低維不可分解冪零Leibniz代數(shù)的局部自同構(gòu)和局部導(dǎo)子

傅 珍, 劉文德

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, ?？?571158)

0 引 言

Leibniz代數(shù)[9-10]是李代數(shù)的推廣. 目前, 關(guān)于Leibniz代數(shù)的研究已有很多結(jié)果, 例如Leibniz代數(shù)的分類[11-13]、 導(dǎo)子和自同構(gòu)的刻畫[14-17]等. 本文基于文獻(xiàn)[17]中不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)的分類與自同構(gòu)群的研究結(jié)果, 利用線性方程組理論以及矩陣技巧, 刻畫復(fù)數(shù)域上不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)的全部局部導(dǎo)子與局部自同構(gòu). 結(jié)果表明, 冪零Leibniz代數(shù)具有更多的非平凡局部導(dǎo)子與局部自同構(gòu).

設(shè)L是域F上的一個(gè)線性空間, [,]:L×L→L是雙線性映射, 若其滿足Leibniz等式：

[x,[y,z]]=[[x,y],z]-[[x,z],y], ?x,y,z∈L,

則稱L是Leibniz代數(shù). 對Leibniz代數(shù)L, 令L1=L,Lk+1=[Lk,L], 其中k≥1.若存在正整數(shù)k>0, 使得Lk=0, 則稱L是冪零的.

1 預(yù)備知識(shí)

一般地, 如果一個(gè)代數(shù)不能表示為其理想的直和, 則稱其為不可分解的.復(fù)數(shù)域上三維不可分解的冪零Leibniz代數(shù)分類如下：

引理1[14]在同構(gòu)意義下, 不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)可分為N1,N2(α),N3,N4, 其非平凡乘法表分別為：

1)N1: [e1,e1]=e2, [e2,e1]=e3;

2)N2(α): [e2,e1]=e3, [e1,e2]=αe3;

3)N3: [e1,e2]=e3, [e2,e1]=-e3;

4)N4: [e1,e1]=e3, [e2,e1]=e3, [e1,e2]=-e3.

這里{e1,e2,e3}是該代數(shù)的一組基,α是非零復(fù)數(shù)且滿足α≠±1.

引理2[17]設(shè)φ為Leibniz代數(shù)L的可逆線性變換, 則下列結(jié)論成立:

1) 當(dāng)L=N2(α)時(shí),φ是L的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ具有形式

這里a11a22≠0；

2) 當(dāng)L=N3時(shí),φ是L的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ具有形式

這里a11a22-a12a21≠0；

3) 當(dāng)L=N4時(shí),φ是L的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ具有形式

這里a11≠0.

文獻(xiàn)[17]給出了N2(α),N3,N4的自同構(gòu), 下面本文給出N1的自同構(gòu).由N1的乘法及自同構(gòu)定義, 易得：

命題1設(shè)φ為N1的可逆線性變換, 則φ是N1的自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)φ具有形式

這里a11≠0.

上面討論了不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)L的自同構(gòu), 下面討論其局部自同構(gòu).本文總設(shè)T是L的一個(gè)線性變換, 其在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為T=(tij)3×3, 其中tij∈,i,j=1,2,3.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)T是Leibniz代數(shù)L的一個(gè)線性變換, 則下列結(jié)論成立:

1) 當(dāng)L=N2(α)時(shí),T是L的局部自同構(gòu)的必要條件為T具有形式

(1)

這里t11t22t33≠0；

2) 當(dāng)L=N3時(shí),T是L的局部自同構(gòu)的必要條件為T具有形式

(2)

這里t33≠0,t11t22-t12t21≠0；

3) 當(dāng)L=N4時(shí),T是L的局部自同構(gòu)的必要條件為T具有形式

(3)

這里t11t22t33≠0；

4) 當(dāng)L=N1時(shí),T是L的局部自同構(gòu)的必要條件為T具有形式(3), 這里t11t22t33≠0.

證明： 只需證明1), 類似可證2),3),4).

設(shè)T是N2(α)的局部自同構(gòu), 則對任意的x∈N2(α), 存在φx∈Aut(N2(α)), 使得T(x)=φx(x).于是, 分別取x=(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T, 可得T的形式為式(1), 其中t11t22t33≠0.證畢.

定理1表明, 任意不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)均具有不是自同構(gòu)的局部自同構(gòu).

下面刻畫三維冪零Leibniz代數(shù)L=N1,N2(α),N3,N4的局部導(dǎo)子.設(shè)D是L的一個(gè)線性變換, 其在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為D=(dij)3×3, 其中dij∈,i,j=1,2,3.

定理2設(shè)D是Leibniz代數(shù)L的一個(gè)線性變換, 則下列結(jié)論成立:

1) 當(dāng)L=N1時(shí),D是L的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)D具有形式

(4)

2) 當(dāng)L=N2(α)時(shí),D是L的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)D具有形式

(5)

3) 當(dāng)L=N3時(shí),D是L的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)D具有形式

(6)

4) 當(dāng)L=N4時(shí),D是L的導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)D具有形式

(7)

證明: 只需證明1), 類似可證2),3),4).

充分性.對任意的x,y∈N1, 令

則

故

于是

而

從而

因此D[x,y]=[D(x),y]+[x,D(y)], 即D是N1的導(dǎo)子.

必要性.設(shè)D∈Der(N1), 則對任意x,y∈N1, 由N1的乘法運(yùn)算及導(dǎo)子定義可得D具有形式(4).證畢.

上面得到了N1,N2(α),N3,N4四種不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)的導(dǎo)子, 下面討論其局部導(dǎo)子.設(shè)Δ是Leibniz代數(shù)L的一個(gè)線性變換, 其在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為Δ=(δij)3×3, 其中δij∈,i,j=1,2,3.

定理3下列結(jié)論成立:

1) 當(dāng)L=N1時(shí),Δ是L的局部導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)Δ具有形式

(8)

2) 當(dāng)L=N2(α)時(shí),Δ是L的局部導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)Δ具有形式

(9)

3) 當(dāng)L=N3時(shí),Δ是L的局部導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)Δ具有形式

4) 當(dāng)L=N4時(shí),Δ是L的局部導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)Δ具有形式(8).

證明: 只需證明1), 類似可證2),3),4).

必要性.設(shè)Δ是N1的局部導(dǎo)子, 則對任意的x∈N1, 存在Dx∈Der(N1), 使得Δ(x)=Dx(x).分別取x=(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T, 經(jīng)計(jì)算可知Δ具有形式(8), 這里δ11δ22δ33≠0.

充分性.設(shè)Δ具有形式(8), 要證Δ是N1的局部導(dǎo)子, 即證對任意的x=(x1,x2,x3)T∈N1, 存在Dx∈Der(N1), 使得Δ(x1,x2,x3)T=Dx(x1,x2,x3)T.

當(dāng)Δ(x1,x2,x3)T=Dx(x1,x2,x3)T時(shí), 有

即

(10)

其中a,b,c為未知量.方程組(10)的增廣矩陣為

易證：

① 當(dāng)x1=x2=x3=0時(shí), 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為0;

② 當(dāng)x1=0,x2=0,x3≠0時(shí), 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為1;

③ 當(dāng)x1=0,x2≠0時(shí), 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2;

④ 當(dāng)x1≠0時(shí), 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為3.

根據(jù)線性方程組理論, 方程組(10)有解, 因此Δ是N1的局部導(dǎo)子. 證畢.

定理3表明, 任意不可分解的三維冪零Leibniz代數(shù)均具有不是導(dǎo)子的局部導(dǎo)子.