基于非線性干擾觀測(cè)器的解耦時(shí)變快速終端滑模控制

楊光宇，陳思溢，王雨軒，鄭貝陽(yáng)，黃輝先

(湘潭大學(xué) 自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

0 引言

欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)(Underactuated Mechanical Systems, UMS)指獨(dú)立的控制輸入維數(shù)少于系統(tǒng)自由度的一類系統(tǒng)[1]，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，同時(shí)由于系統(tǒng)高度非線性、參數(shù)擾動(dòng)及控制量受限等，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)又足夠復(fù)雜，適合于研究和驗(yàn)證各種算法的有效性[2]；當(dāng)全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的部分驅(qū)動(dòng)器出現(xiàn)故障時(shí)，系統(tǒng)相應(yīng)變?yōu)榍夫?qū)動(dòng)系統(tǒng)，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制算法可以進(jìn)行容錯(cuò)控制。鑒于現(xiàn)實(shí)生活中的很多系統(tǒng)均以欠驅(qū)動(dòng)形式存在，如移動(dòng)機(jī)器人、航天飛行器、倒立擺等[3]，針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的研究具有重要的理論與實(shí)際意義。

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)領(lǐng)域研究比較復(fù)雜的原因是執(zhí)行器的數(shù)量少于需要控制的自由度，許多傳統(tǒng)非線性控制方法并不適用，近年來(lái)主要用基于反饋線性化[4]、能量法[5]、反步法[6]、滑?？刂品╗7-8]和模糊邏輯法[9]等方法進(jìn)行UMS穩(wěn)定控制[10]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)算法簡(jiǎn)單，對(duì)干擾和未建模系統(tǒng)狀態(tài)具有很強(qiáng)的魯棒性，且響應(yīng)速度快，本文主要討論滑?？刂品椒?。

滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，其不連續(xù)的開(kāi)關(guān)特性使系統(tǒng)抖振不可避免，影響了系統(tǒng)性能，如果處理不當(dāng)，則可能引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因?yàn)榛瑒?dòng)模態(tài)可以進(jìn)行設(shè)計(jì)而且與控制對(duì)象的參數(shù)和擾動(dòng)無(wú)關(guān)，所以SMC具有響應(yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)、對(duì)參數(shù)變化和擾動(dòng)不靈敏等優(yōu)點(diǎn)[11]。其中，抖振為SMC系統(tǒng)中普遍存在的問(wèn)題，消除抖振會(huì)使變結(jié)構(gòu)控制失去對(duì)干擾和攝動(dòng)的抑制能力，而且無(wú)法完全消除，只能對(duì)其進(jìn)行削弱。如何在削弱抖振的基礎(chǔ)上盡可能提高滑模面的趨近速率，是目前滑?？刂祁I(lǐng)域重要的研究課題[12]。

SMC采用線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度非常慢且收斂時(shí)間不能確定[13]，為此，終端滑?？刂?Terminal SMC, TSMC)在傳統(tǒng)滑模面函數(shù)的基礎(chǔ)上加入分?jǐn)?shù)指數(shù)項(xiàng)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后，將沿設(shè)計(jì)的指數(shù)規(guī)律逐漸趨近于平衡點(diǎn)，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂[14-15]。然而，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)原點(diǎn)后，由于非線性項(xiàng)中存在負(fù)數(shù)冪，傳統(tǒng)TSMC的控制律出現(xiàn)奇異性，導(dǎo)致控制律無(wú)界，而且系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)收斂速度較慢。為了提高傳統(tǒng)TSMC的收斂速度，楊俊起等[16]結(jié)合傳統(tǒng)滑?？刂频膬?yōu)點(diǎn)，在TSMC滑模面函數(shù)中加入線性項(xiàng)，提出快速終端滑?？刂?Fast TSMC, FTSMC)方法，提高了系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，具有更好的收斂性；MOBAYEN[17]提出不同形式的FTSMC，對(duì)滑模函數(shù)中指數(shù)項(xiàng)的取值更靈活，但因需要同時(shí)考慮系統(tǒng)狀態(tài)在各階段的收斂速度而對(duì)指數(shù)項(xiàng)的取值有所限制，制約了收斂速度的進(jìn)一步提升。

上述TSMC通常應(yīng)用于二階系統(tǒng)，而強(qiáng)耦合的復(fù)雜四階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為二自由度，由于其獨(dú)立控制輸入少于自由度，無(wú)法構(gòu)造單一的控制量使欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都趨于穩(wěn)定，直接使用上述方法不能獲得相同的控制性能。例如，在小車倒立擺系統(tǒng)中，擺桿擺角狀態(tài)和小車位置狀態(tài)存在耦合，直接使用TSMC可以成功控制擺桿或小車位置，但若要求同時(shí)對(duì)二者進(jìn)行精準(zhǔn)控制，則控制效果不佳。為了解決這類問(wèn)題，解耦終端滑模控制(Decoupled TSMC, DTSMC)通過(guò)將一類四階系統(tǒng)解耦為兩個(gè)二階子系統(tǒng)，并分別設(shè)計(jì)終端滑模面，再通過(guò)中間變量構(gòu)成一個(gè)整體滑模面，構(gòu)造了一個(gè)單一的控制量，實(shí)現(xiàn)了對(duì)小車倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制[18]。

時(shí)變滑模面(Time-Varying Sliding Surfaces, TVSSs)解決了一般滑模面函數(shù)參數(shù)取值的局限性，可以同時(shí)考慮系統(tǒng)狀態(tài)在各個(gè)階段趨近的情況，并能夠顯著縮短到達(dá)階段的趨近時(shí)間。BAYRAMOGLU等[19]和YORGANCIOLU等[20]根據(jù)模糊規(guī)則，用模糊規(guī)則庫(kù)導(dǎo)出的線性函數(shù)重新定義了SMC滑模面坡度，提高了系統(tǒng)整體趨近速率，并結(jié)合快速終端滑模，用解耦方法完成了對(duì)四階系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

綜上所述，TVSSs雖然解決了四階系統(tǒng)的耦合問(wèn)題并提高了趨近速率，但是其小車位置狀態(tài)響應(yīng)速率很慢。根據(jù)快速終端滑模的結(jié)構(gòu)形式，由于其指數(shù)項(xiàng)參數(shù)選擇的局限，限制了系統(tǒng)的趨近效率，本文提出一種變冪次的時(shí)變快速終端滑模，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)非線性函數(shù)代替快速終端滑模的指數(shù)項(xiàng)，解決參數(shù)選取的局限性，提高系統(tǒng)狀態(tài)在各時(shí)刻的趨近速率，同時(shí)結(jié)合解耦算法，處理系統(tǒng)的強(qiáng)耦合性；針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的不確定性以及外部干擾對(duì)控制效果的影響，設(shè)計(jì)一個(gè)非線性干擾觀測(cè)器，通過(guò)將觀測(cè)到的總體干擾補(bǔ)償給控制器來(lái)提高控制器的魯棒性。與現(xiàn)有解耦方法相比，所提基于非線性干擾觀測(cè)器的解耦時(shí)變快速終端滑模控制(Decoupled Time-Varying Fast Terminal Sliding Mode Control based on Non-linear Disturbance Observer, NDODTVFTSMC)策略具有更快的瞬態(tài)響應(yīng)與更低的絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Absolute value of Error criterion, IAE)和時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Time multiplied by the Absolute value of Error criterion, ITAE)值。

1 問(wèn)題描述

本文考慮的四階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)以一級(jí)小車倒立擺系統(tǒng)為例，可以建模為如下形式[19,21-22]：

y=[x1(t),x3(t)]T。

(1)

式中：x(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量，x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)分別為擺桿角度、擺角角速度、小車位置和小車速度；y=[x1(t),x3(t)]T為系統(tǒng)的輸出向量，本文考慮系統(tǒng)的擺角和小車位置；f1(x),f2(x),b1(x),b2(x)為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的非線性函數(shù)，且均不等于0；u(t)為控制輸入；d1，d2為系統(tǒng)的外部擾動(dòng)。考慮到系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，有：

f1(x)=f01(x)+Δf1(x)；

f2(x)=f02(x)+Δf2(x)。

(2)

式中：f01(x)和f02(x)為函數(shù)的已知部分；Δf1(x)和Δf2(x)為函數(shù)的未知部分。故式(1)的動(dòng)態(tài)方程為：

(3)

式中：n1=Δf1(x)+d1，n2=Δf2(x)+d2，表示系統(tǒng)整體擾動(dòng)，包括系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和系統(tǒng)外部擾動(dòng)。

一級(jí)小車倒立擺系統(tǒng)只有一個(gè)控制輸入u(t)，為單輸入多輸出系統(tǒng)，且具有強(qiáng)耦合特性。在耦合的情況下，若使用TSMC方法直接控制系統(tǒng)，則分別使系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)，x2(t)或x3(t)，x4(t)在有限時(shí)間內(nèi)趨近平衡點(diǎn)，這意味著控制輸入u(t)只能精確控制擺桿或小車，不能同時(shí)使兩者保持穩(wěn)定。

TSMC直接應(yīng)用于四階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，其控制效果不能滿足實(shí)際要求，而應(yīng)用于二階系統(tǒng)則具有優(yōu)越的控制性能，因此研究終端滑模首先考慮二階系統(tǒng)。對(duì)于小車倒立擺系統(tǒng)，若只考慮擺桿或小車，不失一般性，則可將式(1)表示為如下規(guī)范形式的二階非線性系統(tǒng)：

(4)

式中：x(t)=[x1(t),x2(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量；f(x),b(x)為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的非線性函數(shù)，且均不為0；u(t)為控制輸入；d為外部干擾。

2 二階系統(tǒng)的新型快速終端滑?？刂?/h2>

2.1 變冪次快速終端滑?？刂?/h3>

針對(duì)非線性二階系統(tǒng)(式(4))，本節(jié)不考慮干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，取d=0。文獻(xiàn)[23]提出的FTSMC由以下滑模面描述：

s=αx1+x2+λ|x1|p/qsgn(x1)。

(5)

式中：α>0，λ>0；p和q是滿足p

(6)

(7)

雖然由式(5)表示的FTSMC中，因增加了線性項(xiàng)αx1而提高了TSMC在狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)的收斂速度，但是在λ|x1|p/qsgn(x1)中，p和q的比值會(huì)影響系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)希望比值大，系統(tǒng)狀態(tài)趨近平衡點(diǎn)時(shí)希望比值小，無(wú)法使系統(tǒng)狀態(tài)在整個(gè)滑模面快速收斂，而且比值太小會(huì)產(chǎn)生抖振。為此，本文根據(jù)文獻(xiàn)[23]所提的FTSMC控制算法將滑模面改進(jìn)為一種時(shí)變快速終端滑模(Time-Varying Fast Terminal Sliding Mode, TVFTSM)，形式為

s=αx1+x2+λ|x1|γ(x1)sgn(x1)。

(8)

式中α和λ的取值與文獻(xiàn)[22]相同。定義γ(x1)為關(guān)于狀態(tài)x1的一個(gè)非線性函數(shù)，

(9)

(10)

定理1對(duì)于設(shè)計(jì)的時(shí)變快速終端滑模面(式(8))，系統(tǒng)狀態(tài)在到達(dá)滑模面時(shí)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)，收斂時(shí)間為

(11)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(12)

根據(jù)式(4)和式(8)對(duì)式(12)求導(dǎo)得

=x1(-αx1-λ|x1|γ(x1))

(13)

由式(13)可知，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂。根據(jù)式(9)和式(10)，γ(x1)關(guān)于狀態(tài)x1變化，這里將狀態(tài)x1分兩種情況進(jìn)行討論：

根據(jù)式(10)，式(8)可寫(xiě)為

s=αx1+x2+λ|x1|α1-β1sgn(x1)。

(14)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面s=0時(shí)，根據(jù)式(1)和式(14)可得

(15)

根據(jù)式(10)，式(8)可寫(xiě)為

s=αx1+x2+λ|x1|α1+β1sgn(x1)。

(16)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面s=0時(shí)，根據(jù)式(1)和式(16)可得

(17)

綜上所述，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂，且在趨近階段的收斂時(shí)間

T=t1+t2。

(18)

二階非線性系統(tǒng)以小車倒立擺系統(tǒng)(式(4))為例進(jìn)行仿真對(duì)比，如圖1～圖3所示。

FTSMC的控制參數(shù)設(shè)定基于文獻(xiàn)[23]，為了客觀對(duì)比滑模面，所提TVFTSMC選擇式(8)，此時(shí)設(shè)置α1=1.5，β1=0.6，Δ=0.1，κ=30，其余控制參數(shù)與FTSMC相同。從圖1～圖3可見(jiàn)，無(wú)論擺角、擺角角速度還是滑模面，TVFTSMC的收斂速度均快于FTSMC。

2.2 基于雙曲正切跟蹤微分器的干擾觀測(cè)器

考慮到TVFTSMC抑制干擾的能力不足，根據(jù)毛海杰等[24]和DONG等[25]提出的跟蹤微分器，設(shè)計(jì)基于雙曲正切跟蹤微分器的非線性干擾觀測(cè)器實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)干擾，以削弱擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)控制精度的影響。雙曲正切跟蹤微分器可以保證所提干擾觀測(cè)器的穩(wěn)定性和收斂性，且具有優(yōu)秀的跟蹤性能，可用于估計(jì)多種類型不確定擾動(dòng)，并可克服現(xiàn)有干擾觀測(cè)器需要擾動(dòng)上下界及其第i個(gè)導(dǎo)數(shù)Lipschitz上界的先驗(yàn)信息的缺點(diǎn)。

以二階非線性系統(tǒng)(式(4))為例，考慮系統(tǒng)

(19)

式中：x2和u分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入，x2∈，u∈;d為系統(tǒng)的外部干擾,d∈。

引理1[26]對(duì)于系統(tǒng)

(20)

引理1提供了一種基于跟蹤微分器干擾觀測(cè)器的通用設(shè)計(jì)方法，可通過(guò)構(gòu)造合適的跟蹤微分器，進(jìn)一步將其應(yīng)用于干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)。

雙曲正切函數(shù)在平衡點(diǎn)附近近似為線性函數(shù)，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)具有非線性函數(shù)的特點(diǎn)[24]，基于雙曲正切函數(shù)設(shè)計(jì)的跟蹤微分器形式簡(jiǎn)單，需要整定的參數(shù)較少，由于其函數(shù)光滑連續(xù)，可以有效抑制輸出抖振。本文所提干擾觀測(cè)器的突出優(yōu)點(diǎn)是幾乎可以估計(jì)所有類型的干擾，且不需要干擾的先驗(yàn)信息?；陔p曲正切跟蹤微分器設(shè)計(jì)的非線性干擾觀測(cè)器如下：

(21)

此時(shí)，考慮外部干擾d=5sin(t)，二階非線性系統(tǒng)以小車倒立擺系統(tǒng)(式(4))為例，所提TVFTSMC控制算法在有無(wú)非線性干擾觀測(cè)器兩種情況下的仿真對(duì)比如圖4和圖5所示。圖6所示為觀測(cè)器的干擾跟蹤曲線，可見(jiàn)非線性干擾觀測(cè)器可以很好地估計(jì)外部干擾，并將估計(jì)的干擾補(bǔ)償給控制器，抑制了擾動(dòng)對(duì)控制精度的影響，使系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂，從而削弱控制輸入抖振，提高系統(tǒng)魯棒性。

綜上所述，所提TVFTSMC控制算法在非線性二階系統(tǒng)中具有良好的控制性能，然而若直接應(yīng)用于四階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則將因其強(qiáng)耦合性質(zhì)而嚴(yán)重影響TVFTSMC的控制效果。為解決該問(wèn)題，下面對(duì)本文所提方法結(jié)合解耦控制算法在四階欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的控制性能進(jìn)行討論。

3 基于非線性干擾觀測(cè)器的解耦時(shí)變快速終端滑?？刂?/h2>

3.1 基于干擾觀測(cè)器的解耦時(shí)變快速終端滑模控制

根據(jù)文獻(xiàn)[27]提出的解耦滑?？刂?Decoupled Sliding Mode Control, DSMC)，將四階非線性系統(tǒng)(式(3))分解為如下兩個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)滑模面：

(22)

(23)

每個(gè)子系統(tǒng)基于滑模面有單獨(dú)的控制目標(biāo)，目的是提出一種控制策略，使得兩個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)從初始狀態(tài)到達(dá)滑模面s1=0和s2=0，然后沿滑模面趨近至原點(diǎn)。

設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)(式(3))的時(shí)變快速終端滑模面s1和s2：

(24)

式中：a1,λ1,a2,λ2>0；γ1(x1-z)和γ2(x3)為式(9)所示的非線性函數(shù)，

γ1(x1-z)=

α1+β1tanh[κ1((x1-z)2-Δ1)]，

(25)

(26)

z表示將子系統(tǒng)B的滑模面信息引入子系統(tǒng)A的滑模面中，

z=zu×sat(s2/φ),0

(27)

式中：sat(s2/φ)為飽和函數(shù)，

(28)

φ為s2的邊界層厚度且為正常數(shù)；zu為|z|的上界，且0

根據(jù)式(9)、式(22)和式(27)，對(duì)滑模面s1求導(dǎo)：

×ln(|x1-z|)sgn(x1-z)+f01+b1u+n1;

(29)

(30)

(31)

為保證到達(dá)滑模面，選取雙冪次趨近律為[28]

k2|s1|c2sgn(s1)。

(32)

式中：c1，c2，k1，k2為正常數(shù)，且01。

根據(jù)式(29)、式(31)和式(32)可得控制器的切換控制項(xiàng)

usw=-[k1|s1|c1sgn(s1)+

k2|s1|c2sgn(s1)]/b1。

(33)

因此系統(tǒng)整體的控制律為u(t)=ueq+usw，

(34)

(35)

(36)

3.2 穩(wěn)定性分析

定理2針對(duì)非線性系統(tǒng)(式(3))，用干擾觀測(cè)器估計(jì)系統(tǒng)總擾動(dòng)，選取滑模面(式(24))，在控制律(式(35))作用下，非線性系統(tǒng)(式(3))的整體滑模面可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到區(qū)間

|s1|≤min{(δ/k1)1/c1,(δ/k2)1/c2}

(37)

內(nèi)，且收斂時(shí)間

(38)

證明定義Lyapunov標(biāo)量函數(shù)

(39)

對(duì)V求一次時(shí)間導(dǎo)數(shù)并將式(3)、式(24)和式(34)代入，已知干擾觀測(cè)器估計(jì)的干擾誤差|ξ|≤δ，可得

=s1(-k1|s1|c1sgn(s1)-k2|s1|c2sgn(s1)+ξ)

=-k1|s1|c1+1-k2|s1|c2+1+ξs1

≤-k1|s1|c1+1-k2|s1|c2+1+δ|s1|。

(40)

設(shè)δ≤k1|s1|c1+k2|s1|c2，將式(40)化為如下兩種形式：

(41)

(42)

(1)|s1|≥(δ/k2)1/c2

(43)

因此，V由V0收斂至V1所需的時(shí)間T1≤T1max，其中V0和s0分別為L(zhǎng)yapunov函數(shù)V和滑模面s1的初始值，且

(44)

(2)|s1|≥(δ/k1)1/c1

(45)

同理可知，V由V0收斂至V2所需的時(shí)間T2≤T2max，其中

(46)

綜上所述，系統(tǒng)總體滑模面s1將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至如式(37)所示的區(qū)域，定理2得證。

定理3對(duì)于非線性系統(tǒng)(式(3))，選取滑模面(式(24))，在控制律(式(35))作用下，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。

證明設(shè)t1≤γ1(x1-z)≤t2，其中t1，t2為正常數(shù)，則滑模面s1可表示為：

s1a1(x1-z)+x2+λ1|x1-z|t2sgn(x1-z)；

s1≥a1(x1-z)+x2+λ1|x1-z|t1sgn(x1-z)。

(47)

(48)

進(jìn)一步得出：

(49)

式(49)的解可表示為：

(50)

4 仿真分析

倒立擺系統(tǒng)是控制科學(xué)中典型的物理模型，常用于檢驗(yàn)新的控制理論和算法的正確性及其在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，其控制方法在半導(dǎo)體及精密儀器加工、人工智能、機(jī)器人控制技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對(duì)接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面均具有廣闊的前景。為了驗(yàn)證所提控制策略的有效性和優(yōu)越性，采用MATLAB對(duì)小車倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真，并分別與文獻(xiàn)[19-20，29]提出的非奇異解耦終端滑模控制(Nonsingular Decoupled Terminal Sliding Mode Control, NDTSMC)、TVSSs、DSMC進(jìn)行對(duì)比仿真。小車倒立擺系統(tǒng)模型如圖8所示，其動(dòng)態(tài)方程可用式(3)表示，其中系統(tǒng)的非線性函數(shù)f01(x)，b1(x)，f02(x)，b2(x)分別為：

f02(x)=

(51)

式中：x1為擺桿與垂直軸的角度;x2為擺桿的角速度，x3為小車位置;x4為小車速度;mt為小車倒立擺系統(tǒng)的總質(zhì)量(包括擺桿和小車的質(zhì)量mp和mc，mt=mp+mc);L是擺桿長(zhǎng)度的一半。為了仿真，設(shè)置小車倒立擺的系統(tǒng)參數(shù)和初始條件L=0.5 m，mc=1 kg，mp=0.1 kg，g=9.8 m/s2,x(0)=[-30°,0,0,0]T。

設(shè)小車倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)不確定性Δf1(x)=0.5sin(x1)，Δf2(x)=0.5sin(x3)，系統(tǒng)外部干擾d1=d2=0.087 3sin(t)，則n1=0.087 3sin(t)+0.5sin(x1)，n2=0.087 3sin(t)+0.5sin(x3)。

表1所示為本文所提方法NDOTVDFTSMC和對(duì)比方法的控制參數(shù)。為了更加客觀地與其他控制方法比較，本文對(duì)文獻(xiàn)[19-20，29]的部分參數(shù)進(jìn)行了少量改動(dòng)。

表1 仿真中使用的控制參數(shù)

將本文所提NDOTVDFTSMC與DSMC，NDTSMC，TVSSs進(jìn)行對(duì)比，其擺角、小車位置、控制輸入量和滑模面s的響應(yīng)曲線分別如圖9～圖12所示。

為了評(píng)估控制算法的穩(wěn)定性和優(yōu)越性，引入如下兩個(gè)性能指標(biāo)：

(1)絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則(IAE)

(52)

(2)時(shí)間乘誤差絕對(duì)值積分(ITAE)

(53)

式中ei(τ)為系統(tǒng)狀態(tài)與期望值之間的誤差。

表2所示為各方法應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)的IAE值和ITAE值?？梢?jiàn)，對(duì)于系統(tǒng)小車位置狀態(tài)x3的穩(wěn)定性和收斂性，本文所提方法的IAE和ITAE值更小，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好；對(duì)于系統(tǒng)擺角狀態(tài)x1，因?yàn)槠渌?種方法優(yōu)先考慮的是狀態(tài)x1的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，所以系統(tǒng)狀態(tài)x1的兩項(xiàng)指標(biāo)明顯優(yōu)于狀態(tài)x3，而本文方法兼顧擺桿擺角和小車位置狀態(tài)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，在狀態(tài)x3的性能指標(biāo)比其他方法有較大優(yōu)勢(shì)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定性雖與TVSSs相比無(wú)明顯差異，但明顯優(yōu)于其他方法。綜合上述結(jié)果說(shuō)明，與其他方法相比，所提方法具有更好的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

表2 各種方法應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)的IAE和ITAE值

圖9和圖10所示分別為系統(tǒng)擺角和小車位置的暫態(tài)響應(yīng)曲線，雖然所提控制方法擺角的超調(diào)量較大，但是收斂速度明顯快于其他控制方法；對(duì)小車位置而言，無(wú)論超調(diào)量還是收斂速度，所提控制方法均具顯著優(yōu)勢(shì)，而且穩(wěn)態(tài)誤差更低。相比DSMC，所提控制算法能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂；相比NDTSMC，所提控制算法之所以能夠快速收斂的一部分原因是加入了線性項(xiàng)，并將其在控制器對(duì)位移極點(diǎn)的作用過(guò)程中應(yīng)用于系統(tǒng)；相比TVSSs，因?yàn)樗O(shè)計(jì)的非線性函數(shù)構(gòu)造的時(shí)變滑模面兼顧系統(tǒng)狀態(tài)在各時(shí)刻的收斂速度，所以縮短了整個(gè)趨近過(guò)程中的收斂時(shí)間。

圖11和圖12所示分別為不同控制算法的系統(tǒng)整體滑模面曲線和控制輸入曲線，可見(jiàn)所提控制方法的滑模面在更短時(shí)間內(nèi)收斂且保持穩(wěn)定。由于本文方法使用時(shí)變滑模面，滑模面函數(shù)中的指數(shù)項(xiàng)通過(guò)設(shè)計(jì)的非線性函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)在遠(yuǎn)離或接近滑模面時(shí)都具有較快的收斂速度，滑模面和控制器的部分參數(shù)在收斂穩(wěn)定之前也隨系統(tǒng)狀態(tài)變化，目的是解決快速終端滑模指數(shù)項(xiàng)參數(shù)的取值限制問(wèn)題，最大化快速終端滑模的趨近速率。因?yàn)橄到y(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)曲線對(duì)滑模函數(shù)指數(shù)項(xiàng)參數(shù)的變化比較敏感，所以所提控制方法在收斂前會(huì)出現(xiàn)一定抖振，然而無(wú)論滑模面曲線還是控制輸入曲線，收斂至穩(wěn)態(tài)后的抖振都更小。

為了進(jìn)行魯棒性分析，在不同的初始條件、參數(shù)不確定性和外部擾動(dòng)下重復(fù)進(jìn)行仿真研究。設(shè)系統(tǒng)初始條件x(0)=[-10°,0,0,0]T，參數(shù)不確定性Δf1(x)=0.6sin(x1)，Δf2(x)=0.6sin(x3)，系統(tǒng)外部干擾d1=d2=0.01sin(t)。

擺角位置、小車位置、滑模面和控制輸入的響應(yīng)曲線分別如圖13～圖16所示，與本文的研究結(jié)果相似，也證實(shí)了所提控制方案在不同條件下都具有良好的魯棒性。

在此基礎(chǔ)上，增加控制器干擾n=2sin(t)，系統(tǒng)表示為：

(54)

系統(tǒng)擺角和小車響應(yīng)曲線如圖17和圖18所示，相比其他控制方法，加入控制器干擾后，本文方法的控制性能仍然具有優(yōu)越性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，這歸功于非線性干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)總體干擾的實(shí)時(shí)觀測(cè)。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)一類四階欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)，本文提出一種NDODTVFTSMC策略，旨在提高和優(yōu)化現(xiàn)階段提出的TSMC的趨近速率和抖振現(xiàn)象。所提控制策略結(jié)合傳統(tǒng)滑?？刂圃跔顟B(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)收斂快和終端滑模能在有限時(shí)間內(nèi)收斂的優(yōu)點(diǎn)，用一個(gè)非線性函數(shù)將快速終端滑模設(shè)計(jì)為時(shí)變快速終端滑模，從而提高系統(tǒng)在各階段的收斂速度，再通過(guò)解耦算法完成了對(duì)四階系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。仿真結(jié)果和數(shù)值分析表明，相比DMSC，NDTSMC，TVSSs，所提時(shí)變快速終端滑模提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，削弱了抖振，并利用基于雙曲正切跟蹤微分器的非線性干擾觀測(cè)器有效抑制外部擾動(dòng)和系統(tǒng)不確定性，提高了系統(tǒng)控制的魯棒性，使本文方法在抑制抖動(dòng)、穩(wěn)定性、響應(yīng)速度等各方面均具明顯優(yōu)勢(shì)。