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    圖基BCJ關系的弦論導出

    2022-07-09 11:12:34柳景沛杜一劍
    武漢大學學報(理學版) 2022年3期
    關鍵詞:米爾斯虛部實部

    柳景沛,杜一劍

    武漢大學物理科學與技術學院,湖北武漢430072

    0 引言

    近年來研究表明,楊-米爾斯理論樹級色排序散射振幅滿足非平庸的Bern-Carrasco-Johansson(BCJ)關系[1],這與早期發(fā)現的Kleiss-Kuij(f KK)關系[2]一起對樹級色排序振幅的計算起到化簡作用。近期對愛因斯坦-楊-米爾斯理論振幅遞推展開公式[3~5]的研究引出了楊-米爾斯理論樹級色排序振幅的圖基BCJ關系。由于已有的KK和BCJ關系可以由弦論振幅關系的場論極限給出[6],而場論中的圖基BCJ關系是已有BCJ關系的組合[7],因此我們期望通過適當組合弦論散射振幅,導出場論中的圖基BCJ關系。

    本文從具體例子出發(fā),借助弦論中的KK和BCJ關系,找到弦論振幅滿足的圖基關系。這一關系在場論極限下給出了楊-米爾斯場振幅的圖基BCJ關系以及與其伴隨的圖基KK關系。

    1 已知的弦論與場論散射振幅關系

    樹級色排序楊-米爾斯場散射振幅滿足以下的KK關系[2]

    其中,A(1,σ,n)表示給定排序(1,σ,n)下的楊-米爾斯場散射振幅;α,β是給定的粒子排序;βT表示β中粒子排序的逆序;符號表示兩個有序集的有序并集,在這個并集中每個有序集中元素保持原來的相對順序。楊-米爾斯場樹級色排序振幅還滿足以下BCJ關系

    (2)式左邊定義為

    在弦論中,開弦樹級散射振幅滿足如下關系[1,8]

    AI表示相應色排序的開弦散射振幅。當考慮外線為開弦無質量態(tài)并取場論極限α'→0后,(4)式左右兩邊的實部相等,所以可推出(1)中的KK關系,等式右邊虛部為零則(2)式成立。因此,場論中的KK和BCJ關系可視為弦論中對應關系的近似。

    文獻[5]提出了如下圖基BCJ關系

    其中,F表示由點和線構成的樹圖;βi是任意選定的圖中的一個點,稱為基點;f(βi,βj)表示圖中βi與βj的距離,即圖中兩點相隔的最短路線的線段數表示一個排序的集合,其中元素的排序由下列規(guī)則確定:1)βi在排序最左邊;2)任意相鄰兩點與βi距離較近的排在左邊;3)當兩個分支連在同一點上時,可能的排序集合為各自分支排序的有序并集。這里以一個四點圖作為例子,如圖1所示,圖中的點表示一部分外粒子。

    圖1 四點圖F4的一種情況Fig.1 A case of four-point graph F4

    對應圖1的表達式為

    文獻[7]證明了圖基BCJ關系等號左邊的式子可以表示為(2)式左邊項的組合。于是可以證明有如下的圖BCJ關系

    本文給出弦論中的圖基散射振幅關系,這些關系在場論極限下可以導出相應的楊·米爾斯場圖基BCJ關系(5)。

    2 少點弦散射振幅圖基關系及與場論的對應

    通過整合弦論振幅關系,計算兩點、三點和一個四點的圖基BCJ關系。這一計算方法可以推廣至任意形式的圖基BCJ關系。

    對于楊-米爾斯場理論,單點的圖基BCJ關系(5)會退化到一般BCJ關系(2)。因此,只需使用與文獻[6]中相同的方法,便可得到最終結果,同時得到相應的KK關系。在這里,可以看見弦散射振幅的BCJ及KK關系與場論的BCJ及KK關系有著一一對應的關系。后面可以看到,證明高點的圖基BCJ關系依賴于低點的這種對應。

    先考慮兩點圖情況的弦論散射振幅關系,也就是選取β1為基點,且(5)式中F取圖2的情況。

    圖2 兩點圖F2Fig.2 Two-point graph F2

    為了找到與此情況對應的弦論中的關系,考慮如下的弦散射振幅組合

    為了表示方便,有如下簡記

    對于(8)式中的第一項,可以同樣利用(4)式寫成如下的關系

    同理,對于(8)式第二項有

    組合后?。?)式的虛部,因為式子是散射振幅的組合,其應該是實數,故虛部應為0,即

    考慮(8)式的實部有如下關系

    這兩個關系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關系。在場論極限α'→0下,(13)式變?yōu)?/p>

    (14)式就是相應的圖基KK關系。下面證明在場論極限下,(12)式退回到場的圖基BCJ關系。場論極限α'→0下,(12)式可寫為

    (15)式等號左邊的第二項和(12)式第一項中i=2的項相加,可以得到

    可以看到(16)式和(15)式第一項i=1的組合,正是楊-米爾斯場兩點圖基BCJ關系等式的右邊。由此印證了弦散射振幅與楊-米爾斯場之間的對應關系。

    弦散射振幅在三點圖的情況下有兩種不同的形式,但是它們對應著場論中的同一個關系。下面考慮三點圖的弦論散射振幅關系,也就是定義式(5)中F取圖3時的情況。

    圖3 三點圖F3Fig.3 T hree-point graph F3

    我們首先考慮選取β1為基點。

    考慮如下的弦散射振幅組合

    對(17)式中的第一項,利用(4)式的規(guī)則寫成如下的關系

    同理,對(17)式第二項有

    對(17)式第三項有

    組合后,由于(17)式是散射振幅的組合,故虛部為0,得到如下關系

    再?。?7)式的實部,得到如下等式

    這兩個關系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關系。在場論極限下,(22)式變?yōu)?/p>

    下面證明在場論極限下,(21)式退回到場的圖基BCJ關系。場論極限下(21)式可寫為

    聯系之前寫出的BCJ關系式,(24)式中的第一項中i=2,3的部分可以記作

    (25)式中B的定義與(3)式中的定義相同,β1?β2表示只包含在色排序中β1排在β2的左邊的那些項。(25)式和(24)式中的第二項結合得到

    (26)式再與(24)式的最后一項合并,可以得到

    對(27)式和(24)式的第一項求和,可以看到這正是三點的圖基BCJ關系。三點圖還有另一種情況,即依舊使用圖3,但以其中的中間點β2為基點。此時考慮如下的弦振幅組合

    運用同樣的方法可以得到

    這也是三點的圖基BCJ關系,只是基點不相同,因此與前一種方法得到的結果是相符合的。

    考慮四點圖的弦論散射振幅關系。對于四點圖的散射振幅,也有多種不同情況,這里只重點計算最非平凡和有代表性的例子??疾於x式(5)中F如圖1所示,以β4為基點的情況。考慮如下的弦散射振幅組合

    對(30)式中的第一項,同樣利用公式(4)的規(guī)則寫成如下的關系

    同理,對(30)式第二項有

    對(30)式第三項有

    對(30)式第四項有

    與前面同樣的理由,等式(31)~(34)兩邊求和后式子的虛部為0,得到如下的關系

    (31)~(34)式的實部相等,有

    (35)和(36)式這兩個關系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關系。在場論極限下,(36)式變?yōu)?/p>

    下面證明在場論極限下,(35)式退回到場的圖BCJ關系。場論極限下(35)式可寫為

    (38)式右邊的第四項i=1部分可以寫成

    其中F1表示由β1組成的單點圖。(39)式和(38)式右邊第一項相加,得到如下結果

    同樣的方法處理(38)式右邊的第四項i=2,3部分也能得到

    3 結語

    從本文的證明中可以看出,弦論中的開弦散射振幅關系與楊-米爾斯場的散射振幅關系存在對應。通過找到弦論振幅的圖基關系,并對其虛部取場論極限,就能方便地得到場論中的圖基BCJ關系。若對其實部取場論極限,可得到與圖基BCJ關系相伴隨的新關系。這一證明方法更加清晰地揭示了場論振幅與弦理論振幅之間的關聯。如何將相關討論推廣至圈級振幅,仍有待進一步研究。

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