考慮潛伏感染和疫苗接種的傳染病模型的穩(wěn)定性①

艾明霞， 王穩(wěn)地

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 重慶 400715

潛伏感染常見于新型冠狀病毒肺炎和甲型H1N1等多種傳染性疾病[1-3]， 但是目前研究疾病流行的模型中， 大部分未考慮潛伏的感染性[4-8]， 或假設(shè)潛伏期和感染期的感染性相同[9]． 部分常微分模型考慮了潛伏期的相對感染性[10]． 因為疫苗接種是控制疾病流行的關(guān)鍵措施， 而考慮到不同年齡個體對疾病的感染程度是不一樣的， 所以研究具有年齡結(jié)構(gòu)的疫苗接種模型更有實際意義． 本文建立了一個考慮潛伏感染和疫苗接種的SEIR年齡結(jié)構(gòu)模型， 并對模型的相關(guān)性態(tài)進行分析．

1 模型的建立

設(shè)S(a，t)，E(a，t)，I(a，t)和R(a，t)分別表示t時刻a年齡人類中易感者、 潛伏者、 感染者和免疫者的數(shù)量， 建立如下年齡結(jié)構(gòu)模型：

(1)

表示t時刻a歲易感者承受的感染力，β1(a1)β2(a2)表示有效接觸率， 即一個a1歲易感者遇到a2歲感染者被感染的概率． 我們合理假設(shè)模型中各參數(shù)為正， 且初值條件非負．

(2)

2 平衡點的存在性和有效再生數(shù)RV

系統(tǒng)(2)的穩(wěn)態(tài)解滿足如下方程組：

(3)

顯然y(a)=z(a)=0總是系統(tǒng)(3)第二和第三個方程的解， 對應(yīng)的有λ(a)=0， 可以求得無病平衡點

E0=(x0(a)，y0(a)，z0(a))=(e-(hp+μ)a， 0， 0)

下面探究地方病平衡點E*=(x*(a)，y*(a)，z*(a))的存在性， 其中y*(a)，z*(a)≠0． 求解系統(tǒng)(3)得到

(4)

(5)

(6)

其中，

(7)

因為y*(a)，z*(a)>0， 所以D>0， 且x*(a)，y*(a)和z*(a)由D唯一確定． 結(jié)合表達式(4)-(7)， 可得等式：

(8)

等式(8)兩邊消去D， 得到

(9)

觀察表達式(4)， 可知x*(a)依賴于參數(shù)D， 記等式(9)右邊為P(D)． 顯然P(D)的單調(diào)性取決于x*(a)于D的單調(diào)性， 根據(jù)參數(shù)的正性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性， 可知P(D)嚴格單調(diào)遞減， 且P(-∞)=+∞，P(+∞)=0．

因為方程(9)的正解個數(shù)對應(yīng)系統(tǒng)(2)正平衡點的個數(shù)， 所以在P(0)≤1時， 系統(tǒng)(2)不存在正平衡點；P(0)>1時系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點． 因此P(0)為平衡點存在性的閾值， 記RV=P(0)，

(10)

表示有效再生數(shù)， 即接種疫苗的種群中一個典型感染者在其感染期內(nèi)能夠感染的平均人數(shù)[12]． 于是， 由上述分析得到下面的定理1．

定理1(i)RV≤1時， 系統(tǒng)(2)只存在一個無病平衡點E0；

(ii)RV>1時， 系統(tǒng)(2)存在一個無病平衡點E0和一個地方病平衡點E*．

3 無病平衡點的穩(wěn)定性

3.1 無病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

(11)

(12)

其中

(13)

結(jié)合方程(11)，(12)和(13)， 整理得到

(14)

(15)

將等式(15)右邊記為L(m)． 顯然L(m)嚴格單調(diào)遞減， 且L(-∞)=+∞，L(+∞)=0，L(0)=RV． 所以當RV>1 時， 特征方程(15)有唯一的正實特征根； 當RV<1時， 有唯一的負實特征根． 由指數(shù)函數(shù)非負性及三角函數(shù)的有界性， 可以驗證此實根是實部占優(yōu)的． 所以RV也是無病平衡點局部漸近穩(wěn)定性的閾值， 綜上所述， 可得如下定理2：

定理2(i)RV<1時， 方程(15)的特征根都是負實部， 無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定；

(ii)RV>1時， 方程(15)存在正實部的特征根， 無病平衡點E0不穩(wěn)定．

3.2 無病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性

定理3在RV<1時， 無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定．

證沿特征線對系統(tǒng)(2)積分[13]， 當t>a時，

(16)

(17)

(18)

其中

顯然t>a時， 0a)． 所以

0≤f(a，t)≤e-(hp+μ)aβ1(a)Q(t)

(19)

0≤Y(a)≤e-(hp+μ)aβ1(a)C

(20)

其中

結(jié)合C的表達式及不等式(20)， 得到不等式：

4 地方病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性

(21)

求解微分方程組(21)， 并交換積分順序， 可得

(22)

(23)

其中

(24)

將等式(22)和(23)代入系統(tǒng)(21)的第4個方程， 并將右端的函數(shù)定義為Ω(w)， 所以得到w滿足的特征方程：Ω(w)=1， 其中，

定理4在RV>1時， 若滿足δ>hp，y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+或者δ≤hp， 則有地方病平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的．

證若δ>hp， 且y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+， 整理可得不等式：

結(jié)合X(a，k)表達式(24)， 可得

若δ≤hp， 同樣有X(a，k)≥0． 此時Ω(w)關(guān)于w嚴格單減，Ω(-∞)=+∞，Ω(+∞)=0．

另外， 結(jié)合P(D)的表達式和等式(9)， 可得：

其中

顯然Ω(0)<1， 所以Ω(w)=1有唯一負實部特征根． 而且此實根是實部占優(yōu)的， 即Ω(w)=1的特征根都是負實部， 可知E*是局部漸近穩(wěn)定的．

5 結(jié)論

本文提出了一個考慮潛伏感染和疫苗接種的SEIR年齡結(jié)構(gòu)模型， 分析得到有效再生數(shù)RV的表達式， 并驗證了無病平衡點E0和地方病平衡點E*的存在性； 借助特征方程得到RV>1時E0不穩(wěn)定， 然后利用特征線法證明了RV<1時E0全局漸近穩(wěn)定； 此外討論了RV>1時地方病平衡點E*局部漸近穩(wěn)定的條件． 觀察有效再生數(shù)RV的表達式可知， 提高疫苗接種率p、 增大疫苗免疫成功率h或者減小潛伏期相對于感染期傳播力的比值ε都會減小RV的值， 也即能更好地控制疾病的流行[15]．