活用教材例題 探究題目變式

曹文科

引言

在幾何解題教學(xué)過(guò)程中，老師除了分析題目的背景、條件、結(jié)論，尋求解決題目的突破口，更要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同層面，用不同方法去解決題目，更進(jìn)一步地要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的條件跟結(jié)論進(jìn)行變式，從而達(dá)到觸類旁通，豁然開(kāi)朗的效果.本人擬以區(qū)青年教師技能比賽解題說(shuō)題環(huán)節(jié)中的一道題目為例進(jìn)行剖析，以求拋磚引玉.

一、試題再現(xiàn)與鑒賞

題目：如圖1，?ABC內(nèi)接于?O，且AB為?O的直徑，∠ACB的平分線交?O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作∠ADP=∠BCD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長(zhǎng).

本題是新人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教材第87頁(yè)例4的拓展延伸，改編于湖北省襄陽(yáng)市2013年中考數(shù)學(xué)25題，條件簡(jiǎn)明扼要，表述清楚.本題主要考查的內(nèi)容有平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、等腰直角三角形的性質(zhì)及有關(guān)計(jì)算、勾股定理、切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理及其推論、三角形相似的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的運(yùn)用等等，涉及了數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”、“建模思想”、“函數(shù)思想”，是一道難能可貴的好題.

二、解法與探究

第（1）問(wèn)比較基礎(chǔ)，考查平行線的判定.由等弧所對(duì)的圓周角相等，得∠BCD=∠BAD，又∠ADP=∠BCD，得出∠ADP=∠BAD，即可得出結(jié)論.

第（2）問(wèn)考查切線的判定.切線的判定有兩種常見(jiàn)的證明類型，“有點(diǎn)，連半徑，證垂直”、“沒(méi)點(diǎn)，作垂直，證半徑”，題目屬于前者，因此連結(jié)OD，需證OD⊥PD.即需證∠ODP=90°，因?yàn)镈P∥AB，因?yàn)橹恍枳C∠DOB=90°，由圓周角定理，即只需證∠BCD=45°.又因?yàn)镃D平分∠ACB，而∠ACB是直徑所對(duì)圓周角，即可得出結(jié)論.

第（3）問(wèn)是求線段PD的長(zhǎng)度，也是本題的精華之處.求線段長(zhǎng)度的方法很多，常用的有相似三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等，還可以結(jié)合方程思想.如何在平時(shí)的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法去解決題目是我們老師必須為之思考跟探究的問(wèn)題.現(xiàn)在筆者總結(jié)了幾種常見(jiàn)的解法：

視角1：利用相似三角形“子母型”結(jié)構(gòu)

解法一：首先利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后由等腰直角三角形求出AD、BD、CE，再利用勾股定理得出DE的長(zhǎng)，并得出CD的長(zhǎng);接著根據(jù)弦切角定理，可得∠ADP=∠PCD，而∠DPA=∠CPD，從而得出△ADP∽△PCD，再利用方程思想建立相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的等量關(guān)系求出PD的長(zhǎng).求解過(guò)程省略.

視角2：利用內(nèi)接四邊形ADBC的外角等于內(nèi)對(duì)角尋找相似

解法二：由解法一的解題過(guò)程中我們可以發(fā)現(xiàn)△CBD三條邊長(zhǎng)度都已知，而根據(jù)內(nèi)接四邊形ADBC的外角等于內(nèi)對(duì)角，不難得出∠PAD=∠CBD，而∠ADP=∠BCD，因此也可以得出△CBD∽△DAP，從而利用比例直接得出PD的長(zhǎng).求解過(guò)程省略.

視角3：利用等角的銳角三角函數(shù)值相等來(lái)求解

解法三：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD于點(diǎn)M，可證四邊形AMDO為正方形，且邊長(zhǎng)為5，所以PD=PM+MD=PM+5，也就是說(shuō)只要求出PM即可求出PD.由DP∥AB可得∠P=∠BAC，所以PM= 從而可以得出PD的長(zhǎng).求解過(guò)程省略.

視角4：利用等面積法求解

解法四：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥PD于點(diǎn)N，且交AB于點(diǎn)F，交AB于F，首先利用Rt?ABC等面積法，可得CF=4.8，從而得到CN=9.8，然后利用

得到 ，把CN、AM、CD、AE的值代入即可以得出PD的長(zhǎng).求解過(guò)程省略.

三、題目變式與拓展

視角1：構(gòu)造“一線三垂直” 求線段的數(shù)量關(guān)系

變式一：在原題的基礎(chǔ)上加上“過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，求證：EF+AE=BF（或DE=BF）.變式如下：

如圖5，?ABC內(nèi)接于?O，且AB為?O的直徑，∠ACB的平分線交?O于點(diǎn)D， 過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作∠ADP=∠BCD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F.

（1）求證： EF+AE=BF;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長(zhǎng).

視角2：改變特殊角∠ACB的度數(shù)，其它條件不變

變式二：把“AB為⊙O的直徑”改成“∠ACB=60°”.變式如下：

如圖6，△ABC內(nèi)接于?O，∠ACB=60°，∠ACB的平分線交?O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作∠ADP=∠BCD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6， BC=8，求線段PD的長(zhǎng).

變式三：把“AB為⊙O的直徑”改成“∠ACB=120°”.變式如下：

如圖7，△ABC內(nèi)接于?O，∠ACB=120°，∠ACB的平分線交?O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作∠ADP=∠BCD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）若AC=6，BC=8，求線段PD的長(zhǎng).

視角3：考查“旋轉(zhuǎn)”

變式四：在原題的基礎(chǔ)上，第（3）問(wèn)不給出線段的具體長(zhǎng)度，探索線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.變式如下：

如圖8，?ABC內(nèi)接于?O，且AB為?O的直徑，∠ACB的平分線交?O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D在AD左側(cè)作∠ADP=∠BCD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E.

（1）求證：DP//AB;

（2）求證：PD是?O的切線;

（3）探索線段AC、BC、CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（思路：可以把△ADC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖所示，可以得到 ，即 .）

四、回顧與思考

本文通過(guò)一個(gè)典型例題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主研究、探索，剖開(kāi)題目的表面認(rèn)識(shí)到題目的本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生一題多解、一題多變，加深學(xué)生對(duì)基本概念、定理的理解和掌握，開(kāi)拓學(xué)生的解題思路，打破思維定勢(shì)，提升學(xué)生分析的能力，讓學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)能從多角度、多層次出發(fā)，深刻理解和領(lǐng)悟所學(xué)內(nèi)容，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這比讓學(xué)生沉溺于題海之中要有意義得多.正所謂：一題多解展精彩，一題多變拓思維！