巧用“三招”，求數(shù)列不等式中項(xiàng)數(shù)n的最值

龐羽

數(shù)列不等式問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性.解答此類(lèi)問(wèn)題，不僅要靈活運(yùn)用數(shù)列與不等式知識(shí)，還需將問(wèn)題與其他知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，才能順利解題.雖然數(shù)列不等式與常規(guī)不等式較為相似，但是其未知數(shù)是正整數(shù)，且各項(xiàng)呈現(xiàn)一定的規(guī)律，因此我們可以采用一些“妙招”來(lái)求解.在求數(shù)列不等式中項(xiàng)數(shù)n的最值時(shí)，可根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)和不等式的結(jié)構(gòu)特征，靈活變通，尋找解題的思路.

一、將不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式

在求數(shù)列不等式中項(xiàng)數(shù)n的最值時(shí)，可先對(duì)給出的數(shù)列表達(dá)式進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的常規(guī)不等式，再通過(guò)解不等式確定n的取值范圍，求得項(xiàng)數(shù)n的最值.

解析：首先可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)，再根據(jù)題意，采用錯(cuò)位相減法求和，以便將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于自然數(shù)n的常規(guī)不等式，通過(guò)解不等式求得n的最值.

將兩式相減得：

二、利用數(shù)列的單調(diào)性

數(shù)列是一種特殊的函數(shù).在求數(shù)列不等式中項(xiàng)數(shù)n的最值時(shí)，可將求數(shù)列不等式的一部分看作是關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)，根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)判斷出數(shù)列的單調(diào)性，然后運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性確定數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的最值.

所以n的最大值為4.

在解答數(shù)列不等式的過(guò)程中，可根據(jù)解題的需要，構(gòu)造出函數(shù)模型，然后判斷此數(shù)列的單調(diào)性，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性尋找到符合題意的n的最值.這個(gè)解題方法是非常有效的.

三、放縮不等式

有些數(shù)列不等式非常復(fù)雜，我們很難采用常規(guī)方法求得最值，此時(shí)可根據(jù)數(shù)列不等式的特點(diǎn)，將不等式進(jìn)行合理的放縮，構(gòu)造出新的數(shù)列，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，或易于求和的數(shù)列，以便將數(shù)列不等式簡(jiǎn)化，求得n的最值.

由于S+2T≥2021，

所以最小正整數(shù)n的值為45.

本題中的不等式比較復(fù)雜，尋找數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律以及求出數(shù)列的和是解題的關(guān)鍵.可通過(guò)放縮不等式，求得數(shù)列的和，使問(wèn)題得解.

求數(shù)列不等式中項(xiàng)數(shù)n的最值的實(shí)質(zhì)是解含有數(shù)列的不等式，因此在解題時(shí)，需先明確數(shù)列的特點(diǎn)、規(guī)律，然后化簡(jiǎn)、變形不等式，再求最值.同學(xué)們可根據(jù)不等式的特點(diǎn)，采取的不同方法，如將不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式、挖掘數(shù)列的單調(diào)性，或通過(guò)放縮不等式進(jìn)行求解.