情境交融的概率統(tǒng)計問題

劉裕輝

這幾年新冠肺炎疫情的暴發(fā)讓人們猝不及防，但強(qiáng)大的中國人民有效地遏制了病毒的蔓延。數(shù)學(xué)源于生活，針對防疫、抗疫的數(shù)學(xué)試題，讓人眼前一亮。下面從幾個方面探討與疫情情境交融的概率統(tǒng)計問題。

一、考查抽樣方法

例1 2020年一場突如其來的新冠肺炎疫情讓全世界生靈涂炭、經(jīng)濟(jì)停頓，應(yīng)對新冠肺炎的有效辦法之一就是接種疫苗。目前常見的國產(chǎn)疫苗有3種，生產(chǎn)廠家分別是國藥集團(tuán)武漢生物研究所（國藥武漢）、國藥集團(tuán)北京生物研究所（國藥北京）、科興控股生物技術(shù)有限公司（科興生物），某地分別從這三家廠家采購了30 000支、20 000支、50 000支疫苗用于接種，每人要接種兩支，且需接種同一廠家生產(chǎn)的疫苗。所有疫苗都接種完后，某同學(xué)為調(diào)查疫苗接種的效果采用分層抽樣的方法從所有已接種人員中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，若已知他調(diào)查的人員中，接種科興生物疫苗的人數(shù)比接種國藥北京疫苗的人數(shù)多150，那么他所抽取的樣本容量是（ ）。

A.250

B.500

C.750

D.1 000

解析：由題意可知，總體中有100 000個個體，設(shè)他所抽取的樣本容量為n。

某地分別從這三家廠家采購了30 000支、20 000支、50 000支疫苗用于接種，接種科興生物疫苗的人數(shù)比接種國藥北京疫苗的 人數(shù)多150，故50000/100000 n一20000/100000=150，解得n = 500。

故選B。

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)閱讀能力是各種數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)和前提，其直接影響到同學(xué)們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中問題解決能力的形成和提高。

練習(xí)1：某小區(qū)共有住戶2 000人，其中老年人600人，中年人1 000人，其余為青少年人群，為了調(diào)查該小區(qū)的新冠疫苗接種情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為400的樣本，則樣本中中年人的人數(shù)為一。

解析：現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為400的樣本，則樣本中中年人的人數(shù)為400×1000/2000=200。

二、考查統(tǒng)計圖與樣本特征數(shù)

例2 2021年7月28日揚(yáng)州發(fā)生了新冠疫情，圖1記錄的是7月28日到8月23日揚(yáng)州每日新增病例數(shù)，從圖表中我們能得到的正確信息是（ ）。

A.從7月28日到8月23日揚(yáng)州每日新增病例數(shù)最少0人，最多58人

B.從7月28日到8月23日揚(yáng)州每日新增病例數(shù)多于41人的有3天

C.從7月28日到8月5日每日新增病例數(shù)逐日遞增

D.從8月7日到8月12日每日新增病例數(shù)先逐日遞增后逐日遞減

解析：對于A，從7月28日到8月23日揚(yáng)州每日新增病例數(shù)，8月22日和8月23日最少為0人，8月5日最多為58人，故選項(xiàng)A正確;

對于B，從7月28日到8月23日揚(yáng)州每日新增病例數(shù)多于41人的有4天，它們是8月5日，8月6日，8月9日，8月10日，故選項(xiàng)B錯誤;

對于C，從7月28日到8月5日每日新增病例數(shù)不是逐日遞增，而是先增后減再增，故選項(xiàng)C錯誤;

對于D，從8月7日到8月12日每日新增病例數(shù)先遞增后遞減，故選項(xiàng)D正確。

故選AD。

點(diǎn)評：本題考查了折線圖的應(yīng)用，讀懂統(tǒng)計圖并能從統(tǒng)計圖得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵。

例3 2020年12月31日，國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制發(fā)布，國藥集團(tuán)中國生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監(jiān)局批準(zhǔn)符合條件上市，其保護(hù)效力達(dá)到世界衛(wèi)生組織及藥監(jiān)局相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，現(xiàn)已對18至59歲的人提供。根據(jù)某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖2），估計該地接種年齡的中位數(shù)為（ ）。

A.40

B.39

C.38

D.37

解析：年齡位于[18，24）的頻率為0. 013×6=0. 078，年齡位于[24，30）的頻率為0. 023×6=0.138，年齡位于[30，36）的頻率為0. 034×6=0. 204，年齡位于[36，42）的頻率為0. 040×6=0. 240。

因?yàn)?. 078+0. 138+0. 204—0.420<0.5，且0. 078+0.138+0.204+0.240 -0. 66>0.5，所以中位數(shù)位于[36，42）。

設(shè)中位數(shù)為z，則0. 078+0.138+0. 204+（x -36）×0.04=0.5，解得x=38，故選C。

點(diǎn)評：問題情境是通過文字與符號的形式考查同學(xué)們“以生考熟”的轉(zhuǎn)化能力。

練習(xí)2：我國疫情基本得到控制，海外確診病例卻持續(xù)暴增，防疫物資供不應(yīng)求。某醫(yī)療器械廠開足馬力，日夜生產(chǎn)防疫所需物品。質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了50個零件進(jìn)行測量，根據(jù)所測量的零件質(zhì)量（單位：g），得到頻率分布直方圖（圖3）。

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這50個零件質(zhì)量的中位數(shù)（結(jié)果精確到0. 01）。

（2）若從這50個零件中質(zhì)量位于[70.5，72.5）之外的零件中隨機(jī)抽取2個，求這2個零件中恰好有1個的質(zhì)量在[72.5，73]內(nèi)的概率。

（3）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知這批零件有10 000個，某采購商提出兩種收購方案：

A.所有零件均以0.5元/g收購;

B.質(zhì)量位于[71.0，72）的零件以40元/個收購，其他零件以30元/個收購。

請你通過計算為該廠選擇收益最好的方案。

解析：（1）零件質(zhì)量位于[70.0，71.0）的頻率為（0. 08+0. 20）×0.5=0. 14。

零件質(zhì)量位于[70.0，71.5）的頻率為（0. 08+0. 20+0. 76）×0.5=0. 52。

因?yàn)?. 14<0. 5<0. 52，所以這50個零件質(zhì)量的中位數(shù)位于區(qū)間[71.O，71.5），設(shè)為x。

則0. 14+（z- 71）×0.76一0.5，解得x≈71. 47。

故這50個零件質(zhì)量的中位數(shù)為71. 47。

（2）質(zhì)量位于[70.O，70.5）的零件個數(shù)為50×0. 08×0.5=2。

質(zhì)量位于[72.5，73. 0]的零件個數(shù)為50×0. 12×0.5=3。

故這2個零件中恰好有1個的質(zhì)量在

3[72. 5，73]內(nèi)的概率為。

（3）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：

（0. 08×70. 25+0.20×70. 75+0. 76×71. 25+0.68×71. 75+0.16×72. 25+0. 12×72. 75）×0.5=71. 5。

方案A：收益為10 000×71.5×0.5—357 500（元）;

質(zhì)量位于[71.O，72）的零件個數(shù)為lO ooo×（0. 76+0. 68）×0.5=7 200。

質(zhì)量位于[71.O，72）之外的零件個數(shù)為10 000-7 200-2 800。

方案B：收益為7 200×40+2 800×30=372 000（元）。

因357 500<372 000，故該廠選擇方案B。

三、考查概率的計算

例4按照四川省疫情防控的統(tǒng)一安排部署，國慶后繼續(xù)對某區(qū)12周歲及以上人群全面開展免費(fèi)新冠疫苗接種工作。該區(qū)設(shè)置有A，B，C三個接種點(diǎn)位，每個市民需間隔28天后完成兩針的疫苗接種，每一針都可以隨機(jī)選擇去任何一個點(diǎn)位接種，則該區(qū)有接種意愿的某人，在同一接種點(diǎn)位完成兩針疫苗接種的概率是（ ）。

點(diǎn)評：本題以防疫中的疫苗接種為背景設(shè)置概率題，將“用頻率估計概率”的思想方法滲透其中，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。

練習(xí)3：接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法。我國自2021年1月9日起實(shí)施全民免費(fèi)接種新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新型冠狀病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種。若甲、乙、丙、丁4人去接種新冠疫苗，則恰有2人接種同一種疫苗的概率為（ ）。

A.4/9 B.9/16 c.2/3 D.8/9

解析：截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗供接種者選擇，每位接種者任選其中一種。

甲、乙、丙、丁4人去接種新冠疫苗，基本事件總數(shù)n=34=81。

恰有2人接種同一種疫苗包含的基本事件個數(shù)m =C4C1A2 =36。

則恰有2人接種同一種疫苗的概率P=m/n=4/9，選A。

四、考查統(tǒng)計案例

例5 （2021年湖南師大附中高三月考）新型冠狀病毒主要在人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上。該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，潛伏期是指病原體侵人人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間。潛伏期越長，感染到他人的可能性越高。現(xiàn)對400個病例的潛伏期（單位：天）進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2，方差為2. 252。如果認(rèn)為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，就得到下面的列聯(lián)表（表1）。

（1）是否有95%的把握認(rèn)為“長潛伏期”與年齡有關(guān)？

（2）假設(shè)潛伏期X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s-。

①現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性;

②以題目中的樣本頻率估計概率，設(shè)1 000個病例中恰有k（k∈N*）個屬于“長潛伏期”的概率是P（k），當(dāng)k為何值時，P（k）取得最大值？

點(diǎn)評：本題合理選用生活中的背景材料設(shè)置概率題，讓同學(xué)們?nèi)菀捉邮?，并快速進(jìn)入答題狀態(tài)。

練習(xí)4：（2021年山東高三月考）2021年受疫情影響，國家鼓勵員工在工作地過年。某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了某市5個地區(qū)的外來務(wù)工人員數(shù)與他們選擇留在當(dāng)?shù)剡^年的人數(shù)占比，得到如下的表格（表3）。

五、考查分布列與期望

例6接種新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率。某地區(qū)有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種。假設(shè)在某個時間段該地區(qū)集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應(yīng)都很充足。為了節(jié)省時間和維持良好的接種秩序，接種點(diǎn)設(shè)置了號碼機(jī)，號碼機(jī)可以隨機(jī)地產(chǎn)生A，B，C三種號碼（產(chǎn)生每個號碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機(jī)上取一張?zhí)柎a，然后去接種與號碼相對應(yīng)的疫苗（例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推）。若甲、乙、丙、丁4個人各自獨(dú)立地去接種第一針新冠疫苗。

（1）求這4個人中恰有1個人接種A種疫苗的概率;

（2）記甲、乙、丙、丁4個人中接種A種疫苗的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解析：（1）記4個人中恰有1個人接種A疫苗的事件為M。

點(diǎn)評：本題背景設(shè)置為接種新冠疫苗，是防疫工作的需要。教育部相關(guān)部門對高考命題提出了不少具體要求，其中強(qiáng)調(diào)要“加強(qiáng)情境創(chuàng)設(shè)”，并認(rèn)為“情境是高考評價體系的載體”，情境題能更好地考查同學(xué)們的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力及同學(xué)們的核心素養(yǎng)，可見情境問題在高考中的重要地位。

練習(xí)5：在中國共產(chǎn)黨的堅強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)及全國人民的共同努力下，抗擊新冠肺炎疫情工作取得了全面勝利，但隨著復(fù)工復(fù)產(chǎn)的推進(jìn)，某地的疫情出現(xiàn)了反彈，為了防止疫情蔓延，該地立即開展核酸檢測工作。為了提高檢測效率及降低醫(yī)耗成本，采用如下方式進(jìn)行核酸檢測：采集5個人的咽拭子共同組成一個標(biāo)本，對該標(biāo)本進(jìn)行檢測，若結(jié)果呈陽性，說明5個人中有疑似新冠肺炎感染者，則需要進(jìn)行第二階段的檢測，到確定出疑似新冠肺炎感染者為止;若結(jié)果呈陰性，則無需再進(jìn)行檢測。已知某個標(biāo)本的檢測結(jié)果呈陽性且只有1人是疑似新冠肺炎感染者，現(xiàn)提供第二階段的兩種檢測方案。

方案甲：逐個檢測，到能確定出疑似新冠肺炎感染者為止。

方案乙：先任取3人的咽拭子共同組成一個標(biāo)本進(jìn)行檢測，若結(jié)果呈陽性則表明這3人中有1人是疑似新冠肺炎感染者，然后再逐個檢測，到能確定出疑似感染者為止;若結(jié)果呈陰性，則在另外2人中任取1人檢測，即可確定出疑似感染者。

（l）若ξ表示方案甲所需檢測的次數(shù)，求ξ的期望;

（2）以所需檢測次數(shù)作為決策依據(jù)，采用哪個方案效率更高？

解析：（1）方案甲化驗(yàn)次數(shù)ξ的可能取值為1，2，3，4。