也談數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)

孫閩

摘要：數(shù)學(xué)邏輯思維注重的、體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系和數(shù)學(xué)思維展開的過程，并不一味地強(qiáng)調(diào)演繹具有的嚴(yán)謹(jǐn)性，而是兼顧歸納、類比帶來的靈活性，為的是更好地“思考現(xiàn)實世界”。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的基本思路有：“講道理”，即引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)結(jié)論背后的原因;“建聯(lián)系”，即幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系，包括數(shù)學(xué)知識、題目條件、解題方法以及數(shù)學(xué)題目之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：邏輯思維;邏輯推理;數(shù)學(xué)教學(xué);道理;聯(lián)系

一、對數(shù)學(xué)邏輯思維的認(rèn)識

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。數(shù)學(xué)思維中最重要的是邏輯思維——甚至可以說，數(shù)學(xué)思維在本質(zhì)上就是邏輯思維或者說邏輯推理。因此，邏輯思維（推理）是數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)的最重要的學(xué)生核心素養(yǎng)之一。

一般來說，邏輯思維（推理）是指“從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論”。以傳統(tǒng)的觀點看，數(shù)學(xué)邏輯思維主要是基于形式邏輯規(guī)則或方法（如命題的形式及其關(guān)系、三段論、分析與綜合）的演繹思維。但以現(xiàn)代的觀點看，數(shù)學(xué)邏輯思維不僅包括演繹思維，而且包括歸納思維、類比思維等。無論演繹還是歸納、類比，都是有邏輯的推理，即具有傳遞性的推理。

可見，數(shù)學(xué)邏輯思維注重的、體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系和數(shù)學(xué)思維展開（聯(lián)系）的過程（脈絡(luò)），并不一味地強(qiáng)調(diào)演繹具有的嚴(yán)謹(jǐn)性，而是兼顧歸納、類比帶來的靈活性，為的是更好地“思考現(xiàn)實世界”。由此，便可理解《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為什么沒有明確地給出邏輯思維（推理）的概念，而是在多處提出“建立數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的邏輯聯(lián)系”“構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系”和“關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的邏輯聯(lián)系”，以及“合乎邏輯地推出結(jié)論”“合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論”“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)（習(xí)慣）”等要求。

二、培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維的基本思路

（一）“講道理”：引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)結(jié)論背后的原因

數(shù)學(xué)邏輯思維需要在合乎邏輯的思考過程中培養(yǎng)。合乎邏輯的思考通常針對的是結(jié)論（現(xiàn)象）背后的原因。因此，教師需要創(chuàng)設(shè)有懸念（蘊(yùn)含認(rèn)知沖突）的問題情境，激發(fā)學(xué)生主動思考“為什么”，逐步形成重論據(jù)、講道理的思維品質(zhì)。

例如，教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”時，我請學(xué)生在黑板上隨機(jī)寫下一組數(shù)（如9、13、19、36、117），然后告訴學(xué)生：“我可以瞬間知道某個數(shù)能否被3整除?！睂W(xué)生不相信這個說法，表示：“哪怕用計算器算，也達(dá)不到瞬間知道的效果吧?！睂Υ?，我立即在每個數(shù)字的下方寫下“能”或“不能”，隨后要求學(xué)生現(xiàn)場計算驗證。經(jīng)過計算，學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)我沒有說謊。此時，學(xué)生紛紛好奇地詢問我是如何做到的。我沒有直接給出答案，而是繼續(xù)設(shè)計懸念：能被3整除的數(shù)有什么特征，可以使它不用經(jīng)過計算或復(fù)雜計算，就能被識別出來嗎？學(xué)生紛紛展開自主探究。巡視中，筆者發(fā)現(xiàn)這個問題對學(xué)生而言有一定的難度，于是提示他們把1—100各數(shù)按10行10列寫下來，并圈出其中3的倍數(shù)，再斜著看尋找共性。大約過了5分鐘，一名學(xué)生突然用驚訝的語氣說：“我發(fā)現(xiàn)個位與十位上數(shù)字的和可以被3整除時，這個數(shù)也可以被3整除，如24和36?！薄澳敲?，這個猜想準(zhǔn)確嗎？如果是三位數(shù)、四位數(shù)或更多位數(shù)呢？”我追問。學(xué)生擴(kuò)大范圍，繼續(xù)尋找3的倍數(shù)驗證猜想，最終發(fā)現(xiàn)：“將不同數(shù)位上的數(shù)字相加，如果結(jié)果能夠被3整除，那么這個數(shù)便可以被3整除?！?/p>

這里，在有懸念的問題情境的驅(qū)動下（當(dāng)然，還有教師有針對性的提示），學(xué)生主動思考為什么教師可以快速判斷一個數(shù)能否被3整除，最終通過具體案例發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，理解了背后的道理，從中培養(yǎng)了歸納思維。當(dāng)然，針對部分能力較強(qiáng)的學(xué)生，還可以引導(dǎo)他們進(jìn)一步思考為什么3的倍數(shù)具有這樣的特征，從而帶有一般性地說明背后的數(shù)學(xué)原理，從中培養(yǎng)演繹思維。

（二）“找聯(lián)系”：幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系

數(shù)學(xué)是一個有關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)化的整體。數(shù)學(xué)邏輯思維體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系。為了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，教師需要多維度地幫助學(xué)生梳理關(guān)系，建立聯(lián)系。

第一，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系（知識結(jié)構(gòu)）不僅要通過數(shù)學(xué)邏輯思維來梳理，而且是進(jìn)一步展開數(shù)學(xué)邏輯思維的基礎(chǔ)。因此，知識（概念、命題）教學(xué)不能過于碎片化，不能過分針對知識點強(qiáng)調(diào)“節(jié)節(jié)清、堂堂清”，而要重視幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系。

例如，教完小學(xué)數(shù)學(xué)中的三種統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖）后，可以結(jié)合案例，設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生比較辨析它們各自的特征、優(yōu)缺點、適用范圍、注意事項，得到結(jié)論：條形統(tǒng)計圖中，各項數(shù)據(jù)的大小清晰可見;折線統(tǒng)計圖中，各項數(shù)據(jù)的變化直觀顯示;扇形統(tǒng)計圖中，各項數(shù)據(jù)在總體數(shù)據(jù)中的占比一目了然……由此便可幫助學(xué)生梳理出三種統(tǒng)計圖之間的關(guān)系，并以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)。

第二，數(shù)學(xué)題目條件（包括求解對象或求證結(jié)論）之間的關(guān)系也需要通過數(shù)學(xué)邏輯思維來梳理，而且是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)。因此，解題教學(xué)首先要幫助學(xué)生梳理有關(guān)條件之間的關(guān)系。

例1已知某服裝廠原來做一件裙子需要使用3.2米布匹，后來改進(jìn)了制作的方法，目前每件裙子只需要使用2.8米布匹。那么，原來做791件裙子所使用的布匹現(xiàn)在可以做多少件裙子？

解決此題的關(guān)鍵是利用邏輯思維理清“原來做一件裙子需要使用3.2米布匹”“目前每件裙子需要使用2.8米布匹”“原來做791件裙子所使用的布匹”“現(xiàn)在可以做多少件裙子”等條件和問題之間的關(guān)系。顯然，第一個條件和第三個條件有關(guān)，由此可以得到原來做791件裙子所使用的布匹米數(shù)為791×3.2;而這一結(jié)論又和第二個條件以及最后的問題有關(guān)，由此可以得到現(xiàn)在可以做的裙子件數(shù)為791×3.2÷2.8。

第三，同一道題目常?？梢杂貌煌姆椒ń鉀Q，利用數(shù)學(xué)邏輯思維梳理不同方法之間的關(guān)系，可以提升學(xué)生對知識運用、方法關(guān)聯(lián)和問題本質(zhì)的認(rèn)識。因此，解題教學(xué)也要幫助學(xué)生梳理解題方法之間的關(guān)系。

例如，在利用上述算術(shù)方法解決例1后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考其他解題方法，比如方程方法：791×3.2=2.8x。由此，便可引導(dǎo)學(xué)生比較辨析兩種方法的異同，得到結(jié)論：它們都是基于題目條件中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系來列式解題的，算術(shù)方法的每一步計算在方程方法的解方程過程中都有體現(xiàn);算術(shù)方法以要求的量為中心，逐步考慮數(shù)量關(guān)系，必要時逆用數(shù)量關(guān)系;方程方法以數(shù)量關(guān)系為中心，整體考慮正向列式，把求未知數(shù)的過程放在解方程的機(jī)械操作中。

這里需要指出的是，例1比較簡單，可能的解法也比較少，且在兩種方法的比較中，算術(shù)方法的繁難和方程方法的簡便還得不到充分的體現(xiàn)。因此，教師在教學(xué)中，可以逐漸提升題目難度，引導(dǎo)學(xué)生思考更多的方法，并在方法比較中感受方程方法的優(yōu)越性。比如：

例2A地和B地的鐵路長為357公里，快車從A地駛往B地，慢車從B地駛往A地。兩車同時相向出發(fā)，3小時后相遇。已知快車每小時行駛79公里，則慢車每小時行駛多少公里？

例2的難度便稍微大了一些，用算術(shù)方法求解時，可以基于路程和，先求慢車的路程，再求其速度;也可以基于路程和，先求速度和，再求慢車的速度。用方程方法求解時，兩種算術(shù)方法的差異便體現(xiàn)在解方程過程中分配律的使用上。

第四，數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)系還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)題目之間的關(guān)系上。因此，解題教學(xué)還要在變式探究（一題多變）的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生梳理數(shù)學(xué)題目之間的關(guān)系。

例如，在利用多種方法解決例1、例2后，可以引導(dǎo)學(xué)生比較辨析它們本質(zhì)（數(shù)學(xué)模型）上的異同，得到結(jié)論：它們都蘊(yùn)含兩個“單個量×個數(shù)=總量”的數(shù)量關(guān)系，但例1中兩個數(shù)量關(guān)系中的總量相等，例2中兩個數(shù)量關(guān)系中的總量和為定值。因此，例2可以看作例1的變式。