具有逆向邊增長(zhǎng)結(jié)構(gòu)LT碼的設(shè)計(jì)與分析

宋 鑫，程乃平，廖育榮，倪淑燕，雷拓峰

（1.航天工程大學(xué)研究生院,北京 101416；2.航天工程大學(xué)電子與光學(xué)工程系，北京 101416）

1 引言

噴泉碼［1］最初是針對(duì)二進(jìn)制刪除信道（Binary Erasure Channel，BEC）設(shè)計(jì)的，旨在為大規(guī)模數(shù)據(jù)分發(fā)和可靠廣播場(chǎng)景提出一種理想的解決方案［2］.以盧比變換（Luby Transform，LT）碼［3］為代表的噴泉碼，具有天然的信道自適應(yīng)特性，這使得它非常適合應(yīng)用于傳輸視頻、音頻的廣播場(chǎng)景［4］，協(xié)作中繼場(chǎng)景［5］，水聲通信場(chǎng)景［6］，自由空間光通信場(chǎng)景［7］等.

盡管噴泉碼最初是面向BEC 進(jìn)行設(shè)計(jì)的，但其在加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道中也具有潛在的應(yīng)用前景［8，9］.文獻(xiàn)［10］研究結(jié)果表明，LT 碼在二進(jìn)制對(duì)稱信道（Binary Symmetric Channel，BSC）和AWGN 信道中存在明顯的誤碼平臺(tái).為了改善LT碼的誤碼平臺(tái)現(xiàn)象，文獻(xiàn)［11］將LT碼與高碼率的低密度奇偶校驗(yàn)（Low Density Parity Check，LDPC）碼［12］級(jí)聯(lián)，構(gòu)成了Raptor 碼.但這也存在顯著的缺點(diǎn)：AWGN 信道中LDPC 碼和LT 碼均采用和積譯碼算法［13］，具有較高的譯碼復(fù)雜度.因此，學(xué)者們?cè)谘芯縍aptor碼的同時(shí)，也在探索設(shè)計(jì)獨(dú)立的無速率碼［14～16］以及改進(jìn)的低誤碼平臺(tái)LT碼.

作為第一種實(shí)用的無速率碼，LT 碼的優(yōu)化設(shè)計(jì)大多是針對(duì)校驗(yàn)度分布和編碼算法進(jìn)行的.文獻(xiàn)［17～20］提出了幾種設(shè)計(jì)LT 碼校驗(yàn)度分布的方法.文獻(xiàn)［17］針對(duì)二進(jìn)制輸入AWGN（Binary Input AWGN，BIAWGN）信道，設(shè)計(jì)了一種基于線型規(guī)劃模型的校驗(yàn)度分布優(yōu)化方法.文獻(xiàn)［18］針對(duì)極低信噪比條件提出了一種改進(jìn)的度分布設(shè)計(jì)方式.文獻(xiàn)［19］給出了一種適用于大范圍信噪比的度分布函數(shù)設(shè)計(jì)策略，以保持足夠高的碼率效率.文獻(xiàn)［20］針對(duì)系統(tǒng)LT 碼，引入了誤比特率（Bit Error Rate，BER）下界作為新的約束條件，實(shí)現(xiàn)了以更小的譯碼開銷進(jìn)入瀑布區(qū)的效果.但是，在BIAWGN 信道中，優(yōu)化校驗(yàn)度分布函數(shù)對(duì)降低誤碼平臺(tái)的效果有限.其原因主要在于：（1）誤碼平臺(tái)的形成與校驗(yàn)度分布不存在因果關(guān)系；（2）在利用線性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)度分布時(shí)，往往考慮的都是無限碼長(zhǎng)和甚高迭代次數(shù)時(shí)的理想狀態(tài)，因此，所設(shè)計(jì)的度分布一般只在碼長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)才能表現(xiàn)出優(yōu)良的漸進(jìn)性能，但對(duì)中短碼長(zhǎng)BER性能的改善卻十分有限.

針對(duì)上述問題，本文考慮改進(jìn)LT 碼的編碼算法以提升其BER 性能.文獻(xiàn)［21］指出誤碼平臺(tái)主要是由譯碼成功概率較低的小度數(shù)值信息節(jié)點(diǎn)造成的.為此，文獻(xiàn)［21］提出對(duì)信息節(jié)點(diǎn)按照度數(shù)值大小進(jìn)行分類，并迫使校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)優(yōu)先選取度數(shù)最小的信息節(jié)點(diǎn).文獻(xiàn)［22］則將文獻(xiàn)［21］的編碼思想應(yīng)用到了不等差錯(cuò)保護(hù)場(chǎng)景中，以略微增加譯碼開銷為代價(jià)，將重要數(shù)據(jù)（Most Important Bits，MIB）的BER平臺(tái)降低了將近3個(gè)數(shù)量級(jí).文獻(xiàn)［23］的改進(jìn)算法，是在校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)選擇每個(gè)信息節(jié)點(diǎn)時(shí)，都先從所有的信息節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選取若干個(gè)節(jié)點(diǎn)作為一組，然后再?gòu)倪@一組中選擇度數(shù)最小的信息節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接.文獻(xiàn)［24］的改進(jìn)算法引入了衡量校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度數(shù)值大小的參數(shù)d*，并根據(jù)該參數(shù)與校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度數(shù)的大小關(guān)系，判斷選取信息節(jié)點(diǎn)的方式.仿真結(jié)果顯示，這幾種改進(jìn)算法在BEC 或者AWGN 信道中都能夠顯著地降低誤碼平臺(tái).但是這幾類改進(jìn)算法也存在下述問題：（1）沒有對(duì)改進(jìn)算法的信息節(jié)點(diǎn)度分布進(jìn)行公式化表述；（2）沒有給出算法所涉及參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；（3）算法可達(dá)的最低信息節(jié)點(diǎn)度數(shù)無法預(yù)測(cè).

針對(duì)現(xiàn)有改進(jìn)算法存在的不足，本文設(shè)計(jì)了一種具有逆向邊增長(zhǎng)（Reverse Edge Growth，REG）結(jié)構(gòu)的LT碼.REG-LT 碼中具有正向、逆向選取鄰居節(jié)點(diǎn)的編碼結(jié)構(gòu)，從而可使所有信息節(jié)點(diǎn)的度數(shù)值均不小于預(yù)先設(shè)計(jì)的參數(shù)Tv.此外，還分析了Tv對(duì)收斂性的影響，給出了最優(yōu)參數(shù)的求解原則.仿真結(jié)果顯示，與傳統(tǒng)LT碼相比，本文的REG-LT 碼能夠顯著地降低誤碼平臺(tái)，且BER 性能優(yōu)于文獻(xiàn)［21，23］中的改進(jìn)算法，證明了算法的正確性.

2 REG-LT碼的編碼算法

2.1 傳統(tǒng)LT碼的編譯碼算法

對(duì)于傳統(tǒng)LT 碼，編碼器會(huì)對(duì)K個(gè)信息節(jié)點(diǎn)v1，v2，…，vK進(jìn)行不定速率編碼，生成N個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c1，c2，…，cN.LT碼的Tanner圖如圖1所示.

圖1 LT碼的Tanner圖

在圖1中，定義每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)連接的信息節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為該校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)值，每個(gè)信息節(jié)點(diǎn)連接的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為該信息節(jié)點(diǎn)的度數(shù)值.定義校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布函數(shù)為Ω(x)=其中，ωj表示度數(shù)為j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)的概率，dc表示校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)值.在編碼過程中，校驗(yàn)度分布是預(yù)先給定的，度數(shù)為j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)會(huì)從所有的信息節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選取j個(gè)相連，對(duì)這j個(gè)被選中信息節(jié)點(diǎn)進(jìn)行異或操作，就得到了當(dāng)前校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的比特值.定義信息節(jié)點(diǎn)度分布為其中，ξi表示度數(shù)為i的信息節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)的概率，dv表示信息節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)值.與校驗(yàn)度分布不同，信息節(jié)點(diǎn)的度分布由Ω(x)、K、N共同決定，只有在編碼結(jié)束后才能得到.盡管LT 碼是無速率碼，但定義其瞬時(shí)碼率值為定義校驗(yàn)度分布的平均度數(shù)為則信息節(jié)點(diǎn)的平均度數(shù)值為α=根據(jù)文獻(xiàn)［17］，信息節(jié)點(diǎn)度分布的系數(shù)ξi可近似計(jì)算為

圖1所示的Tanner圖中，在信息節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間任選一條邊，定義該條邊連接到度數(shù)為j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的概率為ρj，連接到度數(shù)為i的信息節(jié)點(diǎn)的概率為λi.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步定義校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)邊的度數(shù)分布為ρ(x)=信息節(jié)點(diǎn)邊的度數(shù)分布為λ(x)=其中，系數(shù)ρj和λi的計(jì)算方法如下［25］：

LT 碼在AWGN 信道中采用置信傳播（Belief Propagation，BP）算法進(jìn)行迭代譯碼.該算法將對(duì)數(shù)似然比（Log-Likelihood Ratio，LLR）信息在信息節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行迭代更新，使LLR 信息逐漸收斂于穩(wěn)定值并據(jù)此進(jìn)行判決.

其中，N(i)(j)表示除第j個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之外，與第i個(gè)信息節(jié)點(diǎn)相連的所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的集合.

對(duì)于信息節(jié)點(diǎn)vi，其LLR判決值為

2.2 REG-LT碼的編碼算法

為了克服傳統(tǒng)方案、文獻(xiàn)［21］中的等度數(shù)（Equal Degree，ED）編碼方案和文獻(xiàn)［23］中的選擇連接（Connection Choice，CC）編碼方案的不足，需要設(shè)計(jì)滿足以下條件的改進(jìn)方案：（1）通過優(yōu)化編碼結(jié)果以降低誤碼平臺(tái).這樣可以更準(zhǔn)確地為低度數(shù)值信息節(jié)點(diǎn)連接最佳數(shù)量的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)；（2）改進(jìn)方案的信息度分布和校驗(yàn)度分布能夠公式化表達(dá).這是因?yàn)?，只有?zhǔn)確的度分布才可以用來估計(jì)LT 碼的誤比特率下界以及預(yù)測(cè)LT 碼是否能夠收斂；（3）編碼結(jié)果能夠匹配任意信道參數(shù).

綜上分析，本文設(shè)計(jì)了一種具有逆向邊增長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的LT碼，其編碼過程如算法1所示.

從算法1 可以看出，REG-LT 碼與傳統(tǒng)LT 碼的最大區(qū)別在于兩點(diǎn)：（1）信息節(jié)點(diǎn)可逆向精準(zhǔn)隨機(jī)選取校驗(yàn)節(jié)點(diǎn).這樣做的優(yōu)點(diǎn)是易于使所有信息節(jié)點(diǎn)的度數(shù)值均不低于期望值Tv，并且維持了Tanner 圖的隨機(jī)性以便于快速譯碼收斂；（2）編碼算法可逆向改變信息度分布和校驗(yàn)度分布.這樣做的優(yōu)點(diǎn)在于，其一是在編碼的同時(shí)即優(yōu)化了信息度分布，其二是能夠?qū)︻A(yù)先給定的校驗(yàn)度分布進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整以匹配信道參數(shù).

2.3 校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的選取原則

在算法1中，并不是將所有校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)都作為待選節(jié)點(diǎn)供信息節(jié)點(diǎn)選取，待選校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足如下條件：（1）度數(shù)值不等于1 和2；（2）與當(dāng)前待處理的信息節(jié)點(diǎn)不存在連接關(guān)系.

滿足條件（2）的原因，是為了避免邊重復(fù)連接，導(dǎo)致無效編碼.滿足條件（1）的原因，是缺乏度數(shù)值為1和2的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致譯碼失敗，具體如下.

度數(shù)值為1 的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)使得譯碼過程能夠正常啟動(dòng).2.1 節(jié)介紹了LT 碼在AWGN 信道中的BP 譯碼算法，本節(jié)根據(jù)此譯碼算法，給出幾個(gè)實(shí)例對(duì)LT碼的詳細(xì)譯碼過程進(jìn)行分析.圖2 中，在第一次迭代時(shí)，所有信息節(jié)點(diǎn)傳遞給校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的LLR 信息均為0；校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c4則按照式（4），將其獲得的來自信道的非零LLR信息傳遞給唯一相連的信息節(jié)點(diǎn)v2，其余校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞給信息節(jié)點(diǎn)的LLR 信息均為0.第二次迭代時(shí)，v2將第一次迭代時(shí)獲得的來自c4的LLR 信息傳遞給與之相連接的c1、c2和c3，c1、c2和c3則將接收到的LLR 信息按式（4）進(jìn)行處理，之后傳遞給v1、v3和v4.自此，所有信息節(jié)點(diǎn)均獲得了非0值LLR信息.

圖2 可順利譯碼的Tanner示例

可以看出，正是由于校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)c4的度數(shù)為1，才能將自身的LLR 信息傳遞給v2，從而開啟了譯碼進(jìn)程.在圖3 中，不存在度數(shù)為1 的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，因此，根據(jù)式（4）可知，每次迭代時(shí)信息節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間傳遞的LLR信息均為0，譯碼失敗.

圖3 缺少度數(shù)為1的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)

度數(shù)值為2 的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)使得LLR 信息能夠傳播出去.在圖4 中，不存在度數(shù)為2 的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn).盡管按照式（5），v2可以將獲得的來自c4的LLR 信息傳遞其余校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，但是按照式（4）的傳遞規(guī)則，除c4之外的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)傳遞給信息節(jié)點(diǎn)v1、v3和v4的LLR 信息均為0.因此，來自信道的LLR 信息無法傳播并有效迭代，譯碼失敗.

圖4 缺少度數(shù)為2的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)

綜上，對(duì)于所提出的編碼算法，若要在接收端譯碼器采用2.1 節(jié)給出的LT 碼在AWGN 信道中的譯碼算法，則應(yīng)滿足條件（1）與條件（2）.

2.4 算法復(fù)雜度分析

相較于傳統(tǒng)算法，本文算法增加了分類信息節(jié)點(diǎn)以及逆向邊增長(zhǎng)的操作，因而不可避免地增加了算法的復(fù)雜度，本節(jié)將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)分析.

算法1 中，每個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)選取信息節(jié)點(diǎn)時(shí)，新增操作為：節(jié)點(diǎn)按度數(shù)值大小排序、信息節(jié)點(diǎn)度數(shù)值和閾值數(shù)值比較、逆向隨機(jī)選取校驗(yàn)節(jié)點(diǎn).為了便于對(duì)比，表1給出了生成N個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)時(shí)，算法1、ED 方案、CC 方案所產(chǎn)生的新增操作及其次數(shù).

表1 生成N個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)時(shí)的新增操作對(duì)比

表2 給出了這三種改進(jìn)算法的編碼運(yùn)行時(shí)間.仿真所采用的計(jì)算機(jī)硬件配置為如下，處理器為Intel Xe-on CPU E3-1240 v5@3.5 GHz，單 顆CPU，4 核8 線 程，RAM 內(nèi)存為32 GB，仿真軟件為MATLAB2020a.設(shè)計(jì)并行仿真次數(shù)為1000次，K=2048，N=4096，信噪比為Es/N0=1 dB，采用BP譯碼算法，最大迭代次數(shù)為50次.其中，本文算法閾值為Tv=12，文獻(xiàn)［23］算法中T=3，校驗(yàn)度分布采用文獻(xiàn)［26］的設(shè)計(jì)結(jié)果，記為

表2 不同算法的平均運(yùn)行時(shí)間

可以看出，與傳統(tǒng)算法相比，三種改進(jìn)算法的平均編碼運(yùn)行時(shí)間均增加了，這是因?yàn)楦倪M(jìn)算法均增加了額外的編碼操作.但與其他兩種算法相比，本文算法的編碼運(yùn)行速度則相對(duì)較快.還可以看出，本文算法的譯碼時(shí)間略高于其他兩種算法，這是因?yàn)楸疚乃惴樾ｒ?yàn)節(jié)點(diǎn)添加了額外的邊數(shù)，使得LLR 信息的傳遞、更新次數(shù)多于其他兩種算法.不過，總體而言，本文算法的編碼、譯碼時(shí)間之和仍然少于其他兩種參考算法，這體現(xiàn)了本文算法的優(yōu)勢(shì).

3 REG-LT碼的度分布分析

3.1 REG-LT碼的信息節(jié)點(diǎn)度分布

在算法1的逆向邊增長(zhǎng)階段，度數(shù)值小于Tv的信息節(jié)點(diǎn)會(huì)主動(dòng)選取足夠數(shù)量的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連，而度數(shù)值大于Tv的信息節(jié)點(diǎn)則不作任何處理.因此，一方面精準(zhǔn)剔除了度數(shù)小于Tv的信息節(jié)點(diǎn)，且該類信息節(jié)點(diǎn)所占比例值ξi(0 ≤i≤Tv-1)將全部累加至ξTv處.另一方面，度數(shù)值大于閾值的信息節(jié)點(diǎn)其比例不變，即與傳統(tǒng)LT碼的度分布相同.

定義REG-LT 碼的信息度分布為Λn(x)=其中，度數(shù)值為Tv的信息節(jié)點(diǎn)所占的比例為：

則REG-LT碼的信息度分布為

可以看出，度分布Λn(x)的系數(shù)只取決于初始度分布系數(shù)ξi和閾值Tv.其中，ξi的計(jì)算方式參照式（1）.

3.2 REG-LT碼的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度分布

定義算法1 在步驟1 完成之后，得到的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度分布為Ω(x)=算法1 的剩余步驟完成之后，度數(shù)為1 和2 的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)所占比例保持不變，其余度數(shù)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的占比均會(huì)改變.定義算法1 結(jié)束之后，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布為

其中，dc(n)是REG-LT碼校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù).

算法1中，需要進(jìn)行逆向邊增長(zhǎng)操作的信息節(jié)點(diǎn)平均個(gè)數(shù)為Ka=此Ka個(gè)信息節(jié)點(diǎn)一共包含Tv種度數(shù)值，分別為0，1，…，Tv-1.能夠參與逆向邊增長(zhǎng)操作的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的平均個(gè)數(shù)為Na=N(1-ω1-ω2).

對(duì)于REG-LT 碼而言，度數(shù)值小于Tv的信息節(jié)點(diǎn)會(huì)隨機(jī)選取校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)與之相連.這個(gè)過程恰好是傳統(tǒng)編碼算法的逆向操作，因此，考慮引入泊松分布來近似計(jì)算新的校驗(yàn)度分布.顯然，在REG-LT 碼的逆向邊增長(zhǎng)階段，信息節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的角色進(jìn)行了互換.每種度數(shù)信息節(jié)點(diǎn)的平均個(gè)數(shù)為且這些信息節(jié)點(diǎn)需要連接的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為Tv，Tv-1，…，1.因此，定義這Ka個(gè)信息節(jié)點(diǎn)滿足逆向信息度分布：

其中，dc(Ω)=[Ka]，[·]表示向下取整函數(shù).則REG-LT碼校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)dc(n)可計(jì)算為dc(n)=dc+[Ka].系數(shù)可計(jì)算為

由于度數(shù)為1 和2 的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)并不需要參與逆向操作，故其度分布系數(shù)保持不變，即算法1 的步驟1 完成之后，對(duì)于任意一個(gè)度數(shù)為m(3 ≤m≤dc)的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)而言，其在逆向操作中度數(shù)值變?yōu)閙+i的概率為其中0 ≤i≤dc(Ω).逆向操作結(jié)束后，此Na個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的最大度數(shù)為dc+dc(Ω)，最低度數(shù)為3.分析易得，編碼結(jié)束后，任意一個(gè)度數(shù)值為j(3 ≤j≤dc+dc(Ω))的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，其產(chǎn)生來源包括以下兩方面：（1）度數(shù)原本就是j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，其在逆向操作過程中沒有新增連接邊；（2）原本邊數(shù)小于j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)，其度數(shù)值增加至j.故而，逆向操作之后，度數(shù)值為j的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)所占比例為

則可得，REG-LT碼的最終校驗(yàn)度分布為

4 REG-LT碼的最優(yōu)最低度數(shù)值的設(shè)計(jì)

REG-LT 碼的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是信息節(jié)點(diǎn)的逆向邊增長(zhǎng)操作，直接影響其BER 性能的因素是信息節(jié)點(diǎn)的期望最低度數(shù)值Tv.一方面，信息節(jié)點(diǎn)的最低度數(shù)值直接決定了LT 碼的誤碼平臺(tái)下界［21］；另一方面，Tv又決定了REG-LT 碼的信息度分布和校驗(yàn)度分布，進(jìn)而影響其收斂性能.因此，有必要分析參數(shù)Tv的設(shè)計(jì)原則，并給出最優(yōu)Tv的設(shè)計(jì)方法.

4.1 REG-LT碼的收斂性分析

LT碼在AWGN 信道中采用BP算法進(jìn)行迭代譯碼，分析LT 碼譯碼收斂性常用的工具為外信息傳遞（Extrinsic Information Transfer，EXIT）圖法.參照文獻(xiàn)［27］，定義單調(diào)遞增函數(shù)J(θ)為

J(θ)具有唯一的反函數(shù)θ=J-1(I).關(guān)于J(θ)和θ=J-1(I)，文獻(xiàn)［28］給出了一種近似的計(jì)算方法.為便于分析，將LT 碼的譯碼器分為校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)譯碼器（Check Node Decoder，CND）和信息節(jié)點(diǎn)譯碼器（Information Node Decoder，IND）.在BIAWGN 信道下，LT 碼CND 的EXIT公式為

LT碼IND的EXIT公式為

其中，σI=J-1(IA，I)，IA，I是信息節(jié)點(diǎn)的輸入先驗(yàn)信息.

REG-LT碼的輸出外信息可計(jì)算為

相比于傳統(tǒng)LT 碼，REG-LT 碼的CND 曲線和IND曲線均發(fā)生了偏移，圖5 給出了一組仿真結(jié)果進(jìn)行說明.其中仿真參數(shù)為：R-1=2，Es/N0=2 dB，校驗(yàn)度分布為Ω1(x).圖5中，定義IND曲線和CND曲線之間的空隙為“譯碼收斂區(qū)”，其含義為：只要兩條曲線之間不存在交點(diǎn)，則當(dāng)碼長(zhǎng)K逼近無限長(zhǎng)時(shí)，譯碼器總能通過多次迭代成功恢復(fù)出信息節(jié)點(diǎn).

圖5 不同Tv值下的外信息曲線

4.2 最優(yōu)參數(shù)的設(shè)計(jì)方法

理論而言，信息節(jié)點(diǎn)的平均度數(shù)越高，LT 碼的誤碼平臺(tái)越低，因此，從這個(gè)角度而言，參數(shù)Tv應(yīng)越大越好.但是，從4.1 節(jié)的分析中可知，Tv過大可能會(huì)導(dǎo)致無法成功收斂.因此，參數(shù)Tv應(yīng)存在臨界值，即使得誤碼平臺(tái)最低的同時(shí)還能正確收斂，我們將其定義為最優(yōu)值.

為合理的量化參數(shù)Tv對(duì)譯碼收斂性的影響，引入外信息增益損失比（Gain Loss Ratio，GLR）作為評(píng)價(jià)指標(biāo).定義校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)譯碼器的外信息損失為：

定義信息節(jié)點(diǎn)譯碼器的外信息增益為

在此基礎(chǔ)上，定義GLR為

表3 給出了不同參數(shù)條件下的GLR 計(jì)算結(jié)果，采用的校驗(yàn)度分布為Ω1(x).可得出以下結(jié)論：

表3 不同信噪比和碼率值下的GLR值

（1）給定信噪比和碼率值時(shí)，GLR 會(huì)隨著Tv的增加而增加.這說明，盡管從總體上而言，IND 的增益量不足以彌補(bǔ)CND 的損失量，但其增益量的增長(zhǎng)速度高于損失量.換言之，較高的Tv值能夠獲得總面積更大的譯碼收斂區(qū).因此，盡管REG-LT 碼以略微損失收斂性的代價(jià)換取了低誤碼平臺(tái)，但其損失程度是可以接受的，且便于調(diào)控.

（2）不同信噪比和碼率值時(shí)，相同Tv值時(shí)的GLR并不相等.這意味著，無法給定一個(gè)普適于任何參數(shù)條件的GLR 臨界數(shù)值，換言之，僅僅從數(shù)值上并不一定能判斷得到最優(yōu)的GLR 和Tv值，而是需要從GLR 的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析.

（3）當(dāng)Tv達(dá)到達(dá)一定值后，GLR 呈現(xiàn)出了下降的趨勢(shì).這說明，達(dá)到臨界值之后繼續(xù)增加Tv，增益量的增長(zhǎng)要緩于損失量.因此，譯碼收斂區(qū)的總面積將變小，不利于快速譯碼迭代.

本文擬將GLR 的極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Tv值作為最優(yōu)Tv.但在求解最優(yōu)Tv時(shí)，需給定其上限值.為此，將使得IND 曲線和CND 曲線恰好不存在交點(diǎn)時(shí)的Tv值作為上界，記為Tv(max).即Tv=Tv(max)時(shí)，EXIT 圖中的譯碼收斂區(qū)處于打開狀態(tài)，而Tv=Tv(max)+1 時(shí)，IND 曲線與CND曲線相交.

綜上，將求解最優(yōu)Tv的方法總結(jié)為算法2.

根據(jù)算法2，求解出不同參數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)Tv值，如表4所示.采用的度分布為Ω1(x).

表4 不同信噪比和碼率值下的最優(yōu)Tv值

5 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)對(duì)REG-LT碼的BER 性能進(jìn)行仿真，并與傳統(tǒng)LT 碼和參考文獻(xiàn)的改進(jìn)算法進(jìn)行比較.為便于對(duì)照，將文獻(xiàn)［21］的算法記為ED Code，文獻(xiàn)［23］的算法記為CC Code.仿真條件為：發(fā)送端采用BPSK 調(diào)制方式，接收端均采用BP 譯碼算法，最大譯碼迭代次數(shù)為50 次.碼長(zhǎng)K=2048.所有結(jié)果均通過多次蒙特卡洛仿真得到，當(dāng)錯(cuò)誤碼字?jǐn)?shù)達(dá)到10 個(gè)時(shí)停止.采用的度分布分別記為Ω1(x)和Ω2(x)，其中，Ω1(x)如式（7）所示，Ω2(x)為［26］

5.1 不同信噪比時(shí)的BER性能

圖6 和圖7 給出了采用不同校驗(yàn)度分布時(shí)，REGLT 碼的BER 性能隨信噪比的變化情況，其中R-1=2.從中可以得出如下結(jié)論：

圖6 采用Ω1(x)時(shí)，REG-LT碼的BER性能隨信噪比的變化情況

圖7 采用Ω2(x)時(shí)，REG-LT碼的BER性能隨信噪比的變化情況

（1）REG-LT 碼的BER 性能優(yōu)于傳統(tǒng)LT 碼，達(dá)到了預(yù)期的設(shè)計(jì)目的.例如，當(dāng)Es/N0=0 dB 時(shí)，采用最優(yōu)Tv的REG-LT 碼可將誤碼平臺(tái)降低3 個(gè)數(shù)量級(jí)以上；而當(dāng)Es/N0=1.5 dB時(shí)，兩者的差距已經(jīng)逼近5個(gè)數(shù)量級(jí).若以10-5為參照標(biāo)準(zhǔn)，REG-LT 碼至少可以獲得3 dB 的編碼增益，這驗(yàn)證了本文算法的正確性.

（2）REG-LT碼優(yōu)于參考文獻(xiàn)的編碼算法.從圖中可以看出，即使不采用最優(yōu)Tv，例如Tv(opt)-2 時(shí)，REGLT碼在高信噪比區(qū)域依然可以獲得比ED 算法和CC算法更低的誤碼平臺(tái)；而在低信噪比區(qū)域內(nèi)，盡管BER 略高于參考算法，但相差甚小.類似地，若以10-7為參照標(biāo)準(zhǔn)，Tv(opt)時(shí)的REG-LT 碼可分別獲得近1.1 dB、0.8 dB的編碼增益，這體現(xiàn)了本文算法的優(yōu)勢(shì).

（3）通過改變參數(shù)Tv，可以便捷地調(diào)控REG-LT 碼能夠達(dá)到的BER 下界.本文算法引入了可供調(diào)整的參數(shù)Tv，并通過改變校驗(yàn)度分布，實(shí)現(xiàn)了精準(zhǔn)地調(diào)控信息節(jié)點(diǎn)最低度數(shù)值的目的，進(jìn)一步可以預(yù)測(cè)算法的性能，這是ED算法和CC算法均不具備的.此外，在當(dāng)前碼率值下，信噪比為1.5 dB 時(shí)，REG-LT 碼的BER 比參考算法低了2 個(gè)數(shù)量級(jí)；這說明，從優(yōu)化編碼結(jié)果的角度進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，性能提升效果要優(yōu)于控制過程的改進(jìn)算法.

5.2 不同碼率值時(shí)的BER性能

圖8 和圖9 給出了采用不同校驗(yàn)度分布時(shí)，REGLT 碼的BER 性能隨碼率值的變化情況，其中Es/N0=1 dB.為了便于觀察，將橫坐標(biāo)置為碼率倒數(shù)R-1.從中可以得出如下結(jié)論：

圖8 采用Ω1(x)時(shí)，REG-LT碼的BER性能隨碼率值的變化情況

圖9 采用Ω2(x)時(shí)，REG-LT碼的BER性能隨碼率值的變化情況

（1）當(dāng)信噪比固定不變時(shí)，REG-LT 碼的BER 性能依然是最優(yōu)的.例如，當(dāng)采用Tv(opt)-2 時(shí)，REG-LT 碼便達(dá)到了比ED 算法、CC 算法更低的誤碼平臺(tái)，且差距高達(dá)1 個(gè)數(shù)量級(jí)以上.此外，根據(jù)算法2 設(shè)計(jì)得到的最優(yōu)Tv，其對(duì)應(yīng)的誤碼平臺(tái)仍是最低的，這說明4.2節(jié)所設(shè)計(jì)的參數(shù)求解方法是可行的.

（2）切換校驗(yàn)度分布時(shí)，REG-LT 碼仍然能夠?qū)崿F(xiàn)降低誤碼平臺(tái)的效果.這是因?yàn)?，通過設(shè)定參數(shù)Tv，REG-LT 碼不僅可以提高信息節(jié)點(diǎn)的平均度數(shù)值，還能夠自適應(yīng)地優(yōu)化校驗(yàn)度分布，使其最優(yōu)匹配當(dāng)前信道參數(shù)和編碼倍率.換言之，REG-LT 碼不會(huì)受到校驗(yàn)度分布的限制，具有較強(qiáng)的靈活性.

6 結(jié)論

針對(duì)傳統(tǒng)LT 碼在AWGN 信道中存在的嚴(yán)重誤碼平臺(tái)問題，本文設(shè)計(jì)了具有逆向邊增長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的LT 碼.通過理論推導(dǎo)和仿真分析，可得出以下結(jié)論：（1）REGLT 碼能夠顯著地降低誤碼平臺(tái).本文算法可將BER 下界降低近3個(gè)數(shù)量級(jí)以上，且可獲得超過2 dB的編碼增益；（2）REG-LT 碼的度分布可公式化表達(dá)，并通過參數(shù)GLR 建立起了Tv與收斂性的聯(lián)系，這為設(shè)計(jì)最優(yōu)Tv值提供了依據(jù)；（3）REG-LT 碼的最優(yōu)閾值設(shè)計(jì)方法仍待改進(jìn).文中僅借助GLR 的單調(diào)性來尋找最優(yōu)閾值，略顯不足，后續(xù)研究中可考慮設(shè)計(jì)具有嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)理論支撐的尋優(yōu)方法；（4）REG-LT碼的收斂性略有損失.度分布的變化使得收斂區(qū)出現(xiàn)局部壓縮的情況，不利于快速收斂.因此，下一步研究中可以考慮設(shè)計(jì)具有無損收斂性的編碼算法.