并聯(lián)式六維加速度感知機構(gòu)的最大工作頻率*

史浩飛尤晶晶陳華鑫

(1.南京林業(yè)大學機械電子工程學院，江蘇 南京 210037；2.南京航空航天大學江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，江蘇 南京 210016)

工作頻帶是衡量加速度傳感器性能的重要指標之一，反映了其檢測性能和適用場景。 對于一維加速度計而言，其工作頻率的下限由相連電荷放大器的下限截止頻率決定，一般可低至0.3 Hz[1]；其工作頻率的上限一般取其基頻的1/5～1/3[2]以避免感知機構(gòu)發(fā)生共振[3]從而影響正常檢測。 對于低維運動感知機構(gòu)，對它的研究主要側(cè)重于工作頻率與傳感器結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關系。 Lee 等人[4]利用元模型分析了共振情況下，壓電式加速度傳感器的敏感參數(shù)的特性。 LIU 等人[5]基于一種折疊式橫梁的壓電式加速度傳感器，研究了中心質(zhì)量塊的位移與工作頻率之間的關系。 此外，針對靜態(tài)或準靜態(tài)加速度的特性，Lu 等人[6]研究了壓電式加速度傳感器在低頻范圍內(nèi)的補償方法，從而大大提高了傳感器在低頻范圍內(nèi)的測量精度。

與少自由度運動感知機構(gòu)相比，六維加速度感知機構(gòu)具有信息獲取更全、測量精度更高、體積和成本更低等優(yōu)勢[7]，在航空航天[8－9]、振動測試[10]等領域應用前景廣闊。 對于該類感知機構(gòu)，其最小工作頻率由電荷調(diào)理儀器的性能決定，而最大工作頻率的界定尚未解決。 目前，六維加速度感知機構(gòu)的固有頻率等特性已得到了深入研究[11－13]，因此以固有頻率為切入點是進一步探究最大工作頻率的有效途徑。

鑒于此，本文首先基于第二類Lagrange 方程建立了感知機構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程，并利用Householder 法和單步QR 法求解了振型方程的特征值問題；利用軟件仿真，驗證了基頻模型和方程求解的正確性；最后，研究了六維加速度感知機構(gòu)的基頻與最大工作頻率之間的線性關系。

1 基頻模型

并聯(lián)式六維加速度感知機構(gòu)由質(zhì)量為m、邊長為2n的正方體質(zhì)量塊及長度為l的支鏈構(gòu)成。 圖1為三種感知機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖，其構(gòu)型分別為9－3、12－6和12－4。 以12－4 構(gòu)型為例，其中Bij(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)表示與基座固連的一般球鉸鏈，bi(i＝1，2，3，4)表示與質(zhì)量塊固連的復合球鉸鏈，Pij(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)表示各支鏈上的壓電陶瓷。 分別在質(zhì)量塊和基座上建立笛卡爾坐標系O1－X1Y1Z1、O2－X2Y2Z2，分別記為{U}和{L}。 動平衡狀態(tài)時兩坐標系的原點重合于質(zhì)量塊的質(zhì)心處，其坐標軸分別與質(zhì)量塊的三條棱邊平行。

圖1 并聯(lián)式六維加速度感知機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

1.1 建立支鏈的運動學方程

復合球鉸鏈在{L}系中的坐標b{L}i可表示為:

式中:O{L}表示{U}系的原點在{L}系中的坐標；R{L}表示{U}系相對于{L}系的旋轉(zhuǎn)矩陣；為復合球鉸鏈在{U}系中的坐標。

因此，該感知機構(gòu)支鏈的運動學方程為:

式中:lij表示各支鏈的矢量；表示基座上的一般球鉸鏈在{L}系中的坐標。

1.2 建立無阻尼自由振動微分方程

利用四元數(shù)來描述{U}系相對于{L}系的姿態(tài)，則{U}系相對于{L}系轉(zhuǎn)動的角速度矢量ω{L}可表示為[7]:

式中:λ0為該四元數(shù)的實部元素；λ1、λ2、λ3分別為該四元數(shù)的三個虛部元素；?λ＝[?λ1，?λ2，?λ3，?λ0]T。

根據(jù)第二類Lagrange 方程，系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程的標準表達式為:

式中:Ek表示質(zhì)量塊的動能；Ep表示壓電陶瓷的彈性勢能；qj表示系統(tǒng)的廣義坐標[14]，q1～3為描述{U}系相對于{L}系位置坐標的三個分量，q4～6分別等于λ1，λ2，λ3。

式(2)中質(zhì)量塊的動能函數(shù)可表示為:

式中:ν{L}表示{U}系的原點相對于{L}系移動的線速度矢量；I{U}表示質(zhì)量塊在{U} 系中的慣性矩陣[7]:

故質(zhì)量塊的動能函數(shù)可近似表達為:

式(2)中壓電陶瓷的勢能函數(shù)可表示為:

式中:k表示壓電陶瓷的等效剛度。

根據(jù)泰勒公式展開并忽略二階以上無窮小量，結(jié)合式(1)整理可得廣義坐標形式下的勢能函數(shù):

將動能函數(shù)(3)和勢能函數(shù)(4)代入式(2)中，整理可得12－4 構(gòu)型六維加速度感知機構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程:

式中:M、K表示六維加速度感知機構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；表示廣義加速度；0 表示六階零矢量，且:

2 基頻的求解及算例驗證

2.1 特征值問題的分析

式(5)的解對應著系統(tǒng)的無阻尼自由振動，由于不存在能量的損失，系統(tǒng)將永不停歇地振動下去。假設所有的坐標作同步運動，即兩坐標間的振動位移之比恒定，則設該方程的解為:

式中:Qi為常數(shù)；T是時間t的函數(shù)。

將式(6)代入式(5)并展開為方程組形式，可得:

式中:mij，kij分別表示質(zhì)量矩陣和剛度矩陣中的對應元素。

故而可得到如下關系:

式(7)等號右邊為常數(shù)，與時間t無關，令其等于ω2，則式(5)可改寫為:

式中:ω為系統(tǒng)的固有圓頻率。

又因Q不為零，故有:

式(8)表示一特征值問題，式(9)為其特征方程，ω2為其特征值。 令ξ＝1/ω2，定義動力矩陣D＝K－1M，則式(9)可轉(zhuǎn)化為:

2.2 特征值問題的求解

對于并聯(lián)式六維加速度感知機構(gòu)這類多自由度系統(tǒng)，通過求解多項式方程來獲得動力矩陣D特征值ξ的過程是十分繁瑣的。 鑒于此，可利用Householder 法[15]和單步QR 法[16]來對特征值問題進行求解。

設:

根據(jù)Householder 法，將動力矩陣D轉(zhuǎn)化為上Hessenberg 矩陣H，其形式如下:

再根據(jù)單步QR 法，對H進行迭代運算，將其變換為對角矩陣H′，并按升序重新排列其對角線元素，即有:

式中:ξ1～6為動力矩陣D的特征值。

根據(jù)固有圓頻率與頻率之間的關系，六維加速度感知機構(gòu)系統(tǒng)的基頻f0可表示為:

由式(10)可以看出，感知機構(gòu)的高階固有圓頻率也已在迭代過程中求出，故高階固有頻率也可同時計算得知。 對于感知機構(gòu)的各階振型向量，可利用已知的ξ值根據(jù)反冪法求解，這里不再進行討論。

2.3 算例驗證

以動力學仿真軟件ADAMS 為參考，首先對上述建立的12－4 構(gòu)型感知機構(gòu)的基頻模型進行算例驗證。 取質(zhì)量塊的邊長為0.040 m(質(zhì)量塊的質(zhì)量為0.499 264 kg)，支鏈剛度為2×108N/m，得到其各階固有頻率。 根據(jù)圖2 所示，該系統(tǒng)的基頻為6 370.888 4 Hz。 隨后，基于本文1.2 節(jié)的推導結(jié)果和矩陣迭代法[7]編寫程序，計算得出基頻值為6 370.888 4 Hz。

圖2 12－4 構(gòu)型六維加速度感知機構(gòu)的基頻

鑒于9－3 構(gòu)型的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣均為非對角陣，具有普遍性，這里再以該構(gòu)型為例驗證2.2節(jié)的求解過程。 同樣以上述參數(shù)為例建立系統(tǒng)的動力學模型，分析其基頻。 圖3 顯示了該系統(tǒng)的基頻仿真結(jié)果，可以看出其值為2 985.969 0 Hz。 隨后，基于9－3 構(gòu)型的無阻尼自由振動微分方程和本文2.2 節(jié)的解法編寫程序。 其中，Householder 法經(jīng)過了4 步運算，單步QR 法經(jīng)過了如圖4 所示的11 次迭代，完成了各階固有頻率的計算，顯示其基頻為2 985.969 0 Hz。

圖3 9－3 構(gòu)型六維加速度感知機構(gòu)的基頻

圖4 9－3 構(gòu)型各階固有頻率的迭代過程

上述兩例的驗算結(jié)果均與動力學仿真的結(jié)果吻合，這驗證了振型方程的正確性。

3 感知機構(gòu)最大工作頻率的確定

為確定感知機構(gòu)的基頻和最大工作頻率之間的關系，需要建立具有不同基頻的感知機構(gòu)動力學模型。 通過改變影響感知機構(gòu)基頻的兩個因素，即質(zhì)量塊的質(zhì)量和支鏈的剛度，分別建立了不同參數(shù)的9－3、12－6 和12－4 構(gòu)型感知機構(gòu)模型，并利用ADAMS 仿真得出其最大工作頻率的準確值。 各構(gòu)型的模型參數(shù)取值與最大工作頻率數(shù)據(jù)如表1、表2和表3 所示。

表1 9－3 構(gòu)型的模型參數(shù)及最大工作頻率 單位:Hz

表2 12－6 構(gòu)型的模型參數(shù)及最大工作頻率 單位:Hz

表3 12－4 構(gòu)型的模型參數(shù)及最大工作頻率 單位:Hz

對表1、表2 和表3 中的數(shù)據(jù)進行線性擬合，設擬合曲線為Fmax＝hF0，其中Fmax表示動力學仿真得到的最大工作頻率；F0表示感知機構(gòu)的基頻；h表示擬合曲線的斜率。 各構(gòu)型擬合出的參數(shù)如表4 所示，擬合效果如圖5 所示。

進一步利用包絡線理論分析最大工作頻率與基頻之間存在的線性關系。 設:

式中:c1、c2分別表示下包絡線和上包絡線的斜率，且要保證(c2－c1)最小。

利用上述擬合方程對9－3、12－6 和12－4 構(gòu)型各自的64 組仿真數(shù)據(jù)進行包絡擬合，擬合效果如圖5所示，擬合參數(shù)如表4 所示。

圖5 最大工作頻率與基頻間的擬合關系

根據(jù)表4 的包絡線斜率可以發(fā)現(xiàn)，六維加速度感知機構(gòu)的最大工作頻率與其基頻之間近似滿足線性映射的關系，且不同構(gòu)型所對應的比例系數(shù)差異不大。 另外，表4 列出了三種構(gòu)型感知機構(gòu)的幾個重要物理函數(shù)/矩陣的解析表達式。 基于此，將有利于進一步剖析該類系統(tǒng)的解耦機理。

表4 各構(gòu)型感知機構(gòu)的物理函數(shù)/矩陣對比

4 總結(jié)

本文根據(jù)第二類Lagrange 方程建立了并聯(lián)式六維加速度感知機構(gòu)的無阻尼自由振動微分方程，據(jù)此求解了系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，從而建立了基頻模型。 利用Householder 法和單步QR 法求解基頻模型的特征值問題，準確得出了基頻值。 為了分析最大工作頻率與系統(tǒng)基頻之間的關系，對影響感知機構(gòu)基頻的兩個分量進行了分析，擬合結(jié)果表明，該類系統(tǒng)的最大工作頻率與基頻的比值在0.029 36 左右，最大工作頻率的波動范圍處于基頻的[1/36，1/30]區(qū)間內(nèi)。