走出習(xí)慣藩籬　走向深度學(xué)習(xí)

摘? ?要：固有數(shù)學(xué)習(xí)慣與教學(xué)流程目前在一定程度上還充斥著課堂。以“小數(shù)乘小數(shù)”教學(xué)為例，教師要從精算到估算、算法到算理、單一到多元、點(diǎn)狀到塊狀四個(gè)方面對(duì)固有習(xí)慣的教學(xué)流程進(jìn)行深刻地反思，重構(gòu)課堂教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué)流程;習(xí)慣;深度學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G623.5? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009-010X（2022）19/22-0076-05

一根小小的柱子，一截細(xì)細(xì)的鏈子，卻能拴得住一頭千斤重的大象！這看似不可思議的場(chǎng)景在印度和泰國(guó)卻隨處可見(jiàn)。究其原因，原來(lái)馴象人在大象還是幼象的時(shí)候，就用一條鐵鏈將它拴在水泥柱或鋼柱上，無(wú)論幼象怎么掙扎都無(wú)法掙脫。幼象漸漸地習(xí)慣了束縛，直到長(zhǎng)成了大象，在它可以輕而易舉地掙脫鏈子時(shí)，也不會(huì)再掙扎了。

從上面的小故事中，我們可以看出習(xí)慣的力量是巨大的，習(xí)慣成自然，但未必合理。這對(duì)于我們的課堂教學(xué)也具有積極的啟示意義。失真的教材解讀、失當(dāng)?shù)慕虒W(xué)流程、失誤的教學(xué)用語(yǔ)、失范的教態(tài)動(dòng)作……一定程度上還充斥著我們的課堂，而我們往往對(duì)此卻習(xí)以為常，并未發(fā)現(xiàn)其中的不當(dāng)。大家常常在遵循著別人的習(xí)慣、或者按照自己已經(jīng)習(xí)慣了的“習(xí)慣”進(jìn)行著膚淺的程式化教學(xué)。佐藤學(xué)先生在《課程與教師》中指出，教師應(yīng)由技術(shù)熟練者轉(zhuǎn)化為反思性實(shí)踐家。海涅有言：“反省是一面鏡子，它能將我們的錯(cuò)誤清清楚楚地照出來(lái)，使我們有改正的機(jī)會(huì)?！蔽覀儜?yīng)對(duì)習(xí)慣保有警醒的自覺(jué)，走出習(xí)慣藩籬，重構(gòu)課堂教學(xué)。

筆者以五年級(jí)“小數(shù)乘小數(shù)”教學(xué)為例，對(duì)固有習(xí)慣的教學(xué)流程進(jìn)行了深刻地反思，以期走出不良習(xí)慣窠臼，引領(lǐng)學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)。

一、精算到估算——先后順序的考量

1983年，美國(guó)高質(zhì)量教育委員會(huì)在《國(guó)家處于危險(xiǎn)之中》這一報(bào)告中就認(rèn)為，在中小學(xué)估算和心算比復(fù)雜的筆算更有價(jià)值?？谒?、筆算與估算是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的重要組成部分?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）則更關(guān)注估算的背景與學(xué)生生活實(shí)際的關(guān)系，更強(qiáng)調(diào)估算作為一種培養(yǎng)數(shù)感、增強(qiáng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的功能，注重估算的實(shí)踐功能。

在平日教學(xué)中，教師的習(xí)慣一般是先讓學(xué)生估算，再嘗試豎式筆算，最后再用精算結(jié)果反向佐證估算方法的合理性與估算結(jié)果的正確性。這樣的教學(xué)，使估算一定程度上成為教師外在要求之下的被動(dòng)行為，學(xué)生缺少內(nèi)在主動(dòng)的估算意識(shí)，估算的價(jià)值未能充分彰顯;先估算之后還要再精算，使估算似乎可有可無(wú)。教學(xué)中，可以反其道而行之，對(duì)精算和估算的先后順序進(jìn)行充分地考量，以有效彰顯估算的價(jià)值意義。

教師出示例題（見(jiàn)下圖）。

師：這是小明房間和外面陽(yáng)臺(tái)的平面圖，從圖中，你能知道哪些數(shù)學(xué)信息？又能提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

生：房間和陽(yáng)臺(tái)都是長(zhǎng)方形的，房間的長(zhǎng)是3.8米，陽(yáng)臺(tái)的長(zhǎng)是1.15米，房間和陽(yáng)臺(tái)的寬都是3.2米。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算小明房間和陽(yáng)臺(tái)的周長(zhǎng)與面積。

師：小明房間的面積怎么計(jì)算？

生：用房間的長(zhǎng)3.8米乘房間的寬3.2米，列式為3.8×3.2。

師：在前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了小數(shù)乘整數(shù)，而現(xiàn)在的乘法算式中，兩個(gè)因數(shù)都是小數(shù)，根據(jù)以往乘法豎式計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，你覺(jué)得3.8×3.2可以怎樣列豎式計(jì)算呢，同學(xué)們可以自己動(dòng)筆先試一試。（呈現(xiàn)學(xué)生生成答案）

師：這里有兩種算法，其中至少有一個(gè)答案是錯(cuò)誤的，你能一眼就把它找出來(lái)嗎？

生1：可以把3.8看成4，4×3.2=12.8，面積比12.8平方米小。

生2：也可以把3.2看成3，3.8×3=11.4，面積比11.4平方米大。

生3：還可以把3.8和3.2分別看成4和3，4×3=12，面積在12平方米左右。

根據(jù)學(xué)生回答，相機(jī)出示：

生4：通過(guò)剛才的估算，我們可以確定3.8×3.2的積應(yīng)該大于11.4而小于12.8，并且在12左右，由此判斷，121.6是錯(cuò)誤的。

內(nèi)省是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是深度學(xué)習(xí)的必然。華中師范大學(xué)郭元祥教授用“U型學(xué)習(xí)”概括杜威的經(jīng)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程理論，其第三環(huán)節(jié)即“上浮”，也就是反思性思維過(guò)程。受小數(shù)加減豎式計(jì)算方法的負(fù)遷移，部分學(xué)生將乘積的小數(shù)點(diǎn)與積的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，算出答案121.6。此時(shí)，教師因勢(shì)利導(dǎo)，以學(xué)定教，讓學(xué)生反思判斷兩種算法的正誤。為了快速判斷，估算成為學(xué)生內(nèi)在生發(fā)的需要，不再是教師與教材的外在要求。

與常態(tài)習(xí)慣相反，教學(xué)中，在“放、縮估算”與“近似估算”中，采用數(shù)形結(jié)合，直觀表征了估算方法的多樣性，促進(jìn)了學(xué)生良好數(shù)感的形成與估算能力的養(yǎng)成。通過(guò)三種不同的估算方法，逐步確定結(jié)果的取值范圍，再反向驗(yàn)證精算結(jié)果的正確性，推理筆算方法的合理性。這樣從精算到估算，基于對(duì)兩種計(jì)算先后順序考量的教學(xué)，更能凸顯精算與估算的不同價(jià)值與指向及互相作用，生動(dòng)呈現(xiàn)出不同計(jì)算的生態(tài)和諧。

二、算法到算理——數(shù)學(xué)本質(zhì)的厘清

《課標(biāo)》指出：運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理。然而，運(yùn)算算理的理解也有助于學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。計(jì)算中，算法是表象，是外在的操作，屬于程序性知識(shí);而算理是內(nèi)因，是算法的支撐，屬于策略性知識(shí)。在小數(shù)乘小數(shù)的教學(xué)中，對(duì)算理的追尋一般是進(jìn)行單位的換算或是利用積的變化規(guī)律。這兩種方法形象直觀地將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法。但也還是停留在對(duì)數(shù)據(jù)變化這一較低層次，僅僅為小數(shù)乘小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘整數(shù)賦予了計(jì)算方法上的合理性，并未抵達(dá)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

師：3.6×2.8 的積是不是12.16呢？ 小數(shù)點(diǎn)的位置是否正確？（學(xué)生交流）

生1：可以把3.8 米化成 38 分米，3.2 米化成 32 分米，38 分米和32 分米相乘得 1216 平方分米，就是 12.16 平方米。

生2：也可以把 3.8和3.2這兩個(gè)因數(shù)分別乘 10，用38 乘 32得1216;由于兩個(gè)因數(shù)分別乘了10，所得的積就等于原來(lái)的積乘了100;為了讓積不變，就要用1216再除以 100，得到12.16。

根據(jù)學(xué)生回答，相機(jī)呈現(xiàn)：

師：還有沒(méi)有不同的想法？3.8和3.2這兩個(gè)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位分別是什么？能否從小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和乘法的意義去想一想，其中又有怎樣的道理呢？

生3： 3.8是38個(gè)0.1，3.2是32個(gè)0.1， 3.8×3.2 其實(shí)就是 38 個(gè) 0.1 乘 32 個(gè) 0.1。0.1×0.1 表示十分之一的十分之一，也就是百分之一，寫(xiě)成小數(shù)是0.01（數(shù)形結(jié)合，動(dòng)態(tài)演示，見(jiàn)后圖）;那么 38 個(gè) 0.1 乘 32 個(gè) 0.1就是 1216個(gè) 0.01 ，就是 12.16。

相機(jī)出示：

算理為運(yùn)算之“道”，是算法的理論支撐;算法為運(yùn)算之“術(shù)”，是算理的行為體現(xiàn)。運(yùn)算的本質(zhì)是計(jì)數(shù)。小數(shù)乘法計(jì)算運(yùn)算依靠單位的轉(zhuǎn)換具有局限性;積的變化規(guī)律也僅從“術(shù)”的層面給出了操作方法;只有從小數(shù)計(jì)數(shù)單位和乘法意義的視角出發(fā)，才會(huì)使學(xué)生明晰，小數(shù)乘小數(shù)就是將計(jì)數(shù)單位再統(tǒng)一，計(jì)算的是統(tǒng)一之后的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，從而深刻揭示了小數(shù)乘小數(shù)的算理。

抓住內(nèi)容的本質(zhì)屬性，凸顯對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟、理解和掌握，是深度學(xué)習(xí)的重要標(biāo)志。找尋算理，以理馭法，才能促進(jìn)學(xué)生對(duì)算法的有效運(yùn)用，助推學(xué)生運(yùn)算能力的提升。上述三種思考方法從具象向抽象逐漸深入，學(xué)生的思維水平也在不斷提升。三種思考方法都蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，也就是將小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，將新知轉(zhuǎn)化為舊知。

三、單一到多元——評(píng)價(jià)導(dǎo)向的修正

小學(xué)生學(xué)習(xí)的大多是一種間接的知識(shí)，教學(xué)如果片面指向“是什么”，而忽略“為什么”，那么知識(shí)也永遠(yuǎn)不會(huì)生長(zhǎng)為智慧?！靶?shù)乘小數(shù)”的計(jì)算方法被抽象成計(jì)算法則，其中最為緊要的是“小數(shù)的末尾對(duì)齊”，也就是強(qiáng)調(diào)了“是什么”。但懷特海先生告誡我們“所有教育的核心問(wèn)題是不能讓知識(shí)僵化，而要讓它生動(dòng)活潑起來(lái)”。

“小數(shù)乘小數(shù)”時(shí)，一定是“小數(shù)的末尾對(duì)齊”嗎？如果是“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”呢？我們究竟是應(yīng)從“對(duì)錯(cuò)”的角度進(jìn)行二元評(píng)價(jià)，還是從是否合理簡(jiǎn)便的角度進(jìn)行優(yōu)化評(píng)價(jià)？反思慣性的傳統(tǒng)教學(xué)，當(dāng)學(xué)生將“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”時(shí)，即被教師認(rèn)定為是錯(cuò)誤的、低級(jí)的、不可饒恕的，其實(shí)，在計(jì)算小數(shù)乘法時(shí)，如果將小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，只要將每一部分積與對(duì)應(yīng)的數(shù)位對(duì)齊，也能算出正確的結(jié)果，也就是說(shuō)，小數(shù)乘小數(shù)中的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊法”是可行的。

師：小明家陽(yáng)臺(tái)的面積又該怎么計(jì)算呢？

生：用1.15×3.2。

師：剛才我們研究了3.8×3.2，是兩個(gè)一位小數(shù)相乘。1.15×3.2是兩位小數(shù)乘一位小數(shù)，你能用剛才的方法試一試嗎？

呈現(xiàn)學(xué)生作品：

師：這里有兩種不同的計(jì)算方法（見(jiàn)上圖）。第一種是把兩個(gè)乘數(shù)的末位對(duì)齊，第二種是把兩個(gè)乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，也就是把相同數(shù)位對(duì)齊，這兩種方法都正確嗎？（學(xué)生討論）

師：誰(shuí)能解釋一下“末尾對(duì)齊法”？

生：把1.15×3.2看作 115 個(gè) 0.01 乘 32 個(gè) 0.1。0.01×0.1 表示百分之一的十分之一，是千分之一，也就是0.001。那么 115 個(gè)0.01 乘 32 個(gè) 0.1 就是 3680個(gè) 0.001，即3.680，根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)，去掉小數(shù)末位的0，答案是3.68（見(jiàn)下圖左）。

生：也可以把1.15乘100，3.2乘10，計(jì)算115乘32，算出積3680;由于兩個(gè)乘數(shù)分別乘了100、10，所得的積就等于原來(lái)的積乘 1000;為了讓積不變，就要用3680再除以 1000，得到3.68（見(jiàn)下圖右）。

相機(jī)出示：

師：“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊法”，也就是相同數(shù)位對(duì)齊的方法是否正確呢？（學(xué)生討論）

生：正確的。 115個(gè)0.01先與2個(gè)0.1相乘，得230個(gè)0.001，也就是0.230; 115個(gè)0.01乘3個(gè)1，得到345個(gè)0.01，也就是3.45，最后再把0.230和3.45加起來(lái)，答案是3.680，就是3.68。

師：115個(gè)0.01先與2個(gè)0.1相乘，得230個(gè)0.001，2、3、0分別寫(xiě)在什么數(shù)位上呢？115個(gè)0.01乘3個(gè)1，得到345個(gè)0.01，3、4、5又分別寫(xiě)在什么數(shù)位上呢？

生：第一部分積的2、3、0分別寫(xiě)在十分位、百分位和千分位上;第二部分積的3、4、5分別寫(xiě)在個(gè)位、十分位和百分位上。

相機(jī)出示：

師：兩個(gè)小數(shù)相乘時(shí)，“末尾對(duì)齊法”與“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊法”都對(duì)嗎？比較一下，哪一種寫(xiě)法更加地簡(jiǎn)潔方便？

生：“末尾對(duì)齊法”與“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊法”兩種算法都是正確的。在小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊時(shí)，每一部分積寫(xiě)的位置比較復(fù)雜，容易出錯(cuò);把兩個(gè)乘數(shù)末尾對(duì)齊，在計(jì)算時(shí)更加的簡(jiǎn)潔方便，不易出錯(cuò)。

例題教學(xué)時(shí)的3.8×3.2，由于兩個(gè)因數(shù)都是一位小數(shù)，并沒(méi)有分辨出在列豎式時(shí)究竟是兩個(gè)因數(shù)的末尾對(duì)齊還是小數(shù)點(diǎn)（也就是相同數(shù)位）對(duì)齊?！霸囈辉嚒痹谟?jì)算小明家陽(yáng)臺(tái)面積1.15×3.2時(shí)，由于兩個(gè)因數(shù)小數(shù)的位數(shù)不同，課堂生成出因數(shù)的“末尾對(duì)齊”和“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”兩種豎式寫(xiě)法。課堂上教師對(duì)學(xué)生生成的“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”并不回避，更沒(méi)有按照以往習(xí)慣給予否定，反而以此為契機(jī)，引發(fā)學(xué)生激烈討論與深度思考。如兩個(gè)小數(shù)相乘，就會(huì)得到一個(gè)新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位;把兩個(gè)小數(shù)看成整數(shù)相乘的積就是新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。1.15的計(jì)數(shù)單位是0.01，3.2的計(jì)數(shù)單位是0.1，兩個(gè)數(shù)相乘得到的新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位是0.001，有3680個(gè)0.001，也就是3.68。

然而我們的教學(xué)并不止步于此。要在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)自由和訓(xùn)練之間的那種確切的平衡，這種平衡能使求知獲得最大的收獲。深度學(xué)習(xí)就是要引領(lǐng)學(xué)生模擬地、簡(jiǎn)約地經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展過(guò)程，將靜態(tài)的知識(shí)激活，感悟知識(shí)本身蘊(yùn)含的豐富復(fù)雜的內(nèi)涵與意義。在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種算法的比較中，感悟到“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊法”雖可行，但復(fù)雜且容易出錯(cuò);而“末尾對(duì)齊法”在計(jì)算時(shí)更加的簡(jiǎn)潔方便，是算法優(yōu)化的必然選擇。經(jīng)歷上述教學(xué)過(guò)程，小數(shù)乘法的算法從單一化走向多樣化，再?gòu)亩鄻踊呦騼?yōu)化，使學(xué)生深刻地掌握了小數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則，更深刻地理解了小數(shù)乘法的算理，感悟到數(shù)學(xué)規(guī)則的溫情，提升了思維品質(zhì)。

四、點(diǎn)狀到塊狀——規(guī)則體系的構(gòu)建

小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算需要轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法計(jì)算，慣性的課堂教學(xué)都是將整數(shù)乘法和小數(shù)乘法作為一種遞進(jìn)關(guān)系處理，也就是將整數(shù)乘法作為小數(shù)乘法的依據(jù)。在操作層面上，兩者之間是遞進(jìn)關(guān)系;回溯到算理本質(zhì)的角度，需要溝通兩者之間的深層次關(guān)系，從而構(gòu)建新的、更高位的數(shù)學(xué)規(guī)則。

出示：

師：在整數(shù)乘法中，每一部分積也是計(jì)數(shù)單位統(tǒng)一的結(jié)果，你能說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：115個(gè)一乘2個(gè)一，得230個(gè)一，2、3、0分別寫(xiě)在百位、十位和個(gè)位上;115個(gè)一乘3個(gè)十，得345個(gè)十，就是3450，3、4、5分別寫(xiě)在千位、百位和十位上。

師：小數(shù)乘法與整數(shù)乘法有什么相同之處嗎？

生：不論是整數(shù)乘法還是小數(shù)乘法，在相乘時(shí)，每一部分積其實(shí)都是一個(gè)新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位，我們要正確計(jì)算出新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

以往教學(xué)的習(xí)慣，在處理小數(shù)乘法和整數(shù)乘法計(jì)算時(shí)，一般是概括為遞進(jìn)關(guān)系，也就是在整數(shù)乘法的計(jì)算法則的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出小數(shù)乘法計(jì)算法則。其實(shí)，我們還應(yīng)看到兩者之間并列關(guān)系的存在，也就是要構(gòu)建出整數(shù)乘法與小數(shù)乘法之間的算法聯(lián)系，進(jìn)行表征系統(tǒng)間的互相聯(lián)結(jié)，提煉出整數(shù)乘法與小數(shù)乘法之間共同的精神內(nèi)核，使整數(shù)、小數(shù)乘法算理結(jié)成網(wǎng)、連成片。將新知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和方法納入原有知識(shí)系統(tǒng)，采用意義聯(lián)系的方式進(jìn)行整合，也是深度學(xué)習(xí)的重要特征。從知識(shí)點(diǎn)到知識(shí)網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)了算理的統(tǒng)一互通和學(xué)生高水平上的認(rèn)知再平衡，從比較簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)生長(zhǎng)出更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建更為完整、清晰和穩(wěn)固計(jì)算規(guī)則系統(tǒng)。

基于習(xí)慣的反思，是有價(jià)值的;基于反思的完善，是有意義的;基于完善的發(fā)展，是不會(huì)停止的。讓我們對(duì)已經(jīng)習(xí)慣了的教學(xué)思想和行為秉持更加審慎地思索，以走出習(xí)慣教學(xué)的藩籬，引領(lǐng)學(xué)生走向高品質(zhì)的深度學(xué)習(xí)。

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[4]（英）懷特海.教育的目的[M].莊蓮平，王立中，譯.上海：文匯出版社，2012：48.

[5]曹志國(guó).循規(guī)守則——小學(xué)數(shù)學(xué)的規(guī)則教學(xué)[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2018，（4）.