分?jǐn)?shù)階優(yōu)化的鴿群圖像分割算法

李光昊 馬瑜 郭姝琪 王仕儒

（寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750021）

1 引言

在計(jì)算機(jī)視覺中，圖像分割是圖像處理的重要組成部分，其目的是將目標(biāo)區(qū)域和背景區(qū)域分離。閾值分割是一類常用的圖像分割方法，其中最大類間方差法（Otsu）因其原理簡單、易于實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于圖像分割。二維Otsu 算法相對(duì)原始 Otsu 算法很好地提升了分割效果，但計(jì)算耗時(shí)長，收斂速度慢。張建波等人利用二維灰度梯度直方圖對(duì)算法進(jìn)行優(yōu)化，有效降低了運(yùn)算復(fù)雜度，提高了分割精度。李鵬等人利用麻雀算法優(yōu)化Otsu 分割算法，大幅提升了算法效率。

仿生群體智能優(yōu)化算法是通過模擬自然界中事物或生物的運(yùn)動(dòng)和行為規(guī)律所提出的一種算法，常用來解決尋優(yōu)、參數(shù)優(yōu)化等問題，但也存在收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題。鴿群算法是一種受鴿子歸巢行為啟發(fā)而產(chǎn)生優(yōu)化算法（pigeon-inspired optimization, PIO），最早由段海濱教授提出，近年來在群體智能優(yōu)化領(lǐng)域受到廣泛應(yīng)用。林娜等提出了自適應(yīng)權(quán)重的鴿群算法，一定程度上改善了收斂速度慢的缺陷。

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分作為一種數(shù)學(xué)工具，被廣泛應(yīng)用于圖像處理。2010 年，Pires等最早將分?jǐn)?shù)階算法引入PSO 算法中，驗(yàn)證了算法的收斂速度與分?jǐn)?shù)階階次密切相關(guān)。魏晶茹等提出了一種自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階粒子群算法，利用分?jǐn)?shù)階粒子群算法進(jìn)行圖像分割，取得了很好的分割效果。Yashar Mousavi等將分?jǐn)?shù)階與螢火蟲算法結(jié)合，同樣獲得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

本文針對(duì)鴿群算法在圖像分割中具有的收斂速度慢和尋優(yōu)精度低的缺點(diǎn)，將分?jǐn)?shù)階微積分引入到鴿群算法中，對(duì)鴿群算法的速度更新進(jìn)行優(yōu)化，克服其容易陷入局部最優(yōu)的缺陷。并引入分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)濾波對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，提高分割精度。在鴿群算法尋優(yōu)中引入混沌搜索算法，提高全局搜索能力，結(jié)合二維Otsu 分割算法確定最佳分割閾值，加快算法收斂速度。

2 分?jǐn)?shù)階混合鴿群算法

2.1 傳統(tǒng)鴿群算法

鴿群優(yōu)化算法是模仿鴿群歸巢而建立的一類仿生優(yōu)化方法。鴿群歸巢過程中，會(huì)根據(jù)情況使用不同的導(dǎo)航方式，當(dāng)鴿群距離巢穴較遠(yuǎn)時(shí)主要采用磁場導(dǎo)航，而接近巢穴時(shí)則主要根據(jù)地標(biāo)對(duì)路線進(jìn)行修正。

2.1.1 磁場算子

在磁場算子階段，鴿群的搜索具有全局最優(yōu)特性。鴿群在多維搜索空間中，位置和速度根據(jù)下式進(jìn)行更新：

上式中，X是位于中心的鴿子的位置，f(X(t))為當(dāng)前鴿子的適應(yīng)度函數(shù)值，即目標(biāo)函數(shù)。

舍棄函數(shù)為：

在依靠地標(biāo)算子尋優(yōu)的過程中，適應(yīng)度低的鴿子對(duì)地標(biāo)不熟悉，具有較差的尋優(yōu)能力，因而被舍去，其余鴿子跟隨高適應(yīng)度的鴿子進(jìn)行移動(dòng)，每次迭代都會(huì)舍棄一半的鴿子數(shù)量。

2.2 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分即為階次是分?jǐn)?shù)的微分和積分，是對(duì)傳統(tǒng)微積分的延伸，由于其具有記憶性，在數(shù)字信號(hào)處理、數(shù)字圖像處理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階微積分有多種定義，其中最常用的是G-L（Grumwald-Letniko）定義。

假設(shè)在區(qū)間[a,b](a＜b,a∈R,b∈R)內(nèi)存在連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，則f(x)的一階導(dǎo)數(shù)為：

2.3 分?jǐn)?shù)階優(yōu)化的鴿群算法

原始鴿群算法存在收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，為了提升尋優(yōu)效率和精度，將分?jǐn)?shù)階微積分引入鴿群算法中，提出分?jǐn)?shù)階優(yōu)化鴿群算法（fractional-order pigeoninspired optimization, FPIO）。該算法將分?jǐn)?shù)階微積分引入原始鴿群算法速度更新公式，利用分?jǐn)?shù)階微積分的記憶性和遺傳性提升鴿群算法的收斂速度，并且能夠有效的改善原始鴿群容易陷入局部最優(yōu)的問題。將式（1）變形為：

上式中，d是鴿群的全局最優(yōu)位置與其他鴿子距離的平均值，鴿子間平均距離最大值為d，最小值為d，則f∈[0,1]。根據(jù)文獻(xiàn)可以得到，當(dāng)分?jǐn)?shù)階次α∈[0.5,0.8]時(shí)，算法效果最好，因此可將α 根據(jù)下式進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整：

2.4 混沌搜索算法

混沌是一種無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因其具有隨機(jī)性、遍歷性和規(guī)律性，常用于尋優(yōu)問題。錢偉懿等人利將混沌序列引入群體智能算法的研究，提高了算法的搜索速度。李娟等人利用混沌序列對(duì)種群進(jìn)行初始化，提高了種群的搜索能力。

本文所采用的混沌映射為Logistic 映射，其表達(dá)式為：

在每次迭代中，用混沌搜索得到的最優(yōu)位置隨機(jī)取代一只鴿子，這樣可以有效地提升種群多樣性，提升算法搜索能力。

3 基于分?jǐn)?shù)階混合鴿群優(yōu)化的Otsu分割算法

3.1 基于灰度-梯度的二維Otsu閾值分割算法

Otsu 算法最早由日本學(xué)者提出，主要原理是將圖像分為目標(biāo)類和背景類，兩類間的類間方差越大，圖像分割效果越明顯?；诨叶?梯度直方圖的二維Otsu 算法，一定程度上改善了原始Otsu 算法運(yùn)算緩慢的缺陷，目前是比較常用的圖像分割算法。

設(shè)圖像總像素點(diǎn)數(shù)為N，n為灰度i、梯度j 的像數(shù)點(diǎn)數(shù)，其出現(xiàn)的概率為：

3.2 分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)濾波

在數(shù)字圖像增強(qiáng)處理中，分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)濾波可以提升高頻信號(hào)，同時(shí)更好地保留中低頻信號(hào)，也即在增強(qiáng)圖像紋理信息的同時(shí)，保留住圖像中的平滑部分。本文引入分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)濾波，對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，提升分割精度。濾波模板如圖1。

圖1： 分?jǐn)?shù)階濾波模板

式（29）所得到的fe(m)即為濾波模板中實(shí)際系數(shù)，對(duì)圖像進(jìn)行卷積濾波，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的增強(qiáng)。增強(qiáng)后的圖像具有更清晰的紋理細(xì)節(jié)，使圖像分割后保留住更多細(xì)節(jié)信息

3.3 基于分?jǐn)?shù)階混合鴿群優(yōu)化的Otsu算法

針對(duì)原始的鴿群優(yōu)化的二維Otsu 圖像分割算法（PIOOtsu）收斂速度慢的問題，將分?jǐn)?shù)階引入鴿群算法速度更新公式，提出了分?jǐn)?shù)階混合鴿群的二維Otsu 圖像分割算法（FPIO-Otsu），令二維Otsu 算法的離散度矩陣作為FPIO的適應(yīng)度函數(shù)，算法的流程圖及步驟如圖2 所示。

圖2： FPIO-Otsu 算法流程

步驟1 輸入圖像，對(duì)圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)，基于二維Otsu 算法生成目標(biāo)函數(shù)。

步驟2 確定初始的位置X，鴿子總數(shù)G，初始速度V，總的迭代次數(shù)N 以及磁場模型的迭代次數(shù)N。

步驟3 計(jì)算得到每個(gè)點(diǎn)的適應(yīng)度f(x)。

步驟4 將該點(diǎn)的f(x)與該點(diǎn)的歷史最佳位置對(duì)比，取較大者作為該點(diǎn)的歷史最佳位置。

步驟5 將該點(diǎn)的f(x)與全局最優(yōu)位置對(duì)比，取較大者作為當(dāng)前全局最優(yōu)位置。

步驟6 在前N_0 次迭代中，使用式（1）和式（2）來進(jìn)行更新點(diǎn)的速度和位置；在N_0 次后使用式（4）來進(jìn)行位置的更新。根據(jù)式（16）和式（17）進(jìn)行混沌搜索，用搜索到的最優(yōu)位置隨機(jī)取代一只鴿子。

圖3： Baboon 圖像及分割結(jié)果

圖4： Lena 圖像及分割結(jié)果

步驟7 重復(fù)步驟3～步驟6，直到迭代N 代后，迭代停止，得到最佳閾值進(jìn)行圖像分割。

步驟8 輸出分割后的圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，本文對(duì)不同類型的經(jīng)典圖像進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并將本文算法（FPIO-Otsu）、分?jǐn)?shù)階粒子群優(yōu)化的二維Otsu 算法（FPSO-Otsu）、原始鴿群優(yōu)化的二維Otsu 算法（PIO-Otsu）在分割效果上進(jìn)行對(duì)比。算法的硬件運(yùn)行環(huán)境為Inter（R） Core（TM） i7-10875H CPU 2.30GHz，16GB 內(nèi)存，軟件編程語言為Matlab R2019a。

圖5： lung 圖像及分割結(jié)果

4.1 主觀視覺分割結(jié)果

從圖3 至圖6 的分割結(jié)果對(duì)比可以看出，Baboon 圖像中，本文算法對(duì)胡須部分的分割細(xì)節(jié)明顯好于另外兩種算法。Lena 圖像中，本文算法對(duì)人物頭發(fā)部分的紋理細(xì)節(jié)分割更加精細(xì)。lung 圖像中，本文算法對(duì)肺組織病變區(qū)域的分割更清晰。Flower 圖像中，本文算法在花瓣部分能分割出更多細(xì)節(jié)。

圖6： Flower 圖像及分割結(jié)果

4.2 客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文選取算法收斂時(shí)的迭代次數(shù)作為算法收斂速度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，迭代次數(shù)少則算法收斂快。同時(shí)采用峰值信噪比（PSNR）和結(jié)構(gòu)相似性（SSIM）作為評(píng)價(jià)圖像分割效果的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)。PSNR 值越大，算法抗噪性能越好。SSIM值越大，說明分割圖像與原始圖像更相似，分割精度更好。

由表1 的數(shù)據(jù)可以看出，本文算法對(duì)Baboon 圖像的分割經(jīng)過6 次迭代達(dá)到收斂，比另外兩種算法收斂更快。而SSIM 以及PSNR 值均高于另外兩種算法，可見本文算法提升了圖像分割的準(zhǔn)確度，抗噪性能也得到了保障。

表1： 三種算法對(duì)Baboon 圖像分割結(jié)果對(duì)比

由表2 的數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)Lena 圖像本文算法僅經(jīng)過6 次迭代找到了最佳閾值，而另外兩種算法分別經(jīng)過了10次以及14 次迭代，說明本文算法收斂速度更快。本文算法的SSIM 以及PSNR 值均高于另外兩種算法，說明本文算法分割圖像的準(zhǔn)確度和抗噪性能都得到了提升。

表2： 三種算法對(duì)Lena 圖像分割結(jié)果對(duì)比

由表3 的數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)lung 圖像，本文算法經(jīng)過3次迭代達(dá)到收斂，另外兩種算法分別經(jīng)過59 次和16 次，說明本文算法收斂速度得到了較大提升。，本文算法的SSIM和PSNR 值同樣高于另外兩種算法，說明抗噪性能較強(qiáng)，分割細(xì)節(jié)較好。

表3： 三種算法對(duì)lung 圖像分割結(jié)果對(duì)比

由表4 的數(shù)據(jù)可知，對(duì)Flower 圖像的分割結(jié)果，本文算法的PSNR 值比另外兩種算法高0.0758，SSIM 值比另外兩種算法高0.006，說明本文算法分割效果好于另外兩種算法。迭代次數(shù)上，本文算法經(jīng)過4 次迭代達(dá)到收斂，另外兩種算法分別經(jīng)過23 次和14 次，說明本文算法收斂速度較快。

表4： 三種算法對(duì)Flower 圖像分割結(jié)果對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法對(duì)不同圖像的分割效果，選取另外36 幅人物圖像、32 幅景物圖像以及20 幅醫(yī)學(xué)圖像，采用上述三種算法對(duì)其進(jìn)行分割，將結(jié)果取平均值，受篇幅限制，部分分割結(jié)果如圖7 所示。

圖7： 對(duì)人物圖像分割結(jié)果

圖8： 對(duì)景物圖像分割結(jié)果

從圖7 至圖9 的分割結(jié)果可以看出，本文算法對(duì)人物、景物、醫(yī)學(xué)圖像均從主觀視覺上保證了分割的精度。從表5至表7 的數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)人物圖像，本文算法迭代次數(shù)較PIO-Otsu 和FPSO-Otsu 分別減少了68.99%和34.99%，SSIM 值分別提升了12.67%和3.67%，PSNR 值分別提升了9.83%和1.37%。對(duì)景物圖像，本文算法迭代次數(shù)較PIOOtsu 和FPSO-Otsu 分別減少了70.17%和36.34%，SSIM 值分別提升了5.94%和5.33%，PSNR 值分別提升了1.79%和1.68%。對(duì)醫(yī)學(xué)圖像，本文算法迭代次數(shù)較PIO-Otsu 和FPSO-Otsu 分別減少了74.44%和47.93%，SSIM 值分別提升了1.49%和1.39%，PSNR 值分別提升了0.84%和0.81%。

圖9： 對(duì)醫(yī)學(xué)圖像分割結(jié)果

表5： 36 幅人物圖像平均分割結(jié)果對(duì)比

表7： 20 幅醫(yī)學(xué)圖像平均分割結(jié)果對(duì)比

表6： 32 幅景物圖像平均分割結(jié)果對(duì)比

綜上所述，本文算法無論是從主觀視覺還是客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)都提升了分割效果，收斂速度獲得了較大提升。

5 結(jié)束語

本文提出的基于分?jǐn)?shù)階混合鴿群優(yōu)化的二維Otsu 圖像閾值分割算法，通過將分?jǐn)?shù)階與鴿群優(yōu)化算法結(jié)合，并引入分?jǐn)?shù)階增強(qiáng)濾波和混沌搜索算法，使得鴿群個(gè)體更快地找到最優(yōu)點(diǎn)，提高了收斂速度。本文算法從主觀視覺和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)兩方面的分割效果均優(yōu)于傳統(tǒng)算法，與傳統(tǒng)鴿群優(yōu)化的二維Otsu 算法相比，收斂速度提升約71.20%，與分?jǐn)?shù)階粒子群結(jié)合的二維Otsu 算法相比，收斂速度提升約39.75%，說明本文算法收斂速度更快。本文算法的PSNR 值相較于兩外兩種算法提升約4.15%和1.48%，SSIM 值提升約6.7%和3.46%，說明本文算法在提升收斂速度的同時(shí)，也取得了良好的分割效果。