信號傳播速度未知下基于運動單站到達頻率的定位新方法

王 鼎，尹潔昕，鄭娜娥，聶福全

（1.中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院,河南鄭州 450001；2.中國人民解放軍戰(zhàn)略支援部隊信息工程大學(xué)數(shù)據(jù)與目標工程學(xué)院,河南鄭州 450001；3.國家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,河南鄭州 450002；4.衛(wèi)華集團有限公司,河南長垣 453400）

1 引言

眾所周知，目標定位技術(shù)在無線監(jiān)測、地震勘測、緊急救助、安全管理等工業(yè)信息領(lǐng)域發(fā)揮重要作用［1～3］.依據(jù)觀測站數(shù)量可以將目標定位系統(tǒng)分成單站定位系統(tǒng)和多站定位系統(tǒng)兩大類，其中單站定位系統(tǒng)具有靈活性高、機動性強、系統(tǒng)簡潔以及無需站間通信和同步等優(yōu)點，本文主要研究單站定位方法.

單站定位系統(tǒng)常使用序列觀測量進行定位，其中到達頻率（Frequency Of Arrival，F(xiàn)OA）是常用的定位觀測量，該觀測量包含多普勒頻移信息，可用于對窄帶信號進行高精度定位.近年來，國內(nèi)外學(xué)者提出若干基于FOA觀測量的目標定位方法.文獻［4，5］提出基于網(wǎng)格搜索的FOA定位方法，該類方法需要復(fù)雜運算，其定位精度和計算復(fù)雜度取決于搜索區(qū)間和步長.文獻［6～8］提出基于信號數(shù)據(jù)的FOA直接定位方法，該類方法從傳感器接收信號中直接獲取目標位置坐標，需要多維迭代，易出現(xiàn)局部收斂和發(fā)散等問題，并且計算復(fù)雜度較高.文獻［9］提出基于半正定松弛FOA定位方法，該類方法無需設(shè)置初始值，可避免局部收斂和發(fā)散，但需要凸松弛處理，因此其漸近統(tǒng)計最優(yōu)性尚沒有完備的理論做支撐，并且計算復(fù)雜度較高.為了避免迭代，文獻［10，11］提出基于加權(quán)最小二乘估計的閉式定位方法，該類方法能獲得目標位置向量表達式，但是其聯(lián)合了FOA和到達角度觀測量，因此觀測站需要安裝天線陣列.文獻［12］提出一種加權(quán)輔助變量定位方法，其是一種可以有效削減估計偏置的FOA閉式定位方法，無需聯(lián)合其他觀測信息，但是該方法是以犧牲FOA觀測量為代價，因此其估計方差無法漸近逼近克拉美羅界（Cramér-Rao Bound，CRB）.

上述定位方法均假設(shè)信號傳播速度精確已知，但在某些場景中（例如水下聲源定位、地震波定位等），信號傳播速度可能無法精確獲得，這將對定位方法產(chǎn)生較大影響，此時應(yīng)將信號傳播速度看成未知參數(shù).文獻［13］提出信號傳播速度未知下基于到達時延觀測量的無線傳感網(wǎng)節(jié)點定位方法.文獻［14］提出信號傳播速度不等式約束下聯(lián)合到達時延和到達角度觀測量的無線傳感網(wǎng)節(jié)點定位方法.文獻［15～17］提出信號傳播速度未知下基于到達時延差觀測量的目標定位方法.事實上，信號傳播速度除了決定信號傳播距離外，還影響多普勒頻移，文獻［18］提出信號傳播速度未知下聯(lián)合到達時延差和到達頻率差觀測量的目標定位方法.上面提到的信號傳播速度未知下的定位方法均可應(yīng)用于水下聲源定位場景，并且都需要分布式傳感器來實現(xiàn)定位.文獻［12，19］討論了基于運動單傳感器的水下聲源定位方法，文獻［9］中的靜止多站FOA 定位方法也可等價為基于運動單站的FOA 定位方法，然而文獻［9，12，19］中的方法都需要精確的信號傳播速度，這在水下聲源定位場景中難以得到滿足.

基于研究現(xiàn)狀，本文在信號傳播速度未知下提出運動單站FOA定位新方法.該方法包含兩個階段，能實現(xiàn)目標位置向量和信號傳播速度聯(lián)合估計.本文還通過理論分析證明新方法參數(shù)估計均方誤差可以漸近逼近CRB.

2 定位觀測模型

假設(shè)在3 維空間中有單個運動觀測站利用FOA 觀測量對靜止目標進行定位，該觀測平臺安裝傳感器，由于傳感器與目標間的相對運動會使得FOA 觀測量中包含多普勒頻移，利用此信息可以對目標進行定位.傳感器的運動軌跡由M個直線段構(gòu)成，其在行駛第m條直線航跡過程中利用Nm個短時隙測量FOA，其中第n個短時隙獲得的FOA表達式為

這里給出兩點假設(shè)：（1）本文的單站定位區(qū)域并不寬廣，可假定信號在不同時隙到達傳感器的傳播速度c保持不變，但需要將其看成是未知參數(shù)；（2）在每個短時隙內(nèi)，傳感器測量FOA 的時間足夠短，使得傳感器在每個短時隙內(nèi)的位置變化量可以忽略不計.

實際中獲得的FOA 觀測量是含有誤差的，其可以表示為

式中εmn表示FOA 觀測誤差.將式（2）合并成向量形式可得

式（3）中，

3 參數(shù)估計方差的克拉美羅界

在本文的定位問題中，未知參數(shù)包括向量u和標量c，觀測量為向量定義參數(shù)向量θ=[uTc]T，此時可以將對數(shù)似然函數(shù)表示為

式（5）中K表示與未知參數(shù)θ無關(guān)的常數(shù).由式（5）可以得到關(guān)于參數(shù)向量θ的CRB表達式：

4 兩階段定位新方法

4.1 新方法的原理概述

文中的新方法包含兩個階段，每個階段的基本原理描述如下：

（1）階段1首先利用運動單站與目標間的幾何關(guān)系構(gòu)建第1組偽線性觀測方程；然后利用該方程建立估計準則，并基于此實現(xiàn)向量u和標量c的解耦合優(yōu)化，其中僅需對標量c進行1 維參數(shù)迭代，而向量u的解是以閉式解形式給出；最后分析估計結(jié)果的統(tǒng)計特性.需要指出的是，階段1 中觀測方程個數(shù)小于FOA 觀測量個數(shù)N，因此其無法獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)估計值.

（2）階段2 利用最初FOA 觀測模型構(gòu)建第2 組偽線性觀測方程，并基于階段1得到的估計值及其統(tǒng)計特性建立估計準則，進而獲得參數(shù)向量θ的閉式解，該估計結(jié)果具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性.

基于上面的原理概述，圖1描述了新方法的總體技術(shù)路線.

圖1 新方法的總體技術(shù)路線圖

4.2 階段1的計算原理與方法

4.2.1 偽線性觀測方程

這里借助幾何關(guān)系推導(dǎo)第1 組偽線性觀測方程.如圖2 所示，定義向量u-smn與速度向量之間的夾角為βmn，則有

圖2 定位幾何關(guān)系示意圖

結(jié)合式（1）和式（7）可得

由式（8）可知，夾角βmn與FOA 真實值fmn以及信號傳播速度c有關(guān).

在圖2 中考慮由向量u、smn以及sm1構(gòu)成的三角形，當n≥2時，利用三角形正弦定理可知

結(jié)合式（7）和式（9）可得

將式（10）寫成矩陣形式可得

式（11）中，

其中，

式（11）即為第1 組偽線性觀測方程，其中A(f，c)表示偽線性觀測矩陣；b(f，c)表示偽線性觀測向量.

由于式（10）僅在n≥2 時成立，從而導(dǎo)致式（11）中包含的方程個數(shù)僅為N-M，小于FOA 觀測量個數(shù)N，因此基于式（11）無法獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)的定位結(jié)果，但是其作為新方法的中間步驟仍然不可或缺.

4.2.2 估計準則及其求解算法

建立合理的估計準則需要分析偽線性觀測方程中的誤差特性，為此定義如下偽線性觀測誤差向量

將式（16）和式（17）代入式（15）中可知

式（20）中，

由式（20）可知，誤差向量ξf漸近服從零均值的高斯分布，并且其協(xié)方差矩陣為

結(jié)合式（15）和式（22）可以建立如下加權(quán)最小二乘估計準則：

為了減少參與迭代的變量維數(shù)，這里提出利用解耦合優(yōu)化的思想對式（23）進行求解.首先可以得到向量u在階段1的最優(yōu)表達式：

然后將式（24）代回式（23）中可以得到僅關(guān)于標量c的優(yōu)化問題

式（25）中，Π⊥[·]表示矩陣列補空間上的正交投影函數(shù).式（25）是一維優(yōu)化問題，可以通過Newton-Raphson 迭代法進行求解，相應(yīng)的迭代公式為

式（26）中，

4.2.3 理論性能分析

下面推導(dǎo)階段1中的估計值的統(tǒng)計特性，具體結(jié)論可見如下兩個定理.

證明將式（22）代入式（28）中可得

另一方面，將定義式f=g(u，c)代入式（11）中可知

將式（36）兩邊分別對u和c求導(dǎo)可得

將式（37）和式（38）代入式（35）中可知

結(jié)合式（6）、式（39）以及矩陣不等式A-1≥B(BTAB)-1BT（其中，A為任意正定矩陣；B為任意列滿秩矩陣）可得

證畢.

定理2 表明，觀測方程個數(shù)的降低使得階段1 的估計值不具備漸近統(tǒng)計最優(yōu)性，因此下面還需要利用階段2對此估計值進行優(yōu)化更新，旨在獲得具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性的估計結(jié)果.

4.3 階段2的計算原理與方法

4.3.1 偽線性觀測方程

若要獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)的定位精度，就不能減少觀測方程個數(shù)，為此需要回到最初FOA 觀測模型式（1）中，并將其進一步轉(zhuǎn)化成如下形式：

將式（41）寫成矩陣形式可得

式（42）中，

式（42）即為第2 組偽線性觀測方程，其中H(f，u)表示偽線性觀測矩陣；w表示偽線性觀測向量.

式（42）與式（11）的根本區(qū)別在于，式（42）中的方程個數(shù)等于FOA 觀測量個數(shù)N，沒有信息損失.事實上，在本文的新方法中，式（11）與式（42）都不可或缺.式（11）的意義為，提供漸近統(tǒng)計無偏估計值及其統(tǒng)計特性，正是基于此信息，才可以將式（42）中的觀測矩陣H(f，u)看成已知量，進而在階段2 中得到參數(shù)向量θ的閉式解；式（42）的意義為，提高階段1的估計精度，并獲得漸近統(tǒng)計最優(yōu)估計值.

4.3.2 估計準則及其最優(yōu)閉式解

首先定義如下偽線性觀測誤差向量：

式（46）中，

將式（31）和式（46）代入式（45）中可知

式（49）中，

由式（49）可知，誤差向量ξt漸近服從零均值的高斯分布，并且其協(xié)方差矩陣為

結(jié)合式（45）和式（51）可以建立如下加權(quán)最小二乘估計準則：

式（52）的最優(yōu)閉式解為

5 定位新方法的理論性能分析

在一階誤差分析框架下，由式（55）可以進一步推得

證畢.

定理4向量是關(guān)于參數(shù)向量θ的漸近統(tǒng)計最優(yōu)估計值，即有

證明將式（51）代入式（54）中可得

對比式（6）和式（58）可知，下面僅需要證明等式：

首先結(jié)合式（32）、式（33）以及式（50）可得

將式（37）和式（38）代入式（60）中可知

另一方面，將定義式f=g(u，c)代入式（42）中可得

將式（62）兩邊分別對u和c求導(dǎo)可知

將式（63）和式（64）合并可得

結(jié)合式（61）和式（65）可知式（59）成立.

證畢.

6 仿真實驗與結(jié)果分析

基礎(chǔ)實驗場景如下：假設(shè)水下目標位置向量為u=[-200 200 300]Tm，水下目標信號發(fā)射頻率為f0=25 kHz，現(xiàn)利用單觀測平臺對其進行定位，該平臺在水下行駛4 條直線航跡，每條航跡利用6 個短時隙獲得FOA 觀測量，短時隙位置坐標見表1 和表2，該平臺行駛每條直線航跡時的速度見表3.FOA 觀測誤差服從均值為零、方差為的高斯分布，其中σf表示標準差.

表1 第1條和第2條航跡中的12個短時隙位置坐標

表2 第3條和第4條航跡中的12個短時隙位置坐標

表3 每條航跡的速度

6.1 驗證新方法的漸近統(tǒng)計最優(yōu)性

首先設(shè)信號傳播速度為c=1500 m/s，改變目標位置，在[-250 m -150 m]×[150 m 250 m]×[250 m 350 m]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布.圖3 給出新方法的定位均方根誤差及其CRB 隨著FOA 觀測誤差標準差σf的變化箱線圖.

圖3 新方法的定位均方根誤差及其CRB隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化箱線圖（目標位置坐標服從均勻分布）

然后假設(shè)目標位置向量為u=[-200 200 300]Tm，改變信號傳播速度，并參照文獻［13～18］中的參數(shù)設(shè)置，令其在[1400 1600]m/s 區(qū)間內(nèi)服從均勻分布.圖4給出新方法的定位均方根誤差及其CRB隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化箱線圖.

圖4 新方法的定位均方根誤差及其CRB隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化箱線圖（信號傳播速度服從均勻分布）

從圖3 和圖4 中可以看出：（1）新方法的定位均方根誤差能夠漸近逼近CRB，從而驗證了新方法的漸近統(tǒng)計最優(yōu)性；（2）新方法的漸近統(tǒng)計最優(yōu)性對于目標位置坐標和信號傳播速度具有一定泛化性.

6.2 與已有定位方法進行比較

這里比較的方法包括泰勒級數(shù)迭代定位方法（涉及迭代初始值無誤差和迭代初始值有隨機誤差兩種情形）和文獻［9，12］中的定位方法.需要指出的是，文獻［9，12］中的定位方法假設(shè)信號傳播速度精確已知，因此需要設(shè)定信號傳播速度，這里取典型值c=1500 m/s.此外，新方法與泰勒級數(shù)迭代定位方法均能對目標位置向量和信號傳播速度進行聯(lián)合估計，因此無需對這兩種方法預(yù)先設(shè)定信號傳播速度的數(shù)值.

首先假設(shè)信號傳播速度為c=1470 m/s.圖5 給出了目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著FOA 觀測誤差標準差σf的變化曲線.

圖5 目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著FOA觀測誤差標準差σf的變化曲線

然后假設(shè)FOA 觀測誤差標準差為σf=1 Hz.圖6給出了目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著信號傳播速度c的變化曲線.

從圖5 和圖6 中可以看出：（1）新提出的定位方法的性能可以漸近逼近CRB；（2）對于文獻［9，12］中的定位方法，當信號傳播速度的真實值偏離預(yù)先設(shè)定的典型值c=1500 m/s 時，兩種方法的定位性能都會顯著下降，并且速度偏差值越大，定位誤差越大（見圖6），當信號傳播速度的真實值等于預(yù)先給定的典型值c=1500 m/s 時，文獻［9］中的定位方法的性能接近CRB，但文獻［12］中的定位方法始終無法逼近CRB，這是因為后者雖然能夠獲得目標位置向量的閉式解，但是以犧牲FOA 觀測量為代價，因此其并不具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性，這與文獻［12］中的結(jié)論一致；（3）當泰勒級數(shù)迭代定位方法的初始值存在隨機誤差時，其產(chǎn)生“門限效應(yīng)”的誤差閾值明顯低于新提出的定位方法，這是因為泰勒級數(shù)迭代定位方法是針對最初FOA 觀測方程進行迭代的，其中沒有推導(dǎo)偽線性觀測方程，因而難以獲得合理的初始值，初始值中的隨機誤差很可能導(dǎo)致迭代發(fā)散，此時經(jīng)有限次統(tǒng)計得到的定位均方根誤差會出現(xiàn)“陡增”現(xiàn)象（即門限效應(yīng)）；（4）當泰勒級數(shù)迭代定位方法取真實值作為迭代初始值時，其估計精度與新方法接近，但將真實值作為迭代初始值在實際應(yīng)用中難以實現(xiàn).

圖6 目標定位和信號傳播速度估計均方根誤差隨著信號傳播速度c的變化曲線

7 結(jié)論

本文在信號傳播速度未知下提出基于運動單站FOA 觀測量的目標定位新方法.該方法共包含兩個計算階段，其中的迭代過程僅涉及一維參數(shù)優(yōu)化，無需設(shè)置目標位置向量初始值，并能實現(xiàn)目標位置向量和信號傳播速度聯(lián)合估計.此外，文中通過理論性能分析證明新方法的參數(shù)估計精度可以漸近逼近CRB.仿真實驗結(jié)果表明，新方法具有漸近統(tǒng)計最優(yōu)性，其性能優(yōu)于文獻［9，12］中的定位方法，并且與迭代初始值取真實值的泰勒級數(shù)迭代定位方法相近，但新方法僅需對信號傳播速度進行迭代，其計算復(fù)雜度更低.