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    廣義Vakhnenko方程新的周期孤立波解

    2022-07-08 01:01:03楊川李棟龍周虹
    廣西科技大學(xué)學(xué)報 2022年3期
    關(guān)鍵詞:波解測試法孤子

    楊川 李棟龍 周虹

    摘? 要:應(yīng)用Hirota方法及擴展的同宿測試法對廣義的Vakhnenko方程進行研究,獲得了該方程周期孤立波解。

    關(guān)鍵詞:Hirota方法;擴展的同宿測試法;廣義Vakhnenko方程;周期孤立波解

    中圖分類號:O175.2? ? ? ? ? DOI:10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.018

    0? ?引言

    隨著當(dāng)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展,非線性科學(xué)日顯重要,其中非線性偏微分方程是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一,故尋找非線性偏微分方程的精確解是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重要研究課題。至今,人們創(chuàng)造并發(fā)展了很多求非線性方程精確解的方法,如逆散射法[1]、B?cklund變換法[2]、齊次平衡法[3]、雙曲函數(shù)展開法[4]、擴展的雙曲函數(shù)展開法[5]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[6]和Hirota變換法[7]等。近年來,許多學(xué)者致力于Hirota變換法的各種推廣和應(yīng)用[8-11],使得Hirota變換法有了進一步的發(fā)展和拓展。這些求解非線性方程精確解的方法有力地推動了非線性科學(xué)的發(fā)展。

    Vakhnenko方程(Vakhnenko equation,VE)是研究某種處于松弛介質(zhì)中的高頻波的數(shù)學(xué)模型[12],公式如式(1)所示:

    [??xAu+u=0 ].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)

    其中:[A=??t+u??x] ,[u]表示無維壓力變量,[x]和[t]分別表示空間和時間變量。對于邊界條件,即當(dāng)[|x|→∞]時,[u→0],具有多回形孤子解[13]。

    廣義的Vakhnenko方程(generalised Vakhnenko equation,GVE)[14],即:

    [??x(A2u+qu2+βu)+qAu=0] .? ? ? ? ?(2)

    其中:[β]、[q]是任意的非零常數(shù),其具有回形孤子解、駝峰型和尖型孤子解。Vakhnenko等[15]用B?cklund轉(zhuǎn)換法和逆散射法對方程在[q=1]時進行了求解,分別得到了方程具有一個無限序列守恒定律的結(jié)論和N-孤子解。El-Nahhas[16]用同倫分析法對Vakhnenko方程求解并得到了單回形孤子解。Hirota等[17]用因變量轉(zhuǎn)換法(dependent variables transition,DVT)求出多孤子解。Li[18]通過研究描述電磁物理學(xué)中高頻波(high frequency wave,HFW)傳播的Vakhnenko方程來描述一種新型的呼吸器。通過在Hirota雙線性法中將雙線性函數(shù)擴展為混合指數(shù)函數(shù)和三角余弦函數(shù),構(gòu)建了一個解析多值函數(shù)解,這是一個經(jīng)過驗證的環(huán)狀扭結(jié)呼吸器。Abdou等[19]基于三波法得到Vakhnenko方程單一的周期孤立波解。Li等[20]基于擴展的同宿測試法獲得Vakhnenko方程的N-loop解。本文主要應(yīng)用Hirota方法及擴展的同宿測試法在文獻[14]基礎(chǔ)上對廣義的Vakhnenko方程(GVE) 求解其周期孤立波解并對解進行討論。

    1? ? 精確解及解的分析

    式(2)([q=1])對應(yīng)的雙線性形式[14]為:

    [(βDXDT+D3XDT+D2X)f?f=0].? ? ? ? ? ? (3)

    其中:X、T分別表示空間和時間變量。

    Hirota雙線性算子定義為:

    [DmxDkt(a?b)=(??x-??x)m(??t-]

    [??t)ka(x, t)b(x, t)|x=x, t=t]? .? ? ? ? ?(4)

    為了獲得新周期孤立波解,作如下假設(shè):

    假設(shè)1

    [f=e-Ω(X+α2T)+b1cosp(X-α1T)+b2eΩ(X+α2T)].(5)

    其中:[αj、bj、p、Ω(j=1, 2)]是實數(shù)。

    將式(5)代入式(3)化簡后得到:

    [2b1b2pΩ[(3p2-Ω2-β)α1+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3Ω2-p2+β)α2+2]sin(η)sinh(ξ)+2b1b2[p2(3Ω2-p2+β)α1+Ω2(Ω2-3p2+β)α2+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(Ω2-p2)]cos(η)cosh(ξ)+b21p2(β-4p2)α1-1]+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[4b2Ω2[(β+4Ω2)α2+1]=0.]

    其中:[η=p(X-α1T)], [ξ=Ω(X+α2T)+lnb2],令[sin(η)sinh(ξ)]、[cos(η)cosh(ξ)]的系數(shù)及常數(shù)項等于0,可求得:

    [α1=-p2+Ω2-β(p2+Ω2)2+2β(Ω2-p2)+β2, α2=-p2+Ω2+β(p2+Ω2)2+2β(Ω2-p2)+β2,b2=-14b21p2(3p2-Ω2-3β)Ω2(p2-3Ω2-3β).]? ? ? ? (6)

    并可得到周期孤立波解:

    [U=6(lnf)XX=12b1b2(Ω2-p2)cosp(X-α1T)cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1cosp(X-α1T)+2b2cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2+24b1b2pΩsinp(X-α1T)sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1cosp(X-α1T)+2b2cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2+][24b2Ω2-6b21p2{b1cosp(X-α1T)+2b2cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2].(7)

    [U]中的各常數(shù)關(guān)系由式(6)給出:

    1)若[α1α2>0],[b2>14b21],[U]中的[X]和[T]取任何值都不會使其分母為0,此時得到非奇異的周期孤立波解,見圖1。

    2)若[α1α2>0],[0<b2<14b21],此時當(dāng)[X]和[T]取某些值時,可使表達式(7)的分母為0,則這時的[U]為奇異的周期孤立波解,見圖2,奇異的部分已被截斷。

    假設(shè)2

    [f=e-Ω(X+α2T)+b1sinp(X-α1T)+b2eΩ(X+α2T)] . (8)

    將式(8)代入式(3)化簡后得到:

    [2b1b2pΩ[(3p2-Ω2-β)α1+(3Ω2-p2+β)α2+2]cos(η)sinh(ξ)+2b1b2[p2(3Ω2-p2+β)α1+Ω2(Ω2-3p2+β)α2+(Ω-p2)]sin(η)cosh(ξ)+b21p2[(β-4p2)α1-1]+4b2Ω2[(β+4Ω2)α2+1]=0.]

    其中:[η=p(X-α1T)],[ξ=Ω(X+α2T)][+lnb2],令[cos(η)sinh(ξ)]、[sin(η)cosh(ξ)]的系數(shù)及常數(shù)項等于0,得到的系數(shù)關(guān)系同假設(shè)1的式(6),此時可得到周期孤立波解為:

    [U=12b1b2(Ω2-p2)sinp(X-α1T)cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1sinp(X-α1T)+2b2cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2+? ? ? ? 24b1b2pΩcosp(X-α1T)sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1sinp(X-α1T)+2b2cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2+][? ? ? 24b2Ω2-6b21p2{b1sinp(X-α1T)+2b2cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2] . (9)

    [U]中的各常數(shù)關(guān)系由式(6)決定:

    1)若[α1α2>0,],[b2>14b21],得到非奇異的周期孤立波解,見圖1。

    2)若[α1α2>0],[0<b2<14b21],此時當(dāng)[X]和[T]取某些值時,使表達式(9)的分母為0,則這個時候的[U]為奇異的周期孤立波解,見圖2,奇異的部分已被截斷。

    假設(shè)3

    [f=b1cosp(X-α1T)+b2eΩ(X+α2T)-e-Ω(X+α2T)]. (10)

    將式(10)代入式(3)得到的系數(shù)關(guān)系同式(6),此時的周期孤立波解為:

    [U=12b1b2(Ω2-p2)cosp(X-α1T)sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1cosp(X-α1T)+2b2sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2+? ? ? 24b1b2pΩsinp(X-α1T)cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1cosp(X-α1T)+2b2sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2-][? ? ? 24b2Ω2+6b21p2{b1cosp(X-α1T)+2b2sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2.](11)

    這完全是一個奇異的周期孤立波解,見圖3和圖4。

    假設(shè)4

    [f=b1sinp(X-α1T)+b2eΩ(X+α2T)-e-Ω(X+α2T)]. (12)

    將式(11)代入式(3)運算化簡得到的系數(shù)關(guān)系同式(6),此時的周期孤立波解為:

    [U= 12b1b2(Ω2-p2)sin[p(X-α1T)]sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1sin[p(X-α1T)]+2b2sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2 -? ? ?24b1b2pΩcos[p(X-α1T)]cosh[Ω(X+α2T)+lnb2]{b1sin[p(X-α1T)]+2b2sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2-][? ? ?24b2Ω2+6b21p2{b1sin[p(X-α1T)]+2b2sinh[Ω(X+α2T)+lnb2]}2 .](13)

    這也完全是一個奇異的周期孤立波解,見圖3和圖4。

    2? ? 結(jié)論

    本文主要應(yīng)用Hirota方法及擴展的同宿測試法獲得了廣義的Vakhnenko方程的周期孤立波解。這些解是包含一個周期解和一個孤立波的雙波,它反映了周期解和孤立波的彈性碰撞,這是一個有趣的物理現(xiàn)象,證明了廣義的Vakhnenko方程解的復(fù)雜性以及各種動力學(xué)行為。

    參考文獻

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    New periodic solitary wave solutions for generalized Vakhnenko

    equation

    YANG Chuan1, LI Donglong2, ZHOU Hong1

    (1. School of Electronic Information Engineering, Liuzhou Vocational and Technical College, Liuzhou 545006, China; 2.College of Science, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

    Abstract: Periodic solitary wave solutions of the generalized Vakhnenko equation are obtained by? ? ? Hirota method and the extended homoclinic test method.

    Key words: Hirota method; extended homoclinic test method; generalized Vakhnenko equation;? ? ? ? ?periodic solitary wave solution

    (責(zé)任編輯:于艷霞)

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