大概念：數(shù)學(xué)理解與教學(xué)的基點(diǎn)
——以“平面”一課為例

呂增鋒

（浙江省象山縣第二中學(xué)，浙江 寧波 315731）

數(shù)學(xué)理解是正確、有效教學(xué)的基礎(chǔ)，也是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)。教師只有真正地理解數(shù)學(xué)，才有可能把知識(shí)教“活”而不是教“死”［1］。雖然，“為理解而教，為理解而學(xué)”已經(jīng)成為廣大一線教師的共識(shí)，但要達(dá)成真正“理解”卻并非易事。

一、教學(xué)問(wèn)題剖析

最近，象山縣舉行了教壇新秀課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)，上課的主題是人教A版必修第二冊(cè)立體幾何初步中的“8.4.1 平面”，由于參賽的6 位教師“理解”得不夠到位，導(dǎo)致教學(xué)中出現(xiàn)一系列問(wèn)題。

1.教學(xué)結(jié)構(gòu)“碎片化”

“平面”這節(jié)課內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，但其中涉及的知識(shí)點(diǎn)卻比較多，有平面的基本特征、平面的畫法、平面的表示、三個(gè)基本事實(shí)、三個(gè)推論、實(shí)際應(yīng)用等。6 位教師教學(xué)雖然都按照“定義—表示—基本事實(shí)—概念辨析”的邏輯順序展開，但由于沒有厘清知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，比如，三個(gè)基本事實(shí)與“平面”基本特征存在什么關(guān)系、三個(gè)基本事實(shí)之間又有什么聯(lián)系，從而導(dǎo)致課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)松散，呈現(xiàn)出“碎片化”狀態(tài)。

2.教學(xué)難度“隨意化”

在這6 節(jié)課中，有些課無(wú)視學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)平面幾何與空間簡(jiǎn)單幾何體的事實(shí)，生怕學(xué)生學(xué)不會(huì)，所有的知識(shí)點(diǎn)都事無(wú)巨細(xì)地向?qū)W生解釋一遍；有些課無(wú)視“用符號(hào)語(yǔ)言表示點(diǎn)、線、面簡(jiǎn)單位置關(guān)系”的教學(xué)要求，竟然把空間中的平行、垂直等復(fù)雜關(guān)系的符號(hào)表示也納入進(jìn)來(lái)，甚至還要求學(xué)生運(yùn)用基本事實(shí)與推論來(lái)證明空間中比較復(fù)雜的共線、共面問(wèn)題。教學(xué)難度設(shè)置“隨意化”，使得教學(xué)與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平相脫離。

3.教學(xué)手段“無(wú)效化”

在本節(jié)課中，三個(gè)基本事實(shí)的獲得是公認(rèn)的難點(diǎn)，有教師就借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這個(gè)手段來(lái)進(jìn)行：給學(xué)生發(fā)放用紙卷起來(lái)的小棍，要求學(xué)生用最少數(shù)量的小棍把卡紙支撐起來(lái)，其初衷是為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三點(diǎn)支撐”具有“穩(wěn)定性”，從而獲得“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”的基本事實(shí)。但在操作中，有學(xué)生用1 根小棍，即“1 點(diǎn)”就把卡紙立起來(lái)了，也有學(xué)生用了2 根小棍把卡紙支撐起來(lái)了，結(jié)果不僅沒有收到預(yù)期的效果還引發(fā)了不必要的爭(zhēng)論。究其原因，就是物理的“穩(wěn)定性”與“平面的確定性”并不是兩個(gè)等價(jià)概念，要達(dá)到穩(wěn)定并非要形成確定的平面，而平面也并非意味著穩(wěn)定，而且紙棍有粗細(xì)、卡片有厚度與寬度，這更增加了結(jié)論的不確定性。

二、大概念的內(nèi)涵及分類

那么，有沒有促使“理解”的辦法？那就是站在數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的高度開展數(shù)學(xué)理解。大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價(jià)值［2］，是“居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念整合相關(guān)知識(shí)、原理、技能、活動(dòng)等課程內(nèi)容要素，形成有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊”［3］。大概念能夠解釋較大范圍內(nèi)的一系列相關(guān)現(xiàn)象、事實(shí)以及相互關(guān)系；能將較大范圍內(nèi)分散的知識(shí)和事實(shí)聯(lián)結(jié)為有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)的整體；能作為一種解釋模型，賦予個(gè)別的、具體的事實(shí)以深層的意義。

按照大概念所在的層級(jí)，由高到低可以被細(xì)分為課程大概念、單元大概念、章節(jié)大概念、課時(shí)大概念。課程大概念處頂尖位置，其下面的三個(gè)“大概念”相對(duì)于它來(lái)說(shuō)就成了“小概念”或者“次要概念”；同樣，課時(shí)大概念、章節(jié)大概念，相對(duì)于單元大概念來(lái)說(shuō)，也是“小概念”“次要概念”，這也說(shuō)明了大概念的“大”具有相對(duì)性，在每個(gè)層級(jí)中都有處于統(tǒng)攝地位的“大”概念。對(duì)于本節(jié)課而言，“幾何學(xué)是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的基石”是其中的一個(gè)課程大概念，“立體幾何是研究空間中數(shù)量與位置關(guān)系的科學(xué)”是其中的一個(gè)單元大概念，“點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系”是其中的一個(gè)章節(jié)大概念，“平面的無(wú)線延展與平的特性”是其中一個(gè)課時(shí)大概念。

按照大概念的教學(xué)功能來(lái)分，可以被分為指向“數(shù)學(xué)是什么”“數(shù)學(xué)如何學(xué)”“數(shù)學(xué)有什么用”“數(shù)學(xué)怎樣才算學(xué)得好”的大概念。當(dāng)然這些指向有的是“明指”，有的是“暗指”。比如，“幾何學(xué)是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的基石”明指“幾何學(xué)是基石”，暗指“幾何學(xué)在數(shù)學(xué)中的基石作用”；又比如，“平面的無(wú)線延展與平的特性”明指“平面具有的特性”，暗指“學(xué)習(xí)平面應(yīng)該知道平面的這些特性”。

三、大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)理解與教學(xué)

從大概念中教師可以獲得數(shù)學(xué)“學(xué)什么”“如何學(xué)”“學(xué)得怎樣”等關(guān)鍵信息，因此，立足大概念開展數(shù)學(xué)理解，不僅可以讓教師知道教什么，而且還知道為什么而教；不僅能幫助教師深入理解學(xué)生，而且還能深入理解設(shè)計(jì)——單元設(shè)計(jì)、活動(dòng)設(shè)計(jì)、問(wèn)題設(shè)計(jì)等。不僅如此，教師還能用自己豐富的專業(yè)知識(shí)，借助大概念引領(lǐng)學(xué)生像專家那樣思考，使學(xué)生也成為學(xué)習(xí)的專家。

1.立足“學(xué)什么”的大概念，實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化

通常情況下，知識(shí)點(diǎn)是零碎地分布在教材中，數(shù)學(xué)理解的第一步就是要厘清這些知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，尋找統(tǒng)攝整個(gè)教學(xué)內(nèi)容的“主線”，把知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成囊括數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法的網(wǎng)狀認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而為學(xué)生提供一個(gè)統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃的認(rèn)知體系。而“主線”往往需要借助“學(xué)什么”的大概念來(lái)確定。

作為研究空間線面位置關(guān)系的起始課，本節(jié)課要學(xué)習(xí)的并不是幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而是重在體驗(yàn)“研究立體幾何的基本套路”，即“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證—度量計(jì)算”，這就是這節(jié)課“學(xué)什么”的大概念。在此基礎(chǔ)上，把“基本套路”進(jìn)一步細(xì)化，還可以衍生出一系列的“小套路”。比如，發(fā)現(xiàn)公理與定理的套路：生活現(xiàn)象（經(jīng)驗(yàn)）——數(shù)學(xué)原理，即通過(guò)觀察生活現(xiàn)象，聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，提煉隱藏在其背后的數(shù)學(xué)原理；又比如，借助新的幾何對(duì)象來(lái)判斷空間位置關(guān)系的套路：借助“點(diǎn)”是否在平面內(nèi)來(lái)判斷線是否在平面上、利用線線平行來(lái)判斷線面平行等。相比“基本套路”這個(gè)大概念，這些“小套路”可以看作“次要概念”“小概念”。大概念就是本節(jié)課的教學(xué)主線，而這些“次要概念”“小概念”可以作為構(gòu)建網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)，具體如圖1所示。

圖1 大小概念間的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖

2.立足“如何學(xué)”的大概念，構(gòu)建教學(xué)過(guò)程

數(shù)學(xué)教學(xué)的對(duì)象是學(xué)生，教學(xué)的起始點(diǎn)應(yīng)基于學(xué)情。因此，數(shù)學(xué)理解的第二步就是從“如何學(xué)”的大概念出發(fā)，圍繞知識(shí)層面、思維層面與核心素養(yǎng)層面對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行詳細(xì)診斷，即了解學(xué)生已經(jīng)知道了什么、還有什么是不知道的、學(xué)習(xí)中可能遇到哪些困難等，從而為構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知方式的教學(xué)過(guò)程提供依據(jù)。

立體幾何是平面幾何在三維空間中的拓展與推廣，平面幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到立體幾何的學(xué)習(xí)中。因此，“類比平面幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)歷”就是這節(jié)課其中一個(gè)“如何學(xué)”的大概念。比如，通過(guò)在初中平面幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知道“點(diǎn)無(wú)大小”“線無(wú)粗細(xì)”，類比后可獲得“平面無(wú)厚薄”的結(jié)論；學(xué)生知道“直線沿兩端無(wú)限延伸”，類比后可發(fā)現(xiàn)“平面向四周無(wú)限延伸”；學(xué)生知道“動(dòng)點(diǎn)成線”，類比后發(fā)現(xiàn)“動(dòng)線成面”“動(dòng)面成體”；學(xué)生知道“兩點(diǎn)確定一條直線”，類比后可以得出“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”；還可以類比直線的表示方法來(lái)表示平面……總之，通過(guò)類比，幾乎可以發(fā)現(xiàn)和獲得這節(jié)課的所有知識(shí)內(nèi)容。

本節(jié)課還有一個(gè)重要的“如何學(xué)”的大概念，就是“動(dòng)手操作”或者說(shuō)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”，它是發(fā)現(xiàn)“三個(gè)基本事實(shí)”的必要手段。雖然學(xué)生不乏“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的經(jīng)歷，但卻鮮有對(duì)實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的思考。實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)取決于實(shí)驗(yàn)?zāi)康模裟康牟幻骶秃苋菀壮霈F(xiàn)課例中那樣的無(wú)效實(shí)驗(yàn)。從表面上看，發(fā)現(xiàn)“三個(gè)基本事實(shí)”是本次實(shí)驗(yàn)的目的，但由于事先不清楚這“三個(gè)基本事實(shí)”的內(nèi)在邏輯關(guān)系，學(xué)生很難從實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)原理，最終只能是教師直接給出“希望學(xué)生看到的結(jié)果”。實(shí)際上，“三個(gè)基本事實(shí)”都是為了說(shuō)明平面的“平”這一本質(zhì)屬性，即分別用“點(diǎn)”“線”“面”三個(gè)幾何對(duì)象來(lái)刻畫平面的“平”。因此，“驗(yàn)證平面的平”才是指導(dǎo)本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的大概念。

在這個(gè)大概念的引領(lǐng)下，可以設(shè)計(jì)這樣的三個(gè)實(shí)驗(yàn)（如圖2）：分別用四只腳的凳子、直尺、三角尺來(lái)驗(yàn)證地面是否平整，然后對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析，抽象出一般的數(shù)學(xué)原理。對(duì)于第一個(gè)實(shí)驗(yàn)，如果凳子會(huì)搖晃，說(shuō)明桌子的四只腳不在同一平面內(nèi)，地面不平。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果地面是平的，如果凳子的四只腳中有三只腳在地面上，那么另一只也一定在地面上。把凳腳抽象為點(diǎn)，由此就可以發(fā)現(xiàn)“基本事實(shí)1”。對(duì)于第二個(gè)實(shí)驗(yàn)，在地面上任意位置放置直尺，如果地面不平，那么直尺應(yīng)該與地面有縫隙，直尺不能完全落在地面上；反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果地面是平的，只要保證直尺兩端緊貼地面，直尺就貼緊地面。把直尺抽象為直線，由此可以發(fā)現(xiàn)“基本事實(shí)2”。對(duì)于第三個(gè)實(shí)驗(yàn)，要驗(yàn)證地面平，一種方法是把三角尺平放在地面各處，看看是否有空隙，如果沒有就表示平，反之就不平；還有一種方法，就是把三角尺立起來(lái)，用其中一個(gè)尖角插入到地面（想象地面是軟的），如果插口呈現(xiàn)的都是直線的話，說(shuō)明地面是平的，反之就不平。把三角尺看成平面，由此可以發(fā)現(xiàn)“基本事實(shí)3”。

圖2 驗(yàn)證“平面是平”的實(shí)驗(yàn)

3.立足“學(xué)得怎樣”的大概念，設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)

最后，要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)不僅要求具有明確的指向性，體現(xiàn)引領(lǐng)教與學(xué)的功能，而且還要在尊重學(xué)生差異的基礎(chǔ)上，通過(guò)設(shè)置多角度、多層次的評(píng)價(jià)任務(wù)來(lái)考查學(xué)生對(duì)于大概念的理解。因此，數(shù)學(xué)理解的第三步就是要在明確“學(xué)得怎樣”的大概念下來(lái)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)。

顯然，“用符號(hào)語(yǔ)言表示空間幾何關(guān)系”與“用直觀想象與演繹推理判斷、證明空間位置關(guān)系”是用來(lái)檢驗(yàn)本節(jié)課“學(xué)得怎樣”的大概念。由于剛剛開始進(jìn)行空間位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，因此評(píng)價(jià)任務(wù)的難度一定要控制得當(dāng)。下面是筆者設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)任務(wù)。

評(píng)價(jià)任務(wù)1-1（1）（難度★）點(diǎn)A在直線l 上，l 在平面α外，正確的表示是（）

A.A∈l，l?αB.A∈l，l?α

C.A?l，l?αD.A?l，l?α

（2）（難度★★）如果點(diǎn)A在直線a 上，而直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)B在平面α內(nèi)，則可以表示為（）

A.A?a，a?α，B∈αB.A∈a，a?α，B∈α

C.A?a，a∈α，B?αD.A∈a，a∈α，B∈α

評(píng)價(jià)任務(wù)1-2（難度★★★）把下列語(yǔ)句符號(hào)化，并畫出相應(yīng)圖形。

（1）平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B；

（2）點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a 與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上。

評(píng)價(jià)任務(wù)2-1（難度★★★）如圖3，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由：

圖3

（1）直線B′D在平面BB′D′D內(nèi)；

（2）設(shè)正方形ABCD和A′B′C′D′的中心分別為O，O′，則平面ACC′A′與平面DBB′D′的交線為OO′；

（3）由點(diǎn)B、O、D可以確定一個(gè)平面；

（4）由點(diǎn)B′、D、C所確定的平面是A′DCB′；

（5）由點(diǎn)B′、D、C所確定的平面與點(diǎn)B′，A′，D確定的平面是同一個(gè)平面。

評(píng)價(jià)任務(wù)2-2利用基本事實(shí)證明三個(gè)推論。（其中推論1與推論2的證明難度★★，推論3的證明難度★★★★）

評(píng)價(jià)任務(wù)2-3（難度★★★★）如圖4，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且直線EF與直線FG交于點(diǎn)O，求證：B，D，O三點(diǎn)共線。

圖4

每個(gè)評(píng)價(jià)任務(wù)都設(shè)置了相應(yīng)的難度星級(jí)，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平靈活選擇。學(xué)生在完成評(píng)價(jià)任務(wù)的過(guò)程中，教師不僅要讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)與技能，而且還要向?qū)W生揭示評(píng)價(jià)任務(wù)背后的大概念，比如，“類比平面幾何學(xué)習(xí)立體幾何”“研究立體幾何的基本套路”“平面是無(wú)限延展與平的特性”等。

借助大概念來(lái)開展數(shù)學(xué)理解，不僅能夠使離散的事實(shí)、技能相互聯(lián)系、結(jié)構(gòu)化，并被賦予一定意義，而且能夠引導(dǎo)學(xué)生超越對(duì)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，走向那些超越時(shí)空和情境所存在的、可遷移的觀點(diǎn)和思想［4］，從而使得數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有跡可循、核心素養(yǎng)培育有據(jù)可依?！?/p>