resonance region of system combination parameters

4 結(jié)論

研究了兩端簡(jiǎn)支的軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)在發(fā)生橫向振動(dòng)時(shí)，時(shí)滯控制對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。結(jié)果如下：

1)時(shí)滯和反饋增益系數(shù)對(duì)兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域有很大影響，恰當(dāng)?shù)臅r(shí)滯控制能夠有效增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可以消除系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象。

2)當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生次諧波共振時(shí)，位移時(shí)滯量、速度時(shí)滯量和位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)發(fā)生次諧波共振的穩(wěn)定區(qū)域影響較小，但穩(wěn)定性隨著速度反饋增益系數(shù)的增加而減弱。

3)當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生組合參數(shù)共振時(shí)，位移時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響較小，位移反饋增益系數(shù)增大會(huì)減弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性，速度時(shí)滯量和速度反饋增益系數(shù)增加則會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。