平面含復(fù)鉸運動鏈拉普拉斯矩陣描述方法與同構(gòu)判定

陳 諾， 孫 偉， 楊帆行， 胡高博， 潘宇航

(武漢科技大學(xué) 機械自動化學(xué)院， 湖北 武漢 430081)

機構(gòu)綜合的目的在于獲得滿足所有給定拓?fù)湟蟮目尚袡C構(gòu)構(gòu)型，為機構(gòu)的創(chuàng)新提供大量備選的結(jié)構(gòu)方案，從而使設(shè)計者選擇性能優(yōu)異的新型機構(gòu)用于機械裝備的創(chuàng)新，并設(shè)計出具有優(yōu)異性能的新型機械裝備。機構(gòu)綜合需滿足有效性，集成方法必須能夠獲得所有滿足給定拓?fù)湟蟮目尚袡C制。綜合結(jié)果必須是完整、準(zhǔn)確的，任何可行的機構(gòu)都不能被遺漏。此外，集成機制必須合理，不包含具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的同構(gòu)機制;然而，機構(gòu)同構(gòu)的確定一直是平面機構(gòu)類型綜合和優(yōu)化中需要解決的難題。

對此，許多學(xué)者提出了相應(yīng)的解決方案，羅玉峰等[1]提出關(guān)聯(lián)度和關(guān)聯(lián)度碼的方法判定運動鏈的同構(gòu)；聶松輝等[2]提出一種可以自動繪制運動鏈結(jié)構(gòu)簡圖的最大環(huán)路法判定同構(gòu)；孫曉斌等[3]提出了條件最大結(jié)構(gòu)碼及其求解方法，將問題降次為TSP問題進行同構(gòu)判定；丁佳文等[4]提出了一種遍歷環(huán)路的新型環(huán)路矩陣來描述行星輪系拓?fù)鋱D的基本特征進行同構(gòu)判定;孫偉等[5]提出構(gòu)件鄰接矩陣描述行星輪系拓?fù)鋱D，并用改進哈明數(shù)的方法來進行同構(gòu)判定；周豪等[6]提出加值矩陣結(jié)合特征向量的方法來進行同構(gòu)判定；Rai等[7]提出一種簡單的運動鏈構(gòu)件標(biāo)記算法，從而獲得最大二進制序列碼，用此作為一個結(jié)構(gòu)恒量來判定同構(gòu)；劉江南等[8]用轉(zhuǎn)化鄰接矩陣描述含復(fù)鉸運動鏈，通過把復(fù)鉸轉(zhuǎn)換為單鉸的方法來進行同構(gòu)判定；伍星華等[9]提出了全等環(huán)路法，比較環(huán)路構(gòu)件度從而判定是否同構(gòu)；Manoj等[10]提出改進環(huán)聯(lián)接方法，通過關(guān)節(jié)頻率、鏈識別串等結(jié)構(gòu)恒量來判定運動鏈?zhǔn)欠裢瑯?gòu)；李安明等[11]通過判斷特征碼、和列陣2個結(jié)構(gòu)恒量是否相等來判定運動鏈?zhǔn)欠裢瑯?gòu)。綜上所述，雖然復(fù)合鉸鏈同構(gòu)判定的方法甚多，但有些方法存在著不適合運算，運算量大，及轉(zhuǎn)化復(fù)雜等問題。

故課題組提出了一種簡單而精確的同構(gòu)確定方法，并引入了由鄰接矩陣和度矩陣組成的Laplace矩陣來描述運動鏈，特別是包含復(fù)合鉸鏈的運動鏈。將拉普拉斯矩陣進行SVD分解后的奇異值向量作為確定的必要條件。通過對大量的案例進行論證，表明該方法具有準(zhǔn)確性和高效性。

1 拉普拉斯矩陣的構(gòu)建

1.1 拉普拉斯矩陣的定義

將度矩陣和鄰接矩陣用于構(gòu)造拉普拉斯矩陣，即

L=A-D。

(1)

式中：L為拉普拉斯矩陣，是一個n階的方陣，其中n由運動鏈桿件數(shù)決定；A為鄰接矩陣;D為度矩陣。

A需要考慮相鄰分量之間的關(guān)系，D需要考慮一個拉普拉斯矩陣在度或度上的元素，即頂點連接的分量的數(shù)量。矩陣的行和列是運動鏈的聯(lián)數(shù)，包含復(fù)鉸和移動副的矩陣元素。

含復(fù)鉸的矩陣元素計算公式：

(2)

式中:i和j表示關(guān)節(jié)編號，數(shù)值根據(jù)構(gòu)件的情況取值0或1，相鄰的構(gòu)件含復(fù)鉸取1，構(gòu)件不相鄰數(shù)值為0；deg (vi)表示頂點vi的度，數(shù)值取決于構(gòu)件的連接數(shù)目。

含移動副的矩陣元素計算公式：

(3)

式中:i和j表示關(guān)節(jié)編號，數(shù)值根據(jù)構(gòu)件的情況取值為0或2，相鄰的構(gòu)件含有移動副取2，構(gòu)件不相鄰數(shù)值為0；deg (vi)表示頂點vi的度，數(shù)值取決于構(gòu)件的連接數(shù)目。

1.2 拉普拉斯矩陣的實例

圖1所示為一個含復(fù)鉸的10桿運動鏈。

圖1 運動鏈a1的結(jié)構(gòu)簡圖Figure 1 Structure diagram of kinematic chain a1

拉普拉斯矩陣L的元素lij(i≠j)表示運動鏈a1構(gòu)件i和構(gòu)件j之間的連接關(guān)系。例如：元素l12=1，表示構(gòu)件1和構(gòu)件2之間有連接；元素l13=0，表示構(gòu)件1和構(gòu)件3之間沒有連接。元素lii表示運動鏈a1構(gòu)件i連接構(gòu)件的數(shù)目。例如，l11=-4，表示構(gòu)件1處連接有4個構(gòu)件。

可通過拉普拉斯矩陣來求解奇異值，由LL*的特征值取平方根獲得。依據(jù)

|λE-LL*|=0，

可求出特征值。

其中：λ是拉普拉斯矩陣的特征值，E是單位矩陣。

求出特征值后，奇異值可由特征值取平方根獲得，結(jié)果用一組列向量表示。

(4)

2 同構(gòu)判定

由相關(guān)理論及同構(gòu)的概念可知，要使2個運動鏈同構(gòu)，必須含有相同的構(gòu)件種類、構(gòu)件數(shù)量、構(gòu)件連接關(guān)系。對于構(gòu)件之間的連接關(guān)系，構(gòu)件數(shù)量均已確認(rèn)相同。在進行同構(gòu)判定時，首先構(gòu)建出拉普拉斯矩陣，由拉普拉斯矩陣的性質(zhì)可知拉普拉斯矩陣每一行、列求和均為0，則0是奇異值向量中的一個元素，可以檢測拉普拉斯矩陣的正確性，然后用奇異值分解(singular value decomposition,SVD)求出奇異值向量，比較2個運動鏈的奇異值向量，若相等則運動鏈同構(gòu)，否則不同構(gòu)。

圖2所示為2個具有復(fù)雜鉸鏈的10桿運動鏈，可以構(gòu)建出各自的拉普拉斯矩陣并求得奇異值向量。運動鏈a2,a3的拉普拉斯矩陣和奇異值向量的結(jié)果如下:

(5)

(6)

圖2 運動鏈a2和a3的結(jié)構(gòu)簡圖Figure 2 Structure diagram of kinematic chain a2 and a3

由結(jié)果可以看出，奇異值向量中含有元素0，符合拉普拉斯矩陣性質(zhì)，對比奇異值向量的結(jié)果顯示Sa1=Sa2≠Sa3，所以運動鏈a1和a2是同構(gòu)運動鏈，運動鏈a3是異構(gòu)。

3 案例分析

3.1 含復(fù)鉸的運動鏈

圖3所示為2個13桿含復(fù)鉸運動鏈結(jié)構(gòu)簡圖。

圖3 運動鏈a13和b13的結(jié)構(gòu)簡圖Figure 3 Structural sketches of kinematic chains a13 and b13

求出了該運動鏈的拉普拉斯矩陣和各個矩陣的奇異值向量為：

(7)

(8)

由式(7)和(8)可知，奇異值向量中含有0向量，則說明與拉普拉斯矩陣的性質(zhì)符合，對比奇異值向量的結(jié)果顯示Sa13≠Sb13，因此，運動鏈a13和b13是異構(gòu)。

3.2 含移動副的運動鏈

拉普拉斯矩陣不僅可以描述和判斷包含復(fù)雜鉸鏈運動鏈的平面的分量，還可以判斷包含移動副的運動鏈。在鄰接矩陣和度矩陣中，移動副的權(quán)重為2。圖4所示的虛線部分表示移動副。

圖4 含移動副的10桿運動鏈Figure 4 10-bar moving chain with moving pair

含有移動副的10桿運動鏈的拉普拉斯矩陣和每個矩陣的奇異值向量：

(9)

(10)

(11)

由式(9)～(11)可知，該含有移動副的10桿運動鏈所形成拉普拉斯矩陣的奇異值向量中含有元素0，符合拉普拉斯矩陣的性質(zhì)，對比奇異值向量的結(jié)果顯示Sg1=Sg2≠Sg3，可得知運動鏈g1與g2是同構(gòu)，g3是異構(gòu)。

4 結(jié)語

課題組提出了拉普拉斯矩陣來描述具有平面復(fù)雜鉸鏈的運動鏈。構(gòu)建的拉普拉斯矩陣實現(xiàn)矩陣與運動學(xué)鏈的一一對應(yīng)。該矩陣可以通過SVD進行分解，得到的奇異值向量可以判斷運動鏈的唯一性，0元素可以檢驗矩陣的正確性。該方法不僅可以用于包含復(fù)雜運動鏈的同構(gòu)判定，還可以用于包含移動副的平面運動鏈同構(gòu)判定。實例證實了該方法的有效性和高效性。相比其它判定法，該方法的矩陣簡潔美觀，可讀性強，且用SVD分解得到結(jié)果較為準(zhǔn)確、快速。