基于多孔介質土體分形特征的滲透系數(shù)研究

王 宇，谷艷昌 ，王士軍 ，段祥寶

(1.江蘇開放大學 建筑工程學院, 江蘇 南京 210036； 2.南京水利科學研究院, 江蘇 南京 210029； 3.水利部大壩安全管理中心, 江蘇 南京 210029)

多孔介質土體由散體顆粒、膠結物質和不同階次、不規(guī)則分布的孔隙及薄弱夾層構成，其顆粒與孔隙從原子尺度到晶粒尺寸范圍均表現(xiàn)分形特征[1-4]。分形維數(shù)可以描述并量化具有分形特征的多孔介質土體的自相似性、復雜性及不規(guī)則性[5-8]。具體而言，質量分形維數(shù)綜合反映了細顆粒含量及內在均勻程度，描述了土體顆粒分布特征；孔隙分形維數(shù)集中體現(xiàn)了孔隙通道大小及發(fā)育程度，反映了土體孔隙分布特征。多孔介質土體滲透破壞過程中，可動細顆粒從孔隙通道中不斷流失，土體滲透系數(shù)、孔隙率、不均勻系數(shù)等物理力學參數(shù)發(fā)生變化，分形維數(shù)隨之改變。研究多孔介質土體滲流分形特征，控制并預測滲透破壞形成及發(fā)展，對堤壩工程長效安全運行具有重要意義。

20世紀80年代，分形理論廣泛應用于巖土工程，揭示了多孔介質土體分形特征，即土骨架和孔隙是分形的。流體在土骨架和孔隙形成的分形空間滲流時，也應當具有分形特征及其他一些特殊性質，各種分形模型在模擬多孔介質滲流問題上取得了較大成功[9-13]。近年來，國內外學者重點關注土體水力參數(shù)求取分形方法和滲流過程中分形維數(shù)變化規(guī)律，得出了一些有益的結論。徐永福等[14]建立了非飽和土孔隙分布的分形模型，推導了非飽和土的土-水特征曲線、滲透系數(shù)及擴散系數(shù)的表達式，提供了一種可供工程實際采用的非飽和土力學參數(shù)的簡單方法。Tao等[15]利用土-水特征曲線分形模型給出了非飽和土的土-水特征曲線預測方法，揭示了不同初始孔隙比條件下分形維數(shù)近似不變的規(guī)律。段祥寶等[16]開展了天然土體及室內配制土樣滲透變形試驗，初步探索了土體孔隙率、不均勻系數(shù)、中值粒徑、干密度與分形維數(shù)之間關系，指出土體質量分形維數(shù)可以鑒別滲透破壞形式。陶高梁等[17]開展了不同顆粒級配的砂土滲透破壞試驗，分析了臨界水力梯度與分形維數(shù)之間的關系，認為分形維數(shù)越大，臨界水力梯度越小，解釋了分形維數(shù)與滲透破壞的影響機制。

目前利用分形理論研究滲流集中在非飽和土持水能力（土水特征曲線），較少涉及多孔介質土體滲透能力，滲透系數(shù)及其影響因素研究尚顯不足，滲透系數(shù)與分形維數(shù)之間非線性關系需要深入研究。本文基于多孔介質土體分形特征，推導滲透系數(shù)和孔隙率與分形維數(shù)之間分形關系解析式，探明多孔介質土體滲透系數(shù)影響因素，采用滲透破壞試驗數(shù)據(jù)進一步論證滲透系數(shù)和孔隙率與分形維數(shù)之間關系，從而揭示多孔介質土體滲透破壞非線性特征，為土體滲透破壞形成機制及發(fā)展過程提供理論依據(jù)。

1 多孔介質土體分形特征

巖土體的變形、斷裂、孔隙、密度等物理力學性質均應具有分形特征，這一思想已被大量試驗結果所證實[18-21]。對于多孔介質土體而言，粒度分布是地質勘察的基本試驗項，也是巖土力學性能評估的重要指標之一。Turcotte[22]提出粒子數(shù)目分布與尺寸之間具有分形關系，之后Tyler等[23]提出顆粒體積分布與尺寸也存在分形關系。鑒于土體顆粒數(shù)目和體積在實際工程測量中較為困難，在假設不同粒徑土體顆粒具有相同密度前提下，可推導土體質量分布函數(shù)的分形表達式[7]。工程地質勘察中，土體顆粒級配曲線是以小于某一粒徑d的土體質量百分含量M的分布特征來表示的，根據(jù)土體顆粒質量分布分形規(guī)律[16]，有：

式（1）兩邊取對數(shù)，有：

式中：直線斜率K=3-D，則質量分形維數(shù)D=3-K。式（2）表明土體顆粒級配曲線在雙對數(shù)坐標軸系統(tǒng)中，小于某一粒徑d的土體質量百分含量M具有線性分布規(guī)律。實際工程中可利用地勘資料，繪制土體顆粒級配曲線，在雙對數(shù)坐標軸下繪出質量百分含量與粒徑之間線性相關曲線，即土體粒度分布曲線，通過曲線斜率推算土體質量分形維數(shù)。土體質量分形維數(shù)定量表征土體顆粒質量累積特性，可以反映整個土層的物理力學性質。以某砂礫石為例，粒度分布曲線如圖1所示，R2=0.99表明線性關系較好，直線斜率K=0.315 6，土體質量分形維數(shù)D=3-0.315 6=2.684 4。

圖1 某砂礫石粒度分布曲線Fig.1 Sandy gravel size distribution curve

值得注意的是，由于多孔介質土體具有統(tǒng)計自相似特點，土體顆粒僅在一定的粒徑范圍內具備分形特征，即當x∈[x1,x2]，x1和x2為自相似性范圍的上下限，式（2）分形規(guī)律成立。

2 不同試驗土樣統(tǒng)計分析

2.1 試驗材料與方法

質量分形維數(shù)可以量化具有統(tǒng)計自相似特征的多孔介質土體顆粒分形結構，但由于拓撲結構存在空間差異性，統(tǒng)計自相似的多孔介質土體分形結構適用于一定的粒徑范圍。具有自相似性的粒徑范圍稱為無標度區(qū)[12]，無標度區(qū)的確定是準確計算土體質量分形維數(shù)的前提?；谖墨I[24]中的37組滲透破壞試驗成果，選取具有代表性的10種試驗土樣（見表1），進一步研究不同類型土體無標度區(qū)和質量分形維數(shù)。

表1 不同試驗土樣顆粒級配Tab.1 Particle size distribution of different experimental soils

試驗土樣來源于錢塘江中游金華段兩岸，包括31組天然土樣，6組人工配制土樣。天然土樣采用環(huán)刀法，將環(huán)刀刃口向下垂直壓入原狀土中，直至環(huán)刀筒充滿土體，用削土刀切開環(huán)刀周圍土壤，取出已裝滿土的環(huán)刀，削去并擦凈環(huán)刀外面的土，盡量減少土體擾動；人工土樣采用不同孔徑振動篩配制。

2.2 無標度區(qū)的確定

分形幾何基本理論中分形維數(shù)有容積維數(shù)、相似維數(shù)、關聯(lián)維數(shù)、信息維數(shù)等類型，土體質量分形維數(shù)本質上屬于容積維數(shù)。因此，確定多孔介質土體分形結構無標度區(qū)與計算容積維數(shù)的方法一致。計算容積維數(shù)方法有人工判定法、擬合誤差法、強化系數(shù)法、相關系數(shù)檢驗法等。人工判定法優(yōu)點在于計算簡便、應用廣泛，判定無標度區(qū)間精度較高，可避免無標度區(qū)出現(xiàn)較大“漂移”現(xiàn)象。

容積維數(shù)定義為N(r)=cr-D，其中r為分形結構量度的單位半徑；N(r)為r量度分形結構所得的數(shù)量；c為分形結構不隨r而改變的常數(shù)[1]。對容積維數(shù)定義式兩邊取對數(shù)，有 lnN(r)=lnc-Dlnr。因此，通過lnN(r)-lnr關系曲線可判別土體結構無標度區(qū)間。根據(jù)土體 lnN(r)-lnr關系曲線直線段范圍可以確定多孔介質土體無標度區(qū)，不同試驗土樣無標度區(qū)范圍如圖2所示。圖2中散點變化趨勢出現(xiàn)2個拐點，拐點之間中部散點擬合后近似為一條直線，這一直線段所對應的量測尺度范圍為無標度區(qū)間，即土體顆粒自相似性的尺度區(qū)域，其線性相關越好則土體分形結構的無標度區(qū)越準確。試驗土樣統(tǒng)計分析結果表明，不同類別試驗土體無標度區(qū)差別很大，土體粒徑越大，具有統(tǒng)計自相似性的無標度區(qū)范圍越大，此時無標度區(qū)內細顆粒含量決定了土體大部分性質。圓礫無標度區(qū)粒徑范圍0.250～20.000 mm，中粗砂無標度區(qū)粒徑范圍0.250～10.000 mm，粉細砂無標度區(qū)粒徑范圍0.075～0.500 mm，黏土無標度區(qū)粒徑范圍0.002～0.005 mm。

圖2 不同試驗土樣無標度區(qū)范圍Fig.2 Scale-invariant space of different experimental soils

2.3 質量分形維數(shù)的計算

土體質量分形維數(shù)表征顆粒大小、數(shù)量及分布的均勻程度。以試驗土樣圓礫為例（土樣編號為2，見表2），計算土體質量分形維數(shù)，粒度分布曲線如圖3所示。由于土體顆粒具有非均質性、非連續(xù)性和不規(guī)則性，利用單一分形維數(shù)描述土體分形結構不夠全面。若不分段統(tǒng)計，相關系數(shù)為0.67，質量分形維數(shù)D=3-0.865 2=2.134 8，可靠性較差；若分兩段統(tǒng)計，各段擬合度較好，相關系數(shù)大于0.90，表明土體有兩個質量分形維數(shù)，若對粒徑小于0.10 mm進行統(tǒng)計，則質量分形維數(shù)D1=3-3.186 6＜0，表明土體均勻程度很高，此時已不具備分形規(guī)律；若對粒徑大于0.10 mm的土體進行統(tǒng)計，則質量分形維數(shù)D2=3-0.265 4=2.734 6，相關系數(shù)為0.94，可靠性較高。該圓礫大于0.10 mm的顆粒含量約96%，對土體結構穩(wěn)定性起主控作用，質量分形維數(shù)D=D2=2.734 6是合理的，此時質量分形維數(shù)可以表征土體大部分物理力學性質。此外，單一分形維數(shù)擬合精度低，無標度區(qū)范圍偏大，質量分形維數(shù)偏小，平均偏離幅度12.12%；多段分形維數(shù)擬合曲線的相關系數(shù)在0.88～0.99，利用多段分形維數(shù)確定土體無標度區(qū)和計算質量分形維數(shù)更為精確，更符合工程實際。

圖3 某圓礫的粒度分布曲線Fig.3 Round gravel size distribution curve

表2 不同試驗土樣質量分形維數(shù)與無標度區(qū)統(tǒng)計結果Tab.2 Statistical results of mass fractal dimension and scale-invariant space of different experimental soils

無標度區(qū)內土體細顆粒含量是決定土體質量分形維數(shù)的主要因素。當質量分形維數(shù)D=0時，表明土體由粒徑相等的顆粒組成；按粒徑分布確定的土體質量分形維數(shù)與其拓撲維數(shù)無直接關系，土體顆粒粒徑愈小，無標度區(qū)細粒含量愈高，則質量分形維數(shù)就愈大，表明土體顆粒組成愈不均勻。需要說明的是，理論上確定型分形模型質量分形維數(shù)D∈（2，3），在實際應用中，對于相對均勻的砂性土、黏性土等細粒料，具有統(tǒng)計意義的分形模型質量分形維數(shù)D∈（1，2）也是有意義的。簡言之，多孔介質土體質量分形維數(shù)表征顆粒質量累積特性，體現(xiàn)了土體顆粒級配、密實度、滲透性等物理力學性質，這對研究多孔介質土體滲透系數(shù)具有重要意義。

3 滲透系數(shù)與孔隙率分形公式理論推導

質量分形維數(shù)可以描述土體顆粒分布及質量累計的分形特征，但不能完全反映土體的滲透性能。多孔介質土體發(fā)生滲透破壞時（如管涌），土體可動細顆粒從孔隙通道不斷流失，質量分形維數(shù)發(fā)生變化，在滲流侵蝕作用下，孔隙通道逐漸擴展，滲透性能也隨之改變。因此，探究多孔介質土體滲透性能與質量分形維數(shù)之間分形關系尤為必要。滲透系數(shù)是反映土體滲透性能的重要指標，由于土體結構不規(guī)則性和復雜性，目前尚不能用統(tǒng)一的數(shù)學解析公式來表達滲透系數(shù)，工程上通常采用一些經(jīng)驗數(shù)值或經(jīng)驗公式，或根據(jù)室內土工試驗、現(xiàn)場原位試驗和數(shù)值試驗反演來確定土體滲透系數(shù)?？紤]到土體顆粒與孔隙從原子尺度到晶粒尺寸范圍內均表現(xiàn)出分形特征，從測度與尺度冪律關系出發(fā)，分析多孔介質土體微觀孔隙結構，推導滲透系數(shù)和孔隙率與分形維數(shù)之間解析關系，進一步探究多孔介質土體滲流分形特性。

假設多孔介質土體由一系列不等徑平行毛管束構成，斷面及空間分布見圖4。單位截面上半徑大于R的 毛細管總數(shù)N(R)與R呈冪律關系[12]，即：

圖4 多孔介質毛管束模型Fig.4 Pipe bundle model of porous medium

式中：a為 分形系數(shù)；R為 孔徑；D為分形維數(shù)。

式（3）兩邊求導，孔徑R～R+dR之間毛管數(shù)為：

根據(jù)圓管中層流運動的普瓦索伊（Poiseuille）公式[25]，單個孔隙通道流量q(R)為：

式中：γ為水的重度；μ為黏滯系數(shù)；h1-h2為水頭損失；L為 滲徑長度；A為截面面積。

通過某界面的總流量Q可以看成該界面內每個孔隙通道的流量q(R)在最小孔徑Rmin和最大孔徑Rmax之間進行積分，總流量Q為：

將式（4）、式（5）代入式（6），整理得：

根據(jù)達西定律，有：

式中：k為滲透系數(shù)；v為滲流速度；J為水力梯度。

將式（7） 代入式（8），整理得：

根據(jù)孔隙率定義，有：

式中：n為 孔隙率；Vp為毛管束孔隙體積；V為總體積。

將式（4）代入式（10），整理得：

由式（9）和式（11）可知，多孔介質土體滲透系數(shù)和孔隙率是分形系數(shù)、分形維數(shù)及孔隙尺寸的函數(shù)。若多孔介質土體分形維數(shù)、分形系數(shù)和孔隙尺寸不同，則滲透系數(shù)和孔隙率也會不同。嚴格意義上，滲透系數(shù)與孔隙率之間很難找到一種解析關系，鑒于多孔介質土體多孔隙性和孔隙分布不規(guī)則性，其最大孔徑遠大于最小孔徑，即：Rmin/Rmax→0，式（9）和式（11）可簡化為：

進一步地，多孔介質土體滲透系數(shù)和孔隙率與分形維數(shù)之間解析關系表達式為：

式中：C、b為常數(shù)

由式（14）可知，滲透系數(shù)由分形系數(shù)、孔徑大小、分形維數(shù)、流體黏滯系數(shù)共同決定；多孔介質土體滲透系數(shù)和孔隙率與分形維數(shù)之間解析關系為冪律函數(shù)，屬于典型的非線性關系。

4 滲透系數(shù)與孔隙率分形關系試驗驗證

分析天然土樣和人工土樣滲透破壞試驗數(shù)據(jù)[24]，進一步論證滲透系數(shù)、孔隙率與分形維數(shù)之間非線性關系。試驗相關過程如下：①具體操作參照《土工試驗方法標準》（GB/T 50123—2019），試驗采取連續(xù)加壓、逐級飽和的加水方式；②試驗一律在室溫下進行，土體幾何尺寸嚴格按照土工試驗方法標準執(zhí)行，試驗土體全部進行烘干處理，在充分飽和情況下開展試驗；③試驗過程中測量沿程測壓管滲壓水位及溢流量，觀察溢水渾濁程度及土料表面變化情況，當出現(xiàn)水力坡降急劇下降或滲透系數(shù)和溢流量突增10倍以上時，試驗結束。

試驗結果表明：土體分形維數(shù)和孔隙率理論值與試驗值變化趨勢較為吻合，孔隙率隨著分形維數(shù)的增大而減?。▓D5）?？紫堵试囼炛翟诶碚撝禂M合光滑曲線附近呈現(xiàn)區(qū)域性振蕩，最大相對誤差為18%，可能與公式推導假定和試驗系統(tǒng)誤差有關。土體分形維數(shù)和滲透系數(shù)理論值與試驗值變化趨勢基本一致（圖6）。滲透系數(shù)試驗值比理論值偏大，最大相對誤差為15%，可能與試驗裝置和試驗條件有關。試驗結果論證了多孔介質土體孔隙率和滲透系數(shù)與分形維數(shù)成反比關系。當分形維數(shù)D＞2.83時，孔隙率隨著分形維數(shù)增大而減小的規(guī)律更為顯著，而滲透系數(shù)隨著分形維數(shù)增大而減小的規(guī)律不明顯。究其原因，分形維數(shù)表征單位體積下顆粒逐級積累特性，填充在土骨架與孔隙之間可動細顆粒數(shù)量越多，土體孔隙率越小。假設一種理想情況，細顆粒不斷填充土體骨架孔隙，土體結構形態(tài)隨之發(fā)生變化，由松散的砂礫石逐漸過渡到中等密實的粉細砂，最后形成密實的黏土。當過渡到黏土階段時，在顆粒之間吸著水和薄膜水形成的黏聚力作用下，孔隙率進一步減小，由于水氣和氣泡的存在，真正流過孔隙的水量減少，鑒于滲透系數(shù)表征流體通過骨架孔隙的難度程度，因而滲透系數(shù)減少相對緩慢。

圖5 土體分形維數(shù)和孔隙率理論值與試驗值對比Fig.5 Comparison between theoretical values and experimental results of soil fractal dimension and porosity

圖6 土體分形維數(shù)和滲透系數(shù)理論值與試驗值對比Fig.6 Comparison between theoretical values and experimental results of soil fractal dimension and permeability coefficient

多孔介質土體滲透系數(shù)、孔隙率與分形維數(shù)之間解析關系可以為實際工程滲透系數(shù)的選取提供參考依據(jù)。先根據(jù)地勘資料提供的顆粒組成，繪制土體顆粒級配曲線，在雙對數(shù)坐標軸下繪出質量百分含量與粒徑之間線性相關曲線，確定土體無標度區(qū)，計算土體分形維數(shù)；再根據(jù)式（14）和地勘資料里提供的孔隙率數(shù)值，求出土體滲透系數(shù)。與傳統(tǒng)現(xiàn)場試驗或室內試驗測定滲透系數(shù)方法相比，采用分形方法求取滲透系數(shù)避免了取樣擾動和測量誤差，計算簡便。鑒于多孔介質土體分形維數(shù)綜合反映了顆粒累積特性和孔隙大小及分布特征，可以深入研究土體分形維數(shù)在滲透破壞過程中的演變規(guī)律，為巖土工程滲透破壞非線性力學行為提供新的認知。

5 結 語

（1）無標度區(qū)是準確計算多孔介質土體質量分形維數(shù)的前提，采用多段分形維數(shù)量化土體無標度區(qū)更符合工程實際。圓礫無標度區(qū)粒徑范圍為0.25～20.00 mm；中粗砂無標度區(qū)粒徑范圍為0.25～10.00 mm；粉細砂無標度區(qū)粒徑范圍為0.075～0.500 mm；黏土無標度區(qū)粒徑范圍為0.002～0.005 mm。

（2）無標度區(qū)內土體細顆粒含量是決定土體質量分形維數(shù)的主要因素。土體顆粒粒徑愈小，無標度區(qū)顆粒比重愈大，細粒含量愈高，則土體質量分形維數(shù)愈大，表明土體顆粒組成愈不均勻。

（3）滲透系數(shù)與孔隙率之間冪律函數(shù)解析公式適用于層流狀態(tài)下具有分形結構的多孔介質土體無標度區(qū)。滲透系數(shù)影響因子包括分形系數(shù)、孔徑大小、分形維數(shù)及流體黏滯系數(shù)，其中分形維數(shù)是主要因素。

（4）土體孔隙率、滲透系數(shù)與分形維數(shù)成反比關系。分形維數(shù)越大，表明細顆粒填充在土體骨架孔隙數(shù)量越多，相應孔隙率越小。當分形維數(shù)大于2.83時，孔隙率隨著分形維數(shù)增大而減小的規(guī)律顯著，在顆粒之間吸著水和薄膜水形成的黏聚力影響下，滲透系數(shù)隨著分形維數(shù)增大而減小的規(guī)律較不明顯。

本文針對滲透系數(shù)、孔隙率與分形維數(shù)之間非線性關系進行了理論分析和試驗驗證，其適用范圍及推廣應用仍需進一步深入研究。