球形貯箱內(nèi)液體橫向晃動(dòng)問題的系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)化等效建模

王佐 吳文軍 姜丙超 高超南

摘? 要：為解決傳統(tǒng)等效力學(xué)模型描述貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)特性時(shí)在準(zhǔn)確性和完整性等方面存在不足的問題，首先，運(yùn)用勢(shì)流理論推導(dǎo)出部分充液圓柱貯箱的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程，依據(jù)方程中液體晃動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)與晃動(dòng)波高函數(shù)中傅里葉-貝塞爾級(jí)數(shù)展開系數(shù)的正交性條件，將球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)的求解區(qū)域向與之外切的圓柱貯箱求解區(qū)域內(nèi)進(jìn)行擴(kuò)展，建立用于描述球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)問題的參數(shù)化模型;然后，通過CFD數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)得到球形貯箱受橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)小幅晃動(dòng)情況下的液體晃動(dòng)力和力矩;最后，利用Matlab灰箱辨識(shí)函數(shù)對(duì)所建立的參數(shù)化模型中的待定系數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確辨識(shí)，實(shí)現(xiàn)了球形貯箱內(nèi)液體橫向晃動(dòng)問題的高精度等效建模。結(jié)果表明：所建立的參數(shù)化等效力學(xué)模型能較準(zhǔn)確和完整地描述球形貯箱內(nèi)的液體晃動(dòng)固有頻率、晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩等動(dòng)力學(xué)特性，辨識(shí)精度均能達(dá)到92%以上，為進(jìn)一步在線實(shí)時(shí)辨識(shí)與實(shí)際工程應(yīng)用提供參考。

關(guān)鍵詞：球形貯箱;液體晃動(dòng);參數(shù)化模型;CFD數(shù)值模擬;灰箱辨識(shí);系統(tǒng)辨識(shí)

中圖分類號(hào)：O353.1? ? ? ? ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.001

0? ? 引言

液體晃動(dòng)現(xiàn)象普遍存在于人們的生活與生產(chǎn)中，液體晃動(dòng)導(dǎo)致的安全和穩(wěn)定性問題長期影響著各充液系統(tǒng)應(yīng)用行業(yè)技術(shù)的發(fā)展。對(duì)于受外部干擾作用的貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)非平衡晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩的研究，在交通運(yùn)輸[1-4]、液體能源儲(chǔ)存[5-6]和航空航天[7-13]等工程領(lǐng)域受到學(xué)者們的普遍關(guān)注。

建立液體晃動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型是研究液體晃動(dòng)特性的重要手段。傳統(tǒng)單擺模型研究中，包光偉[14]針對(duì)平放式貯箱內(nèi)的液體晃動(dòng)特性建立單擺模型來對(duì)其進(jìn)行描述;苗楠等[15]對(duì)單擺模型各個(gè)參數(shù)插值建立航天液體燃料晃動(dòng)模型，并進(jìn)行了變充液比工況下的輸出響應(yīng)仿真驗(yàn)證。質(zhì)量-彈簧模型研究中，劉嘉一等[16]利用建立的三維質(zhì)量-彈簧模型計(jì)算了水平載荷時(shí)的液體作用力;岳寶增等[17]在解析帶柔性附件充液航天器耦合特性時(shí)將液體晃動(dòng)等效為球擺模型。此類傳統(tǒng)等效力學(xué)模型具有計(jì)算量小和效率高的優(yōu)點(diǎn)，但是簡(jiǎn)化假設(shè)較多，制約了傳統(tǒng)力學(xué)模型描述液體高階晃動(dòng)模態(tài)時(shí)的完整性，且可控、可調(diào)參數(shù)的數(shù)目較少，使其準(zhǔn)確性也受到了限制。近年來涌現(xiàn)出的各類新型模型有復(fù)合模型[18]、運(yùn)動(dòng)脈動(dòng)球模型（moving pulsating ball model，MPBM）[19]、深度學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型[20]、幅度組合模型[21]和參數(shù)化模型[22-23]，以上模型對(duì)液體晃動(dòng)系統(tǒng)的特性表達(dá)精度較傳統(tǒng)等效力學(xué)模型有了較大提高，其中參數(shù)化模型不僅可控、可變參數(shù)多，而且描述高階晃動(dòng)模態(tài)時(shí)精準(zhǔn)度高。文獻(xiàn)[22-23]中的參數(shù)化模型均是在傳統(tǒng)等效單擺模型的基礎(chǔ)上對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)確定方法的優(yōu)化，盡管比傳統(tǒng)等效模型有所提升，但受限于傳統(tǒng)力學(xué)模型框架結(jié)構(gòu)單一的特點(diǎn)而無法對(duì)液體復(fù)雜工況下的晃動(dòng)行為進(jìn)行描述。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模需對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)和參數(shù)估計(jì)，測(cè)量實(shí)驗(yàn)和CFD模擬實(shí)驗(yàn)均可獲得系統(tǒng)的輸入、輸出響應(yīng)，但實(shí)驗(yàn)測(cè)量法[24-26]往往存在實(shí)驗(yàn)誤差，且相似比選取不恰當(dāng)時(shí)模擬實(shí)際工況程度較低或成本高，而CFD數(shù)值模擬方法[27-30]成本低、適用性強(qiáng)和準(zhǔn)確性高，且對(duì)液體晃動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行激勵(lì)輸入時(shí)準(zhǔn)確無延遲。

結(jié)合以上研究現(xiàn)狀，本研究擬通過勢(shì)流理論推導(dǎo)出部分充液圓柱貯箱液體晃動(dòng)的線性化狀態(tài)空間表達(dá)式，將其擴(kuò)展應(yīng)用到充液球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，利用CFD數(shù)值模擬對(duì)充液球形貯箱進(jìn)行自振特性和不同頻率下的同系統(tǒng)晃動(dòng)模擬仿真實(shí)驗(yàn)，并在Matlab中利用線性灰度模型（linear grey-box models）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，以期建立高精準(zhǔn)度的充液球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)的參數(shù)化模型。

1? ? 液體晃動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)圓柱貯箱內(nèi)的液體為理想流體，貯箱壁面為剛體，模態(tài)坐標(biāo)如圖1所示。

圖1中全局坐標(biāo)為直角坐標(biāo)系[o-xyz]，局部柱坐標(biāo)[o-rθz]，以貯箱底部圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，隨貯箱的移動(dòng)而移動(dòng)，[h0]為初始液面與貯箱底部的高度差，[η（r， θ， t）]為液面波高函數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[31]中的勢(shì)流理論，且不考慮環(huán)向晃動(dòng)模態(tài)，當(dāng)貯箱重力加速度受到[xt]的橫向水平激勵(lì)作用時(shí)，液體相對(duì)壁面的速度勢(shì)函數(shù)和貯箱對(duì)液體的牽連速度勢(shì)函數(shù)簡(jiǎn)化為：

[?rr， θ， z， t=n=1∞ant（cosθ）J1λnrR0coshλnzcoshλnh0]，? （1）[?e=v（t）rcosθ]. （2）

式中：[?]為液體晃動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)，分為2個(gè)部分，相對(duì)速度勢(shì)函數(shù)[?r]和牽連速度勢(shì)函數(shù)[?e];[r]為徑向坐標(biāo)，取值范圍是[0<r<R0];[J1]為一階Bessel函數(shù);[λn]為方程[J1′（λn）=0]的正根;[ant]是關(guān)于時(shí)間的任意函數(shù);[R0]為柱體半徑;[v（t）]是貯箱的橫向運(yùn)動(dòng)速度。

波高函數(shù)為：

[ηr， θ， t=-n=1∞bnt（cosθ）J1λnrR0]? .? （3）

式中：[bnt]是關(guān)于時(shí)間的任意函數(shù)。

將式（1）和式（3）代入如下的自由液面處動(dòng)力學(xué)等壓條件和運(yùn)動(dòng)學(xué)等速邊界條件，可得：

[???t+gηSt=0] ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

[?η?t+???zSt=0] .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

式中：[g]為垂直于理想靜止液面向下的重力加速度。為得到動(dòng)力學(xué)控制方程，利用傅里葉-貝塞爾函數(shù)展開系數(shù)的正交性，綜合考慮小幅晃動(dòng)情況下液體晃動(dòng)的一階反對(duì)稱模態(tài)占優(yōu)[32]，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算，最終可將系統(tǒng)的狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為如下一階微分狀態(tài)方程：

[ddtb1ta1（t）=01-ω2-2ωζb1（t）a1（t）+0Aax（t）].? （6）

式中：[ω]為貯箱內(nèi)液體周期晃動(dòng)的一階圓頻率，[ζ]為阻尼比，[A]為輸入矩陣系數(shù)。

系統(tǒng)輸出方程為：

[FxMy=B11B12B21B22b1（t）a1（t）+C1C2ax（t）].? ? ? （7）

式中：[Fx]為x軸方向上液體對(duì)貯箱壁面的橫向晃動(dòng)力;[My]為y軸方向上液體對(duì)貯箱整體的晃動(dòng)力矩;[B11]、[B12]、[B21]、[B22]、[C1]、[C2]均為輸出矩陣系數(shù);[ax（t）]為隨時(shí)間變化的橫向加速度激勵(lì)。液體壓強(qiáng)在貯箱內(nèi)壁面上進(jìn)行積分即可算得晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩，結(jié)合勢(shì)函數(shù)和波高函數(shù)展開系數(shù)來對(duì)狀態(tài)向量進(jìn)行唯一確定，式（6）和式（7）構(gòu)成圓柱貯箱內(nèi)液體小幅晃動(dòng)的線性參數(shù)化模型。在充液圓柱貯箱液體晃動(dòng)建模的推導(dǎo)中，液體晃動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和波高函數(shù)的傅里葉-貝塞爾級(jí)數(shù)展開系數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)完備的正交系，球形貯箱空間內(nèi)切于此正交系所在空間，如圖2所示。

當(dāng)球形貯箱內(nèi)液體小幅晃動(dòng)時(shí)，其內(nèi)部不產(chǎn)生氣泡，自由液面也不出現(xiàn)破碎的現(xiàn)象，則可假設(shè)液體晃動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)和自由液面處的波高函數(shù)均滿足連續(xù)無間斷點(diǎn)條件。利用傅里葉-貝塞爾級(jí)數(shù)展開法，可將未知的球形貯箱液體晃動(dòng)速度勢(shì)函數(shù)和波高函數(shù)在與球形貯箱外切的圓柱貯箱區(qū)域內(nèi)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，最終也可以分別建立類似于式（6）的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程和式（7）系統(tǒng)輸出方程的線性參數(shù)化模型，從而實(shí)現(xiàn)球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)問題的參數(shù)化建模。實(shí)際上，雖然傳統(tǒng)的等效單擺模型與質(zhì)量彈簧阻尼模型的最終動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程也具有和式（6）、式（7）相似的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程和系統(tǒng)輸出方程，但由于前者存在幾何物理性質(zhì)的限制，相應(yīng)的方程形式也受到約束，實(shí)際應(yīng)用中并不能實(shí)現(xiàn)液體晃動(dòng)動(dòng)態(tài)特性的完整描述。而本文提出的參數(shù)化模型卻不存在該類限制，將更具有靈活性和適應(yīng)性，可依據(jù)實(shí)際的晃動(dòng)特性進(jìn)行合理的修訂和優(yōu)化。這一點(diǎn)在有限幅非線性晃動(dòng)問題上具有明顯的優(yōu)勢(shì)，可參照非線性度相關(guān)性分析結(jié)果，對(duì)模型的輸入、輸出形式進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整后建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?/p>

2? ? 液體晃動(dòng)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)

利用CFD數(shù)值仿真軟件對(duì)部分充液球形貯箱內(nèi)液體小幅晃動(dòng)進(jìn)行模擬，設(shè)定球形貯箱的內(nèi)徑為300 mm，壁厚4 mm，罐內(nèi)壁面彈性屬性為剛體，貯箱內(nèi)液體為水且體積占球形貯箱體積的一半，重力加速度與圖1全局直角坐標(biāo)系中[z]方向相反且大小為9.8 m/s2。

2.1? ?自振特性實(shí)驗(yàn)

工程上常用瞬態(tài)激振法進(jìn)行自振特性實(shí)驗(yàn)，其原理是當(dāng)穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)受到瞬態(tài)激勵(lì)后不再繼續(xù)受到任何外力時(shí)，系統(tǒng)會(huì)以某一頻率進(jìn)行周期振動(dòng)，此頻率為系統(tǒng)的自振頻率（固有頻率）。

為后續(xù)建立液體晃動(dòng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型時(shí)對(duì)初始頻率進(jìn)行精準(zhǔn)設(shè)定，尋找系統(tǒng)一階固有頻率十分必要。本次采用瞬態(tài)激振法對(duì)充液球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行自振特性實(shí)驗(yàn)研究。在數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定外部激勵(lì)為單次短時(shí)橫向加速度激勵(lì)，加速度幅值使液體晃動(dòng)幅度在小幅晃動(dòng)范圍內(nèi);然后采集液體對(duì)貯箱壁面的晃動(dòng)力信號(hào)和液體晃動(dòng)對(duì)貯箱整體的晃動(dòng)力矩信號(hào)，并對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換?；蝿?dòng)力和晃動(dòng)力矩性質(zhì)相似，僅以晃動(dòng)力為例繪制晃動(dòng)力信號(hào)自由變減時(shí)域圖與頻域圖如圖3、圖4所示。結(jié)果表明，半充液球形貯箱內(nèi)液體小幅晃動(dòng)系統(tǒng)的一階固有頻率約為1.58 Hz，以此作為參數(shù)化等效灰度模型系統(tǒng)辨識(shí)時(shí)的初始頻率值。

2.2? ?強(qiáng)迫晃動(dòng)實(shí)驗(yàn)

將復(fù)雜工況下充液貯箱受到的振動(dòng)簡(jiǎn)化為穩(wěn)定橫向簡(jiǎn)諧振動(dòng)。為防止液體晃動(dòng)發(fā)生共振現(xiàn)象而導(dǎo)致晃動(dòng)行為超出小幅晃動(dòng)范圍，仿真實(shí)驗(yàn)中的激勵(lì)頻率范圍設(shè)置為1.43～1.52 Hz，且加速度幅值不宜過大，實(shí)現(xiàn)液體晃動(dòng)時(shí)徑向模態(tài)為一階占優(yōu)。仿真實(shí)驗(yàn)完成后導(dǎo)出液體對(duì)貯箱的晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩信號(hào)值。以1.43 Hz激勵(lì)為例將數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)域圖和頻域圖的繪制，圖5—圖7分別為加速度、晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩信號(hào)的時(shí)域圖，圖8為晃動(dòng)力信號(hào)的頻域轉(zhuǎn)換且經(jīng)過低通濾波濾除的頻域圖。

圖6—圖7中液體晃動(dòng)的拍振現(xiàn)象在仿真晃動(dòng)實(shí)驗(yàn)開始25 s左右基本消失，晃動(dòng)響應(yīng)逐漸由拍振過渡到標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)諧穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，基頻約為加速度激勵(lì)的頻率值1.43 Hz。由圖8可知，當(dāng)橫向加速度外激勵(lì)頻率為1.43 Hz時(shí)，充液貯箱液體晃動(dòng)系統(tǒng)的晃動(dòng)力輸出信號(hào)的一階固有頻率與外激勵(lì)頻率同步。

3? ? 參數(shù)估計(jì)和系統(tǒng)辨識(shí)

數(shù)值模擬仿真實(shí)驗(yàn)中的液體晃動(dòng)系統(tǒng)輸入信號(hào)和輸出信號(hào)已知，而部分系統(tǒng)參數(shù)未知，此類系統(tǒng)辨識(shí)問題屬于灰度模型參數(shù)辨識(shí)問題。

3.1? ?參數(shù)估計(jì)

依據(jù)推導(dǎo)得到的狀態(tài)空間方程式（6）和輸出方程式（7），在Matlab中建立含有未知參數(shù)的初始動(dòng)力學(xué)參數(shù)化模型，基于經(jīng)驗(yàn)設(shè)定初始化的頻率、阻尼比、輸入系數(shù)、晃動(dòng)力輸出系數(shù)、晃動(dòng)力矩輸出系數(shù)、直接輸出系數(shù)，導(dǎo)入模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后對(duì)灰度模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，系統(tǒng)辨識(shí)的流程如圖9所示。

當(dāng)貯液容器內(nèi)充液比固定時(shí)，該系統(tǒng)的特征屬性唯一確定，雖然不同激勵(lì)下的系統(tǒng)輸出響應(yīng)不同，但是輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的轉(zhuǎn)換關(guān)系必然相同，因此，進(jìn)行同一系統(tǒng)的不同頻率晃動(dòng)模擬實(shí)驗(yàn)。以1.43 Hz和1.52 Hz加速度激勵(lì)時(shí)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)與辨識(shí)所得模型的輸出響應(yīng)結(jié)果的對(duì)比為例，如圖10—圖13所示。根據(jù)2-范數(shù)計(jì)算曲線間的距離并換算辨識(shí)度后可得：激勵(lì)頻率為1.43 Hz時(shí)，參數(shù)化模型對(duì)比數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)的晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩輸出響應(yīng)的辨識(shí)度為96%以上;激勵(lì)頻率為1.52 Hz時(shí)，辨識(shí)度為92%以上。

3.2? ?系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果

在同一激勵(lì)頻率下進(jìn)行多次數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)。為了使系統(tǒng)參數(shù)盡可能接近真實(shí)值，系統(tǒng)辨識(shí)后需要對(duì)所得同類參數(shù)進(jìn)行最小二乘法的統(tǒng)計(jì)學(xué)處理，不同激勵(lì)頻率處理后的結(jié)果如表1所示。由表1可知，不同激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的一階固有頻率[（f）]辨識(shí)為1.57 Hz左右，與自振特性實(shí)驗(yàn)所得基頻接近程度達(dá)到98%以上，阻尼比[ζ=0.006～0.010]，輸入、輸出系數(shù)較為穩(wěn)定且可信度高，本參數(shù)化模型對(duì)數(shù)值模擬仿真實(shí)驗(yàn)晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩的輸出響應(yīng)的辨識(shí)度均在92%以上。

4? ? ?結(jié)論

本文擴(kuò)展充液圓柱貯箱求解區(qū)域后建立含有未知參數(shù)的充液球形貯箱晃動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)化動(dòng)力學(xué)模型，通過CFD仿真軟件對(duì)充液球形貯箱進(jìn)行自振特性實(shí)驗(yàn)和不同激勵(lì)頻率下的強(qiáng)迫晃動(dòng)實(shí)驗(yàn)，依據(jù)液體壓強(qiáng)等式和數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在Matlab中對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)向量和未知參數(shù)進(jìn)行計(jì)算和辨識(shí)，研究參數(shù)化模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果并對(duì)比分析數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)與參數(shù)化模型的輸出響應(yīng)，得出以下結(jié)論：

1）依據(jù)圓柱貯箱橫向激勵(lì)速度勢(shì)函數(shù)和波高函數(shù)中傅里葉-貝塞爾函數(shù)的正交性且圓柱空間與球形空間相切的特性，得到橫向激勵(lì)下充液球形貯箱系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式具有可行性，可將此原理類推到與圓柱貯箱相切的任意旋轉(zhuǎn)對(duì)稱貯箱。

2）自振特性實(shí)驗(yàn)頻域分析能夠精準(zhǔn)計(jì)算分析出系統(tǒng)的基頻，是確定系統(tǒng)辨識(shí)頻率初值的可靠? ? ?方法。

3）小幅簡(jiǎn)諧橫向加速度激勵(lì)下的液體受迫晃動(dòng)的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)前期液體晃動(dòng)的“拍振”現(xiàn)象較為顯著，原因在于緊靠貯箱內(nèi)壁面的液體和遠(yuǎn)離壁面的液體晃動(dòng)相位不同步;之后液體晃動(dòng)的“拍振”現(xiàn)象逐漸減小直到消失，這是由于在外部激勵(lì)的持續(xù)作用下，液體晃動(dòng)系統(tǒng)的各個(gè)子系統(tǒng)的相位均同步于外激勵(lì)相位。

4）本研究對(duì)不同頻率橫向簡(jiǎn)諧加速度頻率下的充液球形貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)后，所得的參數(shù)化模型中參數(shù)值之間略有差別，系統(tǒng)基頻的辨識(shí)極佳且晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩輸出響應(yīng)的辨識(shí)準(zhǔn)確度均在92%以上，總體實(shí)現(xiàn)了充液球形貯箱液體晃動(dòng)系統(tǒng)的高精度參數(shù)化等效建模的目標(biāo)。

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System identification and parametric equivalent modeling of liquid lateral sloshing in spherical tanks

WANG Zuo， WU Wenjun*， JIANG Bingchao， GAO Chaonan

（School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545616， China）

Abstract： The study aims at inaccuracy and incompleteness of the traditional equivalent mechanical model in describing the sloshing characteristics of the liquid in the tank. Firstly， we derive the dynamic state equation of partially liquid-filled cylindrical tank by using potential flow theory and expand the solution area of liquid sloshing in the spherical tank to the solution area of the cylindrical tank tangent to the outside based on the orthogonality condition of the Fourier-Bessel series expansion coefficient in the liquid sloshing velocity potential function and the sloshing wave height function in the equation， thus establishing a parameterized model to describe the liquid sloshing in the spherical tank. Then， we obtain the liquid sloshing force and torque of the spherical tank under lateral harmonic excitation with small sloshing through the CFD simulation experiment. Finally， we use the gray box identification function of Matlab to identify the undetermined coefficients in the established parameterized model， realizing the high-precision equivalent modeling of the liquid lateral sloshing in the spherical tank. The results show that the parameterized equivalent mechanical model can describe the natural frequency， sloshing force and torque of the liquid in the spherical tank more accurately and completely， and the identification accuracy can reach over 92%， which can give reference for the online real-time identification and practical engineering.

Key words： spherical tank; liquid sloshing; parametric modeling; CFD simulation; gray box identification; system identification

（責(zé)任編輯：羅小芬）