工業(yè)機(jī)器人作業(yè)誤差分級(jí)補(bǔ)償技術(shù)

焦嘉琛，田 威，張 霖，李 波，胡俊山

(1.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016;2.北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京 100076)

0 引言

作為典型的柔性平臺(tái)，工業(yè)機(jī)器人憑借出色的運(yùn)動(dòng)靈活性、較強(qiáng)的人機(jī)交互能力、較低的制造成本以及較小的空間要求，獲得了制造裝配領(lǐng)域的廣泛青睞[1-3]。然而，工業(yè)機(jī)器人開(kāi)式鏈結(jié)構(gòu)的固有屬性嚴(yán)重制約了其在以航空航天為代表的高精度加工領(lǐng)域的推廣應(yīng)用，具體表現(xiàn)在：①機(jī)器人本體絕對(duì)定位精度低(2 mm～3 mm)，運(yùn)動(dòng)誤差較難控制；②結(jié)構(gòu)剛性弱、加工誤差補(bǔ)償難，500 N的切削力即可引起1 mm的位置偏差[4-6]。為提升機(jī)器人裝備的作業(yè)精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)精度補(bǔ)償技術(shù)開(kāi)展了大量研究，按照誤差獲得手段主要分為在線誤差測(cè)量和離線誤差預(yù)測(cè)。

在線誤差測(cè)量技術(shù)通過(guò)采用傳感器直接測(cè)量誤差源來(lái)在線修正機(jī)器人的作業(yè)位姿，具有最高的理論可達(dá)精度，該類技術(shù)主要包括關(guān)節(jié)伺服反饋與全閉環(huán)反饋補(bǔ)償兩種形式[7-8]。然而，該方法存在開(kāi)發(fā)成本高、調(diào)試周期長(zhǎng)及任務(wù)適應(yīng)性低的缺陷，難以成為具有普適性的精度補(bǔ)償手段。離線誤差預(yù)測(cè)的傳統(tǒng)方法是辨識(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，常見(jiàn)的思路是通過(guò)最小二乘法迭代求解運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。洪鵬等[9]采用L-M(Levenberg-Marquardt)算法辨識(shí)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，并基于空間網(wǎng)格原理建立了變參數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，以提高辨識(shí)結(jié)果的空間適應(yīng)性。然而，影響機(jī)器人誤差的因素除了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差外，還有結(jié)構(gòu)自重、作業(yè)載荷、齒輪間隙、摩擦和熱效應(yīng)等因素，因此僅修正運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)難以進(jìn)一步提升機(jī)器人定位精度。針對(duì)機(jī)器人作業(yè)載荷引起的柔性誤差，TYAPIN等[10]和SLAVKOVIC等[11]通過(guò)建立機(jī)器人切削力模型，并將切削力離線預(yù)測(cè)與剛度模型結(jié)合對(duì)機(jī)器人切削軌跡誤差進(jìn)行離線補(bǔ)償，補(bǔ)償后的銑削軌跡精度達(dá)到±0.2 mm，然而力學(xué)模型的建模準(zhǔn)確性是制約機(jī)器柔性誤差離線預(yù)測(cè)的關(guān)鍵。

針對(duì)現(xiàn)有機(jī)器人作業(yè)誤差補(bǔ)償方法的不足，本文提出一種工業(yè)機(jī)器人作業(yè)誤差分級(jí)補(bǔ)償策略：通過(guò)分析機(jī)器人不同姿態(tài)下結(jié)構(gòu)重力對(duì)機(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)誤差的影響，建立耦合重力參數(shù)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差拓展模型，以提升參數(shù)誤差辨識(shí)準(zhǔn)確性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差的前饋補(bǔ)償；針對(duì)載荷引起的作業(yè)位置誤差提出一種基于空間網(wǎng)格采樣的變參數(shù)剛度辨識(shí)方法，以克服固化的關(guān)節(jié)剛度姿態(tài)適應(yīng)性差的問(wèn)題，將機(jī)器人剛度模型與作業(yè)載荷在線采集結(jié)合，最終對(duì)載荷引起的柔性誤差實(shí)現(xiàn)在線精確控制，并通過(guò)補(bǔ)償試驗(yàn)驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 耦合自重的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差建模與辨識(shí)

1.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與誤差模型

機(jī)器人本體結(jié)構(gòu)的制造裝配誤差使實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)與控制器中的名義參數(shù)之間存在偏差，最終由連桿傳遞與放大效應(yīng)導(dǎo)致機(jī)器人實(shí)際所達(dá)位姿與理論位姿間出現(xiàn)誤差。因?yàn)闄C(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)中由幾何參數(shù)誤差引起的末端定位誤差占比高達(dá)80%以上，所以精確辨識(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)(連桿長(zhǎng)度ai-1、關(guān)節(jié)扭角αi-1、連桿偏置di、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi)是精確控制機(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵。根據(jù)機(jī)器人連桿參數(shù)誤差的微小位移假設(shè)，定義連桿坐標(biāo)系{i}相對(duì){i-1}的微分變化量

(1)

式中：Δai-1，Δαi-1，Δdi，Δθi分別表示各連桿參數(shù)的微小偏差。以此類推，假設(shè)n自由度串聯(lián)機(jī)器人各連桿參數(shù)均存在誤差，將誤差矩陣引入傳動(dòng)鏈結(jié)構(gòu)，可以得到機(jī)器人末端位姿誤差ΔPn與運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差Δq之間的傳遞關(guān)系：

J(q)Δq。

(2)

式中：J(q)為機(jī)器人雅克比矩陣；Δθ，Δd，Δa,Δα分別為各參數(shù)對(duì)應(yīng)的6×1誤差矩陣。

1.2 耦合自重的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型

雖然機(jī)器人的非幾何參數(shù)誤差對(duì)機(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)誤差的影響只占10%～20%，但是要進(jìn)一步提高運(yùn)動(dòng)誤差的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，必須對(duì)機(jī)器人非幾何誤差源開(kāi)展研究。其中，由機(jī)器人結(jié)構(gòu)自重引起的定位誤差占非幾何誤差的60%～70%，主要表現(xiàn)為連桿彈性變形(Δd和Δa的微小偏移)和關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)變形(Δθ的微小偏移)[12]。在機(jī)器人剛度建模的關(guān)節(jié)柔性假設(shè)中，機(jī)器人的連桿被近似看作為剛體。因此，本文主要針對(duì)自重引起的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角偏移開(kāi)展機(jī)器人非幾何參數(shù)誤差研究。

因?yàn)闄C(jī)器人A1關(guān)節(jié)的軸線方向平行于重力方向，A4，A5，A6關(guān)節(jié)受結(jié)構(gòu)重力影響較小，所以本文針對(duì)機(jī)器人自重誤差建模時(shí)只考慮A2和A3受結(jié)構(gòu)自重的影響。機(jī)器人關(guān)節(jié)變形可表示為

ΔθGi=Tθi/kθi。

(3)

式中：ΔθGi為自重引起的關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)誤差；Tθi為關(guān)節(jié)所受力矩；kθi為關(guān)節(jié)剛度系數(shù)。

圖1所示為機(jī)器人連桿2和連桿3在自重作用下的誤差模型。其中：G2和G3為連桿2和連桿3的自重;L2為連桿2的桿長(zhǎng);l2和l3分別為連桿2和連桿3的重心到A2和A3軸線的距離;θG2和θG3為連桿2和連桿3的重心相對(duì)于A2和A3的轉(zhuǎn)角。由此可得機(jī)器人A2和A3關(guān)節(jié)軸向所受的力矩為：

Tθ2=G3l3cos(θ3+θ2+θG3)+G3L2cos(-θ2)+

G2l2cos(θ2-θG2)；

(4)

Tθ3=G3l3cos(θ3+θ2+θG3)。

(5)

將式(4)和式(5)分別代入式(3)，得到A2和A3關(guān)節(jié)的變形為：

ΔθG2=Tθ2/kθ2=(G3l3cos(θ3+θ2+θG3)+

G3L2cos(-θ2)+G2l2cos(θ2-θG2))/kθ2；

(6)

ΔθG3=Tθ3/kθ3=G3l3cos(θ3+θ2+θG3)/kθ3。

(7)

假設(shè)Gi，li，θGi不隨機(jī)器人姿態(tài)的變化而變化，定義其為常量，則有：

k22=G2l2sinθG2/kθ2;k23=G2l2sinθG2/kθ2;

k24=G3l3cosθG3/kθ3;k25=-G3l3sinθG3/kθ2;

k32=G3l3cosθG3/kθ3;k33=-G3l3sinθG3/kθ3。

(8)

在此基礎(chǔ)上將式(6)與式(7)化簡(jiǎn)為：

ΔθG2=k22cosθ2+k23sinθ2+k24cos(θ2+θ3)+

k25sin(θ2+θ3)；

(9)

ΔθG3=k32cos(θ2+θ3)+k33sin(θ2+θ3)。

(10)

定義Δθo2和Δθo3為A2和A3關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的零位偏差值，k21和k31為對(duì)應(yīng)的零位偏差常量，則A2和A3關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角誤差Δθ2和Δθ3分別為：

Δθ2=Δθo2+ΔθG2=k21+k22cosθ2+k23sinθ2+

k24cos(θ2+θ3)+k25sin(θ2+θ3)；

(11)

Δθ3=Δθo3+ΔθG3=k31+k32cos(θ2+θ3)+

k33sin(θ2+θ3)。

(12)

將式(11)和式(12)引入式(2)，定義：

(13)

則θ2和θ3的偏微分可替換為

(14)

(15)

從而將式(2)擴(kuò)展為

=J(q)dq，

(16)

kG=[k21,k22,k23,k24,k25,k31,k32,k33]T。

(17)

式(16)即重力擴(kuò)展的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型，kG為結(jié)構(gòu)自重引起的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差與各關(guān)節(jié)位置對(duì)應(yīng)的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣。

1.3 參數(shù)誤差辨識(shí)與補(bǔ)償

定義機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定試驗(yàn)中第i個(gè)采樣位置的位姿誤差為Δpi，

(18)

式中Ji為與目標(biāo)采樣位姿對(duì)應(yīng)的雅克比矩陣，假設(shè)在標(biāo)定試驗(yàn)中需測(cè)量m個(gè)采樣點(diǎn)，則有

(19)

由此，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定被化為線性方程組求解問(wèn)題，通常選擇最小二乘法擬合求解，本文選擇L-M算法進(jìn)行迭代計(jì)算。其中，算法的第k次迭代可以表述如下：

(1)根據(jù)機(jī)器人各連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)qk構(gòu)建J(qk)。

(2)計(jì)算各連桿的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差矩陣Δqk，

Δqk=-[J(qk)TJ(qk)+μkI]-1J(qk)TΔp(qk)。

(20)

式中：Δp(qk)為當(dāng)前參數(shù)誤差對(duì)應(yīng)的機(jī)器人末端位姿誤差；μk為阻尼系數(shù)。

(3)用qk+1=qk+Δqk更新機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。

(4)更新第k+1次迭代時(shí)的阻尼系數(shù)μk+1：

μ0=0.001;

μk+1=

2.5<δ<10。

(21)

式中δ為迭代參數(shù)。

(5)重復(fù)(1)～(4)，若|‖Δp(qk+1)‖-‖Δp(qk)‖|≤ε(一般取ε=0.000 1)，相鄰兩次迭代的末端位姿誤差范數(shù)的差值趨近于零，則認(rèn)為收斂，或者迭代滿100次時(shí)結(jié)束循環(huán)。

根據(jù)以上步驟可以得到機(jī)器人各運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。因?yàn)殛P(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償需要多衍生出一個(gè)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過(guò)程，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜且容易引入計(jì)算誤差，所以直接在笛卡爾空間修正運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差。針對(duì)數(shù)控程序給出的位置指令，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解機(jī)器人名義初始關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θt并構(gòu)建機(jī)器人雅克比矩陣，在此基礎(chǔ)上利用修正的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)得到笛卡爾空間的機(jī)器人位置誤差ΔP，通過(guò)P-ΔP修正位置指令離線修正機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差。

2 基于變剛度模型的柔性誤差預(yù)測(cè)與補(bǔ)償

2.1 基于空間網(wǎng)格的變參數(shù)剛度辨識(shí)

作業(yè)載荷引起的工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)彈性變形主要表現(xiàn)為關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)變形和連桿彈性變形。其中，關(guān)節(jié)剛度不足引起的機(jī)器人末端受載變形占總變形的70%以上。因此，機(jī)器人剛度建模是對(duì)載荷引起的柔性誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)和補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵。然而，構(gòu)型不同會(huì)導(dǎo)致機(jī)器人結(jié)構(gòu)重心和連桿變形不同，從而影響關(guān)節(jié)剛度的辨識(shí)結(jié)果；而且，由于關(guān)節(jié)內(nèi)部傳動(dòng)和連接結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，使各關(guān)節(jié)的實(shí)際剛度與轉(zhuǎn)角位置直接關(guān)聯(lián)。綜上，所選擇的采樣點(diǎn)數(shù)量和分布與機(jī)器人構(gòu)型直接相關(guān)，進(jìn)而影響辨識(shí)結(jié)果的準(zhǔn)確性，而全作業(yè)空間的采樣擬合結(jié)果顯然不能準(zhǔn)確表征機(jī)器人末端在不同作業(yè)空間的剛度分布特征[13-14]。因此，參考曾遠(yuǎn)帆等[15]提出的機(jī)器人定位誤差空間相似性原理，提出一種全作業(yè)空間下高姿態(tài)適應(yīng)性的剛度辨識(shí)方法。

現(xiàn)有機(jī)器人剛度表征方法均通過(guò)傳統(tǒng)機(jī)器人靜態(tài)剛度模型描述，即

K=J(θ)-TKθJ(θ)-1。

(22)

式中：K和Kθ分別為機(jī)器人笛卡爾空間和關(guān)節(jié)空間的剛度矩陣；J(θ)為當(dāng)前姿態(tài)下的雅克比矩陣。定義Kθ1為給定關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的剛度值，Kθ2為與之相近的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角處的剛度值，則有

E=‖Kθ1-Kθ2‖<ξ,Δθ→0。

(23)

式中E為Kθ1和Kθ2的差值的二范數(shù)，隨著Δθ趨近于0，總存在一個(gè)接近于0的正數(shù)ξ滿足E<ξ。在確定姿態(tài)條件下將式(23)從機(jī)器人關(guān)節(jié)空間轉(zhuǎn)換到笛卡爾空間，則有

E=‖Kθ1-Kθ2‖<ξ,

(Δx,Δy,Δz)→0。

(24)

即在忽略末端姿態(tài)變化的情況下，當(dāng)機(jī)器人末端位置變化量趨近于0時(shí)，機(jī)器人的關(guān)節(jié)剛度值均近似相等[16]。六關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人的前3個(gè)關(guān)節(jié)主要影響機(jī)器人末端的定位精度，后3個(gè)關(guān)節(jié)主要影響機(jī)器人的末端姿態(tài)，相同位置下機(jī)器人不同可達(dá)姿態(tài)的前3個(gè)關(guān)節(jié)基本保持不變。本文重點(diǎn)研究機(jī)器人位置誤差的預(yù)測(cè)與控制，并認(rèn)為對(duì)于任一目標(biāo)位置，可以忽略不同可達(dá)姿態(tài)對(duì)定位誤差的影響。基于以上推導(dǎo)，本文提出機(jī)器人作業(yè)空間網(wǎng)格化的思路，在單個(gè)網(wǎng)格空間內(nèi)，機(jī)器人對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角相近，關(guān)節(jié)剛度均高度近似。因此在犧牲一定精度的前提下，可以在小范圍空間內(nèi)忽略因機(jī)器人關(guān)節(jié)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)和本體重心等因素造成的參數(shù)誤差，即將機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度在該空間內(nèi)近似看作為定值。同時(shí)，由于采用規(guī)則的形狀可以大幅提高算法效率，本文以立方體網(wǎng)格為單位劃分機(jī)器人的有效作業(yè)空間，如圖2所示。

結(jié)合空間網(wǎng)格化采樣點(diǎn)規(guī)劃方法和參數(shù)辨識(shí)方法，將各網(wǎng)格空間的關(guān)節(jié)剛度分別看作定值，提出一種基于空間相似性的變參數(shù)剛度辨識(shí)與精確建模方法。其中，不同網(wǎng)格空間內(nèi)的關(guān)節(jié)剛度可對(duì)應(yīng)表示為

Kθ(j)=diag(kθ1(j),…,kθ6(j))。

(25)

式中j為對(duì)應(yīng)網(wǎng)格空間的序列號(hào)。將式(22)和式(25)結(jié)合，得到

K(j)=J(j)-TKθ(j)J(j)-1。

(26)

將式(26)定義為機(jī)器人變參數(shù)剛度模型，變參數(shù)剛度辨識(shí)與建模流程如圖3所示。

本文提出的機(jī)器人變參數(shù)剛度辨識(shí)方法適用于不同型號(hào)機(jī)器人的精確建模，并對(duì)任一作業(yè)空間不同作業(yè)姿態(tài)具有較好的適應(yīng)性。

2.2 柔性誤差預(yù)測(cè)與補(bǔ)償

在機(jī)器人剛度建模基礎(chǔ)上，類比胡克定律F=KD，可以得到笛卡爾空間中末端負(fù)載F引起的機(jī)器人末端位姿變形

(27)

其中作業(yè)載荷F由六維力傳感器在力傳感器坐標(biāo)系下直接讀取，雅克比矩陣由微分變換法構(gòu)建，并認(rèn)為對(duì)應(yīng)變量只有機(jī)器人的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1～θ6。

本文通過(guò)離線編程軟件得到機(jī)器人作業(yè)任務(wù)的理論目標(biāo)位置，采用運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解算法獲得機(jī)器人理論關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，進(jìn)而利用修正的機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型得到修正的末端位姿的控制指令，在此基礎(chǔ)上判斷對(duì)應(yīng)區(qū)間的關(guān)節(jié)剛度，最終得到機(jī)器人當(dāng)前時(shí)刻對(duì)應(yīng)加工位置的定位誤差。該方法可以在誤差預(yù)測(cè)之前確定關(guān)節(jié)剛度和雅克比矩陣。根據(jù)式(27)可知，此時(shí)只有機(jī)器人承受的載荷F為一個(gè)未知量，而讀取的載荷是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，機(jī)器人末端位置偏差的預(yù)測(cè)值基于該位置的理論坐標(biāo)來(lái)求解，因此載荷讀取時(shí)間與位置坐標(biāo)間匹配是實(shí)現(xiàn)誤差預(yù)測(cè)的關(guān)鍵。對(duì)于離散點(diǎn)位作業(yè)任務(wù)，機(jī)器人到達(dá)任一離散目標(biāo)位置后處于非驅(qū)動(dòng)狀態(tài)，可在機(jī)器人驅(qū)動(dòng)指令后插入誤差修正指令來(lái)補(bǔ)償當(dāng)前位置下載荷引起的柔性誤差。對(duì)于連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡作業(yè)任務(wù)，采用離散點(diǎn)位任務(wù)的補(bǔ)償模式存在補(bǔ)償滯后問(wèn)題，影響機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的連貫性。因此，本文將目標(biāo)軌跡近似看作為插補(bǔ)點(diǎn)位之間直線運(yùn)動(dòng)的集合，提出分段補(bǔ)償和錯(cuò)位修正結(jié)合的補(bǔ)償策略，補(bǔ)償流程如圖4所示。其中，Di，Ci，F(xiàn)i分別表示第i個(gè)目標(biāo)位姿下對(duì)應(yīng)的載荷引起的機(jī)器人末端變形、柔性矩陣及采集到的末端載荷。

本文利用西門子840DSL數(shù)控系統(tǒng)的同步動(dòng)作對(duì)載荷引起的柔性誤差進(jìn)行在線補(bǔ)償，如圖5所示，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中執(zhí)行加工運(yùn)動(dòng)主程序，同時(shí)根據(jù)插補(bǔ)節(jié)拍并行執(zhí)行載荷誤差的補(bǔ)償動(dòng)作。由于西門子數(shù)控系統(tǒng)通過(guò)控制各關(guān)節(jié)電機(jī)來(lái)驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，誤差補(bǔ)償也是在關(guān)節(jié)空間下通過(guò)修正軸向轉(zhuǎn)角偏差來(lái)實(shí)現(xiàn)，因此需要將機(jī)器人載荷引起的末端位置誤差投影到各關(guān)節(jié)軸向的扭轉(zhuǎn)變形量。由雅可比矩陣的定義可得機(jī)器人末端變形D與關(guān)節(jié)變形Δθ之間的映射關(guān)系

D=J(θ)Δθ。

(28)

本文針對(duì)機(jī)器人作業(yè)過(guò)程的位置誤差開(kāi)展研究，因此取雅各比矩陣的前3行，將式(28)修正為

Dt=Jt(θ)Δθ。

(29)

式中：Dt為末端變形矩陣D前3行元素構(gòu)造的矩陣；Jt(θ)為機(jī)器人雅克比矩陣前3行構(gòu)成的3×6矩陣。于是機(jī)器人各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角誤差Δθ=[Δθ1Δθ2… Δθ6]T可以通過(guò)雅克比矩陣的右廣義逆矩陣計(jì)算獲得，即

Δθ=Jt(θ)+ΔVt=Jt(θ)T(Jt(θ)Jt(θ)T)-1ΔVt。

(30)

計(jì)算獲得的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差即為各軸對(duì)應(yīng)的修正值。

3 機(jī)器人作業(yè)誤差分級(jí)補(bǔ)償策略

在機(jī)器人作業(yè)系統(tǒng)加工過(guò)程中，機(jī)器人本體幾何參數(shù)誤差主要影響機(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)精度，而載荷引起的柔性誤差是影響機(jī)器人切削定位精度、切削表面質(zhì)量和加工穩(wěn)定性的主要因素。為進(jìn)行機(jī)器人加工狀態(tài)下的綜合誤差補(bǔ)償，通過(guò)分析機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差與柔性誤差的表現(xiàn)形式和作用規(guī)律，將離線和在線誤差預(yù)測(cè)方法有機(jī)結(jié)合，本文提出機(jī)器人作業(yè)誤差分級(jí)補(bǔ)償策略：

(1)第一層級(jí) 針對(duì)機(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)誤差建立運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差模型，通過(guò)采樣點(diǎn)誤差采集試驗(yàn)辨識(shí)真實(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差，離線修正機(jī)器人理論位姿并驅(qū)動(dòng)修正后的數(shù)控程序執(zhí)行加工任務(wù)，保證機(jī)器人空載狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)精度。

(2)第二層級(jí) 在加工過(guò)程中，通過(guò)在線采集加工載荷，采用機(jī)器人剛度模型預(yù)測(cè)柔性誤差，進(jìn)而在線修正作業(yè)載荷引起的定位誤差。

兩個(gè)層級(jí)分別針對(duì)兩類誤差源，通過(guò)層層遞進(jìn)式的補(bǔ)償策略，對(duì)工況下機(jī)器人作業(yè)系統(tǒng)加工定位/軌跡進(jìn)行精確控制，如圖6所示。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

4.1 試驗(yàn)平臺(tái)

本試驗(yàn)以KUKA-KR500-3六自由度工業(yè)機(jī)器人為試驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)象，采用西門子840Dsl數(shù)控系統(tǒng)直接驅(qū)動(dòng)控制機(jī)器人執(zhí)行作業(yè)任務(wù)；安裝在機(jī)器人法蘭盤的ATI IP60 Omega160六維力傳感器用于測(cè)量試驗(yàn)中末端所受的外部載荷；以API Radian激光跟蹤儀為測(cè)量設(shè)備，通過(guò)安裝在末端執(zhí)行器上的靶球位置信息測(cè)量機(jī)器人定位誤差。試驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示。

4.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差與關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)試驗(yàn)

為簡(jiǎn)化參數(shù)辨識(shí)工作量，將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差辨識(shí)試驗(yàn)與關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)試驗(yàn)采用相同的理論采樣位姿，考慮到機(jī)器人作業(yè)任務(wù)的常用運(yùn)動(dòng)范圍，選取1 200 mm×600 mm×600 mm的作業(yè)區(qū)間作為變剛度辨識(shí)試驗(yàn)的標(biāo)定空間。分別選擇600 mm和300 mm為立方體網(wǎng)格空間的邊長(zhǎng)，將整個(gè)標(biāo)定空間分別劃分為2個(gè)網(wǎng)格和16個(gè)網(wǎng)格。

在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差辨識(shí)試驗(yàn)中，分別將每個(gè)300 mm網(wǎng)格的8個(gè)頂點(diǎn)及中心點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)定為采樣位置，在初始姿態(tài)基礎(chǔ)上，為滿足變剛度辨識(shí)方法采樣位姿的要求，將機(jī)器人末端沿工具坐標(biāo)系的y軸分別旋轉(zhuǎn)±10°得到另外兩組機(jī)器人采樣姿態(tài)，以上27個(gè)采樣姿態(tài)基本涵蓋機(jī)器人作業(yè)姿態(tài)范圍，辨識(shí)結(jié)果可以更好地滿足常用作業(yè)姿態(tài)下的建模精度要求。

在運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)試驗(yàn)中，機(jī)器人處于空載狀態(tài)，通過(guò)離線編程軟件生成的數(shù)控指令驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到各個(gè)目標(biāo)位姿，并采用激光跟蹤儀測(cè)量機(jī)器人空載狀態(tài)下的真實(shí)位姿信息。采用耦合自重的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型求解機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差和重力參數(shù)，辨識(shí)結(jié)果如表1和表2所示。為比較不同方法所對(duì)應(yīng)誤差模型的修正效果，采用傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型求解參數(shù)誤差，辨識(shí)結(jié)果如表3所示。耦合自重的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差模型的表征準(zhǔn)確性通過(guò)一級(jí)補(bǔ)償試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)驗(yàn)證。

表1 利用耦合自重的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型辨識(shí)所得的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差

表2 利用耦合自重的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型辨識(shí)所得的機(jī)器人重力參數(shù)

表3 利用傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型辨識(shí)所得的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差

在機(jī)器人變參數(shù)剛度辨識(shí)試驗(yàn)中，首先用辨識(shí)得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差修正機(jī)器人的雅可比矩陣，然后通過(guò)不同網(wǎng)格劃分規(guī)則分別辨識(shí)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)剛度。

(1)全作業(yè)空間的參數(shù)辨識(shí)

為方便后期驗(yàn)證機(jī)器人變參數(shù)剛度辨識(shí)和建模方法的實(shí)際效果，首先以全作業(yè)空間為采樣空間，選取長(zhǎng)方體標(biāo)定空間的8個(gè)頂點(diǎn)和中點(diǎn)處規(guī)劃的采樣位姿，利用負(fù)載前后的末端位姿信息和力傳感器的采集數(shù)據(jù)，辨識(shí)得到機(jī)器人在全作業(yè)空間下的關(guān)節(jié)剛度(單位:N·mm/rad)

Kθ=diag(1.58×1010,6.12×109,5.28×109,

4.66×108,2.19×108,4.49×108)。

(31)

(2)基于600 mm×600 mm×600 mm網(wǎng)格的剛度辨識(shí)

當(dāng)選擇600 mm作為立方體網(wǎng)格空間的邊長(zhǎng)時(shí)，整個(gè)標(biāo)定空間被分割為兩個(gè)對(duì)稱的立方體網(wǎng)格空間Grid 1和Grid 2，如圖8所示。分別辨識(shí)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)剛度KθG1和KθG2(單位:N·mm/rad)，辨識(shí)結(jié)果如下：

KθG1=diag(1.48×1010,5.58×109,6.80×109,

3.38×108,1.20×108,2.17×108)；

(32)

KθG2=diag(1.49×1010,6.81×109,4.81×109,

2.29×108,3.99×108,1.61×108)。

(33)

(3)基于300 mm×300 mm×300 mm網(wǎng)格的剛度辨識(shí)

當(dāng)選擇300 mm作為立方體網(wǎng)格空間的邊長(zhǎng)時(shí)，整個(gè)標(biāo)定空間被劃分為16個(gè)立方體網(wǎng)格，如圖8所示。為方便網(wǎng)格空間排序，將標(biāo)定空間劃分為4個(gè)長(zhǎng)方體區(qū)間Cuboid 1～Cuboid 4，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)邊與機(jī)器人基坐標(biāo)系的y軸平行，任一長(zhǎng)方體空間內(nèi)又按照各立方體網(wǎng)格沿y軸負(fù)方向的分布給定序號(hào)，例如將Cuboid 1沿y軸負(fù)方向分為Grid 1.1～Grid 1.4四個(gè)網(wǎng)格空間。為了更好地觀察關(guān)節(jié)剛度的變化趨勢(shì)，在圖9中比較不同網(wǎng)格空間中各關(guān)節(jié)的剛度值。

綜上所述，將機(jī)器人標(biāo)定空間劃分為更小的立方體網(wǎng)格空間，可以更清楚地表現(xiàn)關(guān)節(jié)剛度的變化細(xì)節(jié)，說(shuō)明采用較大空間網(wǎng)格辨識(shí)得到的關(guān)節(jié)剛度值的準(zhǔn)確度較低，進(jìn)而降低機(jī)器人剛度建模的精度。另外，關(guān)節(jié)軸向平行于機(jī)器人基坐標(biāo)系y軸方向的A2，A3，A5關(guān)節(jié)，在不同標(biāo)定空間范圍內(nèi)，同一關(guān)節(jié)的剛度變化趨勢(shì)保持一致；關(guān)節(jié)軸向垂直于基坐標(biāo)系y軸方向的A1,A4,A6關(guān)節(jié)，在相同標(biāo)定空間范圍內(nèi)，不同關(guān)節(jié)的剛度變化趨勢(shì)表現(xiàn)出高度的相似性，由此認(rèn)為機(jī)器人關(guān)節(jié)的軸向與關(guān)節(jié)剛度分布特性相關(guān)。這一發(fā)現(xiàn)能夠?yàn)闄C(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及機(jī)器人剛度優(yōu)化提供借鑒。變參數(shù)剛度模型的剛度建模準(zhǔn)確性通過(guò)誤差補(bǔ)償試驗(yàn)的二級(jí)補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果來(lái)驗(yàn)證。

4.3 誤差補(bǔ)償試驗(yàn)

利用4.1節(jié)的機(jī)器人試驗(yàn)平臺(tái)開(kāi)展負(fù)載狀態(tài)下的定位誤差分級(jí)補(bǔ)償策略驗(yàn)證試驗(yàn)。試驗(yàn)選取長(zhǎng)1 000 mm、平行于機(jī)器人基坐標(biāo)系y軸的直線軌跡進(jìn)行驗(yàn)證，如圖10所示。為簡(jiǎn)化試驗(yàn)，選取較大的插補(bǔ)距離(10 mm)，得到99個(gè)插補(bǔ)位置，連始末位置共101個(gè)目標(biāo)位置。

試驗(yàn)的第一階段，用4.2節(jié)辨識(shí)得到的參數(shù)誤差修正機(jī)器人數(shù)控指令，分別驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置，然后用激光跟蹤儀測(cè)量誤差修正前后的軌跡精度，以驗(yàn)證機(jī)器人在空載條件下軌跡誤差的補(bǔ)償效果；第二階段，在機(jī)器人末端掛載50 kg負(fù)重塊，用修正的數(shù)控指令驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，根據(jù)各軌跡插補(bǔ)點(diǎn)所在的300 mm網(wǎng)格空間獲得對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)剛度值，并通過(guò)六維力傳感器的感知信息在線預(yù)測(cè)載荷引起的運(yùn)動(dòng)軌跡誤差，比較激活同步動(dòng)作前后的軌跡精度來(lái)驗(yàn)證分級(jí)補(bǔ)償策略的有效性。

(1)空載狀態(tài)下的軌跡誤差離線修正

一級(jí)補(bǔ)償任務(wù)中分別采用運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)修正前后的數(shù)控指令驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，為比較耦合自重的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定模型與傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定模型的補(bǔ)償效果，分別用兩種方法的辨識(shí)結(jié)果修正數(shù)控指令，指令修正前后的補(bǔ)償效果如圖11所示。運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)修正前，機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)軌跡各插補(bǔ)位置的絕對(duì)定位誤差的平均值為0.676 mm，最大值為0.835 mm；經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定和耦合自重的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定后，機(jī)器人的絕對(duì)定位精度分別為0.167 mm，0.133 mm，最大值分別為0. 308 mm，0.286 mm。相對(duì)于傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差模型，耦合重力參數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型可以將機(jī)器人直線軌跡的位置精度提升80.33%。因此，本文提出的重力擴(kuò)展的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差模型能夠有效提升機(jī)器人空載運(yùn)動(dòng)精度，為在線補(bǔ)償載荷引起的誤差打下基礎(chǔ)。

(2)不同尺寸網(wǎng)格下的柔性誤差補(bǔ)償效果

為驗(yàn)證機(jī)器人變參數(shù)剛度模型的表征準(zhǔn)確度與網(wǎng)格尺寸的關(guān)系，在機(jī)器人末端執(zhí)行器掛載一個(gè)50 kg負(fù)載，分別在同步動(dòng)作的補(bǔ)償子程序關(guān)閉和開(kāi)啟狀態(tài)下測(cè)量機(jī)器人末端定位誤差，得到載荷引起的定位誤差的補(bǔ)償效果，不同網(wǎng)格劃分下的補(bǔ)償效果如圖12和表4所示。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果確定，網(wǎng)格劃分尺寸越小，補(bǔ)償效果越好，即剛度表征的準(zhǔn)確性越高。同時(shí)證明，關(guān)節(jié)剛度值在不同區(qū)間內(nèi)是變化的，固化的關(guān)節(jié)剛度建立的剛度模型無(wú)法適應(yīng)不同作業(yè)區(qū)間剛度表征精度的需求。變參數(shù)剛度辨識(shí)和建模方法對(duì)機(jī)器人作業(yè)誤差控制技術(shù)和加工性能優(yōu)化技術(shù)研究提供了可靠的新思路。

表4 不同網(wǎng)格劃分下的柔性誤差補(bǔ)償效果對(duì)比 mm

(3)負(fù)載狀態(tài)下的軌跡誤差分級(jí)補(bǔ)償

將50 kg負(fù)載固連在機(jī)器人末端模擬加工過(guò)程中的作業(yè)載荷，在第一階段離線修正運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的基礎(chǔ)上，通過(guò)六維力傳感器采集到的當(dāng)前位姿下的機(jī)器人末端載荷(除z軸方向近似為500 N，其他方向的力和扭矩近似為0)，完成分級(jí)誤差補(bǔ)償?shù)牡诙?jí)任務(wù)，即在線修正末端載荷引起的柔性誤差。通過(guò)比較機(jī)器人負(fù)載狀態(tài)下補(bǔ)償前后的軌跡誤差驗(yàn)證所提分級(jí)補(bǔ)償策略的有效性，試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖13所示。補(bǔ)償前后直線軌跡上各插補(bǔ)位置絕對(duì)定位誤差的平均值分別為0.959 mm，0.217 mm，最大值分別為1.133 mm，0.398 mm，機(jī)器人在負(fù)載狀態(tài)下的軌跡精度提升了77.37%，驗(yàn)證了本文所提機(jī)器人誤差分級(jí)補(bǔ)償策略的可行性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析機(jī)器人作業(yè)系統(tǒng)的誤差來(lái)源，將運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)離線標(biāo)定與柔性誤差在線預(yù)測(cè)方法有機(jī)結(jié)合，提出機(jī)器人作業(yè)誤差分級(jí)補(bǔ)償策略。重點(diǎn)研究了機(jī)器人不同姿態(tài)下的結(jié)構(gòu)重力對(duì)關(guān)節(jié)彈性變形的影響，將作業(yè)載荷引起的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差參數(shù)化，提出一種耦合機(jī)器人重力參數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差模型，進(jìn)一步完善了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差模型，提高了標(biāo)定準(zhǔn)確性。針對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度固化造成的剛度表征精度較低的問(wèn)題，提出一種機(jī)器人變參數(shù)剛度辨識(shí)方法，分析了關(guān)節(jié)剛度的空間相似性，并采用靜剛度辨識(shí)方法計(jì)算不同網(wǎng)格區(qū)間對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)剛度，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)器人全標(biāo)定空間的變參數(shù)剛度辨識(shí)與精確建模，相對(duì)傳統(tǒng)建模方法提高了載荷誤差預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文誤差模型和補(bǔ)償策略將負(fù)載狀態(tài)下的機(jī)器人定位誤差從0.959 mm降低到0.217 mm，對(duì)機(jī)器人作業(yè)裝備在高精度作業(yè)任務(wù)的推廣應(yīng)用具有顯著的工程價(jià)值。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的關(guān)節(jié)動(dòng)態(tài)特性非常復(fù)雜，機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度除與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角相關(guān)外，也會(huì)受到關(guān)節(jié)角速度、角加速度等運(yùn)動(dòng)變量的影響，后期將進(jìn)一步研究以上因素對(duì)機(jī)器人剛度辨識(shí)和建模的影響。