統(tǒng)計(jì)、概率中開放性問題分類例說

周曉娜

解決統(tǒng)計(jì)、概率中開放性問題的要點(diǎn)，主要有下面兩點(diǎn)：

1.用數(shù)據(jù)說話，要有相應(yīng)的數(shù)據(jù)支撐，在陳述數(shù)據(jù)時(shí)，要計(jì)算事件發(fā)生的概率或者計(jì)算樣本均值等數(shù)據(jù)，不能只說結(jié)論;

2.表達(dá)要到位，陳述理由不要偏離主旨，要正確看待小概率事件發(fā)生的情況，最好不要從抽樣數(shù)據(jù)太少、實(shí)驗(yàn)次數(shù)太少等非要點(diǎn)出發(fā)解題。

一、根據(jù)期望與方差解決問題

例1 （2021年江蘇高三模擬卷）某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售價(jià)6元。如果當(dāng)天賣不完，剩下的奶茶只能倒掉。奶茶店記錄了60天這款新品奶茶的日需求量，整理得表1。

以60天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。

（1）從這60天中任取2天，求這2天的日需求量至少有一天為35杯的概率。

（2）①若奶茶店一天準(zhǔn)備了35杯這款新品奶茶，用ξ表示當(dāng)天銷售這款新品奶茶的利潤（單位：元），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;

②假設(shè)奶茶店每天準(zhǔn)備的這款新品奶茶倍數(shù)都是5的倍數(shù)，有顧客建議店主每天準(zhǔn)備40杯這款新品奶茶，你認(rèn)為店主應(yīng)該接受這個(gè)建議嗎，請說明理由。

分析：（1）利用對立事件概率及古典概型進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果。

點(diǎn)評：本題的核心是利用利潤的計(jì)算方式將題目已知的奶茶日需求量轉(zhuǎn)化為奶茶店的利潤，同時(shí)利用古典概型的計(jì)算方式求出相應(yīng)利潤的概率，進(jìn)而可計(jì)算出利潤的數(shù)學(xué)期望。

二、根據(jù)概率解決問題

例2 （2021年福建龍巖市高三三模）甲、乙兩人進(jìn)行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負(fù)。已知本次比賽的主辦方提供8 000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止;②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金。已知每場比賽甲贏的概率為p （0

（1）設(shè)每場比賽甲贏的概率為1/2，若比賽進(jìn)行了5場，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得獎(jiǎng)金的分布列。

（2）現(xiàn)規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0. 05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生。若本次比賽p≥4/5，且在已進(jìn)行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請判斷比賽繼續(xù)進(jìn)行乙是否有贏得全部獎(jiǎng)金的可能，并說明理由。

分析：（1）由甲、乙輸贏情況確定得獎(jiǎng)金的情況，然后計(jì)算概率得分布列;

（2）比賽繼續(xù)進(jìn)行Y場乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一場必然乙嬴，分類求得Y=3或Y=4的概率，得出乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，可得結(jié)論。

解：（1）因?yàn)檫M(jìn)行了5場比賽，所以甲、乙之間的輸贏情況有以下四種情況：甲贏4場，乙贏1場;甲贏3場，乙贏2場;甲贏2場，乙贏3場;甲贏1場，乙贏4場。

5場比賽不同的輸贏情況有C4+C5+C2+C1 =28（種）。

①若甲贏4場，乙贏1場，甲獲得全部獎(jiǎng)金8 000元;

②若甲贏3場，乙贏2場，當(dāng)比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率為1/2十1/2×1/2=3/4，所以甲分得6 000元獎(jiǎng)金;

③若甲贏2場，乙贏3場，當(dāng)比賽繼續(xù)下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率為1/2×1/2=1/4，所以甲分得2 000元獎(jiǎng)金：

事件“乙贏得全部獎(jiǎng)金”是小概率事件，所以認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙不可能贏得全部獎(jiǎng)金。

三、根據(jù)樣本估計(jì)解決問題

例3 （2020年新課標(biāo)Ⅱ卷理數(shù)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加。為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由。

（3）由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣。

先將植物覆蓋面積按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡單隨機(jī)抽樣法抽取樣本即可。

點(diǎn)評：本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題。