解決數(shù)學問題
——《4.2 數(shù)值計算》（第一課時）教學設(shè)計

許月媚 廣東省廣州市南武中學

數(shù)學是計算機科學的理論基礎(chǔ)之一，計算機技術(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展最初源于數(shù)學問題求解。由于自然科學領(lǐng)域需要進行大量的數(shù)值計算，而人工計算又存在效率落后、精確度低等不足，往往無法滿足計算要求，因此，就需要借助計算機程序來彌補人工計算的不足，同時解決很多數(shù)學方法所描繪的數(shù)值計算問題。

● 學習內(nèi)容分析

本課節(jié)選自2019年教科版《必修1 數(shù)據(jù)與計算》第4單元“計算與問題解決”第2節(jié)《數(shù)值計算》，旨在幫助學生在了解算法及其特征的基礎(chǔ)上，學會分析問題，運用數(shù)值類問題求解的常用算法——解析法來解決實際問題。本課為《數(shù)值計算》的第一課時，重在實現(xiàn)學科知識的融通，將數(shù)學函數(shù)解析式求解與計算機模擬相融合，突出計算機在解決問題過程中的地位和作用。通過“解決數(shù)學問題”案例活動，引導學生體驗和探討計算機解決問題的過程。

● 學習者分析

本課的學習對象為高一年級的學生，他們雖然在數(shù)學、物理課上經(jīng)常運用解析法解決問題，但很少能夠主動利用計算機程序?qū)崿F(xiàn)問題求解。經(jīng)過第2單元“編程計算”的學習，學生基本具備本節(jié)案例學習的知識儲備——程序設(shè)計的三大結(jié)構(gòu)、輸入輸出函數(shù)、列表、自定義函數(shù)、模塊等，但考慮到大多數(shù)學生對程序設(shè)計知識的遺忘率較高，在教學過程中有必要對相關(guān)知識進行鞏固，以提高課堂教學的有效性。

● 學習目標

①了解解析法的概念以及計算機繪制函數(shù)圖像的基本原理。②掌握計算機編程解決問題的一般過程，能夠根據(jù)實際問題來抽象問題特征、建立結(jié)構(gòu)模型、合理組織數(shù)據(jù)、設(shè)計算法方案，進而掌握Python繪制圖像的基本方法。③通過數(shù)學問題的求解，逐步理解計算機進行數(shù)值計算的基本流程和方法，并能夠?qū)⑵溥w移至學習和生活場景中的其他問題解決過程中。

● 教學過程

1.導入新課，提出問題

學習目標：①設(shè)計解析式進行數(shù)值計算、解決實際問題；②感受數(shù)據(jù)的圖形化表示；③了解解析算法在實際問題解決過程中的應(yīng)用。

導入：計算機的最初用途是用于數(shù)值計算，它運算速度快，精確度高，借助它可以解決許多數(shù)學問題。

提出問題：如何選擇最優(yōu)化草莓支付方案？某草莓采摘園在春節(jié)期間推出了甲、乙兩種優(yōu)惠方案，優(yōu)惠前的草莓定價為50元/kg。甲種優(yōu)惠方案：游客進園需要購買40元的門票（每個家庭購買一張門票），采摘的草莓均按定價的六折賣給采摘游客。乙種優(yōu)惠方案：游客進園不需購買門票，采摘的草莓按定價出售，但超過3kg后，超過的部分按定價的五折賣給采摘的游客。問題一：采摘8kg草莓，選擇哪個方案更優(yōu)惠？問題二：采摘重量在什么范圍時，游客選用甲種優(yōu)惠方案更合算？

設(shè)計意圖：讓學生明確本節(jié)課的學習主題，了解學習目標及內(nèi)容。

2.問題一求解，分析問題

問題一求解：已知采摘重量求費用——采摘8kg草莓，選擇哪個方案更優(yōu)惠？

思考1布置：請用數(shù)學方法求解該問題。假設(shè)采摘草莓的重量為x（kg），甲種優(yōu)惠方案采摘所需的總費用為y1（元），乙種優(yōu)惠方案采摘所需的總費用為y2（元），列出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。

設(shè)計意圖：引導學生思考、設(shè)想，調(diào)動學生已有的知識儲備，對問題進行分析，通過數(shù)學方法解決問題一。

3.問題一求解，解決問題

提問：采摘重量不定，如何快速選擇費用方案？

編程解決問題：嘗試用計算機編程去解決，設(shè)計費用計算器。通過流程圖表示計算器的功能設(shè)計（如圖1），結(jié)合數(shù)學方法來設(shè)計解決問題的算法。

圖1 流程圖

提問：我們知道甲種方案是一個分段函數(shù)，分段函數(shù)在編程中如何實現(xiàn)？

講解：復習自定義函數(shù)；講解分段函數(shù)關(guān)鍵代碼。

任務(wù)1布置：用解析法設(shè)計費用計算器——打開圖2的Python程序文件，補充并調(diào)試運行程序。

圖2 Python程序文件

任務(wù)1參考答案：①float；②50*0.6*x+40；③0＜=x＜=3；④y=25*x+75；⑤f(x)。

講解：①計算機編程解決問題的一般流程（如圖3）。②解析法：用解析的方法提出問題條件與結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學表達式，并通過表達式的計算來實現(xiàn)問題求解。

圖3 計算機編程解決問題的一般流程

小結(jié)：基于解析法的問題解決流程（如圖4）。

圖4 基于解析法的問題解決流程

設(shè)計意圖：針對問題一的求解過程，分析問題環(huán)節(jié)已完成數(shù)學方法解決問題的基礎(chǔ)鋪墊，此部分旨在讓學生完成費用計算器的程序編寫，實現(xiàn)計算機編程解決問題。通過問題引導，讓學生以填空的形式編寫程序，降低難度，能夠消除學生的畏難情緒；通過數(shù)學問題的求解，幫助學生理解解析法的概念與應(yīng)用，著重培養(yǎng)學生的計算思維能力，實現(xiàn)知識建構(gòu)。

4.問題二求解，分析問題

問題二求解：比較不同的優(yōu)惠方案——采摘重量在什么范圍時，游客選用甲種優(yōu)惠方案采摘更合算？

思考2布置：數(shù)學上有哪些解決該問題的方法？請選擇其中一種并作簡單描述。

解決問題的方法：①比較法，通過計算解析式得出結(jié)果；②列表法，通過計算能得到選定的x，y數(shù)值；③圖像法，繪制函數(shù)圖像，觀察圖像。

設(shè)計意圖：學生思考，對問題進行分析，通過數(shù)學方法解決問題二。

5.問題二求解，解決問題

提問：用哪種方法更適合快速找到區(qū)間范圍？數(shù)學上如何繪制函數(shù)圖像？

講解：①圖像法繪圖步驟：列表—描點—連線。②計算機編程繪制函數(shù)圖像與數(shù)學方法繪制函數(shù)圖像相似：使用numpy模塊列表（numpy模塊講解）；使用matplotlib模塊描點、連線（matplotlib模塊講解）。

任務(wù)2布置：編程繪制圖像——打開如圖5所示的Python程序文件，補充并調(diào)試運行程序。

圖5 Python程序文件

設(shè)計意圖：對比解決同一問題的不同方法，可以讓學生感受不同問題解決方法的差異，并學會選擇效率高、效果好的方法。對于問題二求解，圖像法更適合快速找到區(qū)間范圍。數(shù)學繪制函數(shù)圖像的步驟能夠促進學生理解計算機編程繪圖的步驟，讓學生理解Python在程序設(shè)計中的優(yōu)勢，激發(fā)學習的熱情。

任務(wù)2參考答案：①f(i)；②np.arange；③50*0.6*x1+40；④plt.plot；⑤plt.show。

6.知識鞏固，目標達成

知識小測：

（1）計算圓面積的算法描述如下：①輸入圓的半徑r，②計算圓的面積s=pi*r**2，③輸出圓的面積s，④結(jié)束。這個算法是屬于（ ）？（單選題）

A.枚舉法 B.解析法 C.二分法 D.迭代法

（2）人們對計算機的最初應(yīng)用大多是數(shù)值計算，主要借助計算機運算速度快、精確度高的特點來解決各種數(shù)學問題，如（ ）等都屬于數(shù)值計算。（多選題）

A.函數(shù)的計算 B.方程的求解C.數(shù)列求和 D.二分查找

（3）嘗試用Python繪制y=x^2-2x+1的圖像（如圖6）。（完善程序）

圖6 Python繪制y=x^2-2x+1的圖像

設(shè)計意圖：知識鞏固，檢查目標達成情況。

知識小測參考答案：（1）B。（2）ABC。（3）①import；②arange；③plot；④show。

7.總結(jié)歸納，知識建構(gòu)

引導學生歸納、總結(jié)、梳理本節(jié)課的學習內(nèi)容，進行知識提煉，實現(xiàn)知識建構(gòu)，并能夠?qū)⒗眯畔⒓夹g(shù)解決問題的過程遷移到學習和生活場景中的其他問題解決過程中。

● 教學反思

本節(jié)課采用“提出問題——分析問題——解決問題——目標達成——知識建構(gòu)”的教學模式，以學生熟悉的數(shù)學問題作為活動主線，通過典型、針對性強的生活案例，將相關(guān)基本概念、解題方法和思路傳授給學生。

教材第2單元已提及計算機解決問題的本質(zhì)，即分析解決問題的方法和步驟，用計算機能夠識別的方式表示信息，使其成為計算機能夠處理的數(shù)據(jù)。以新課標為依據(jù)，活用教材，本教學設(shè)計圍繞“設(shè)計費用計算器”和“繪制函數(shù)圖像”兩個任務(wù)來開展教學，在任務(wù)一“設(shè)計費用計算器”中，可借助學案導學，引導學生從數(shù)學求解入手，啟發(fā)思維，讓學生逐步形成使用自然語言或流程圖描述算法的思路。任務(wù)一的核心是研究合理的數(shù)學模型和求解算法，任務(wù)二“繪制函數(shù)圖像”是任務(wù)一的延伸，難度也有所增加，程序中numpy模塊和matplotlib模塊的加入以及自定義函數(shù)的運用需要教師做好講解。在教學中筆者也發(fā)現(xiàn)，階梯式的任務(wù)設(shè)計有助于激發(fā)學生學習的積極性和求知欲，采用數(shù)學函數(shù)解析式求解與計算機模擬相融合的方式，有利于培養(yǎng)學生的信息意識，并在探究實踐、驗證及解決問題的過程中促進學生的知識遷移，發(fā)展學生的計算思維。