MATLAB可視化在扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量中的應(yīng)用

邱智宇 肖桂娜 蘇桂鋒

(上海師范大學(xué)物理系 上海 200234)

轉(zhuǎn)動慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性量度的重要特性，在航空事業(yè)、風(fēng)力發(fā)電、汽車零件等領(lǐng)域中起重要作用[1]．剛體的轉(zhuǎn)動慣量不僅取決于構(gòu)件總質(zhì)量，還與其形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)．無論剛體形狀規(guī)則與否，利用扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量是精度較高的方法，是大學(xué)物理的重要必修實驗，更是被廣泛地應(yīng)用于測量制造業(yè)零件的轉(zhuǎn)動慣量[1,2]．由此，教師應(yīng)重視剛體轉(zhuǎn)動慣量測量的實驗教學(xué)，充分展現(xiàn)現(xiàn)代信息技術(shù)時代的特征，合理利用多媒體技術(shù)實現(xiàn)教育現(xiàn)代化，調(diào)動學(xué)生對物理模型的感性認知，喚醒物理觀念的理性思維；信息、編程技術(shù)與物理實驗教學(xué)相結(jié)合以實現(xiàn)教育信息化，已經(jīng)成為高校物理教育改革目前的熱門研究課題和教育發(fā)展的優(yōu)良趨勢[5]．

本文以質(zhì)量均勻物體對其幾何中心轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的測量為例，利用MATLAB編程與Curve Fitting Tool工具，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)動慣量理論值可視化、實驗數(shù)據(jù)擬合精確化，更能將實驗過程以動畫形式呈現(xiàn)．

1 實驗工具與實驗原理

1.1 實驗原理

將待測物體置于螺旋彈簧載物臺上，物體與螺旋彈簧同步運動．根據(jù)胡克定律，當物體在水平面上轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)過某一角度θ后，螺旋彈簧產(chǎn)生的恢復(fù)力矩M為

M=-Kθ

(1)

式中，K為螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)．再根據(jù)轉(zhuǎn)動定理，物體的力矩M為

M=Iα

(2)

式中，I表示物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，α為角加速度．物體在螺旋彈簧恢復(fù)力矩的作用下與彈簧共同繞垂直于水平面的轉(zhuǎn)軸做往復(fù)運動，因此式(1)、(2)聯(lián)立得

(3)

忽略軸承的摩擦力矩，由式(3)和角加速度的定義可得

(4)

令

可得關(guān)于θ的二階常微方程

(5)

由此可知置于扭擺上物體的運動具有簡諧振動的特性，此方程的解為

θ=Acos(ωt+φ)

(6)

式中A為簡諧振動的振幅，φ為相位角，皆由初始條件決定；ω為角速度，扭擺法過程的簡諧振動周期為

(7)

所以待測剛體的轉(zhuǎn)動慣量為

(8)

圖1 扭擺法測量物體轉(zhuǎn)動慣量實驗原理圖

(9)

式中由于T0和T1能夠通過實驗測量

是已知量，則可得到彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的值為

(10)

由此，只要測得待測物體隨著螺旋彈簧轉(zhuǎn)動的總周期，即可得到待測物體和支架的轉(zhuǎn)動慣量之和[3,4]．綜上所述，待測物體的轉(zhuǎn)動慣量為

(11)

1.2 MATLAB介紹

MATLAB被應(yīng)用于算法、數(shù)據(jù)分析與計算、數(shù)據(jù)可視化的高級計算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分．MATLAB的主界面如圖2所示.

圖2 MATLAB軟件主界面

圖2中編輯器為主體，功能為程序編入與調(diào)試，能以顏色區(qū)別代碼顯示的功能．運行編輯器，工作區(qū)以矩陣形式存儲數(shù)據(jù)，并得出數(shù)據(jù)計算結(jié)果和繪制相關(guān)函數(shù)圖像或動態(tài)圖像．命令行窗口(Command Window)為主要交互式窗口，位于編輯器下方，輸入指令后顯示除圖形以外的執(zhí)行結(jié)果．命令窗口中“?”符號為命令提示符，表示MATLAB正在處于準備狀態(tài)．在命令提示符后輸入命令并按回車鍵，MATLAB就會解釋執(zhí)行所輸入的命令，并在命令后面給出計算結(jié)果．

MATLAB語言具有解釋性，程序簡潔易懂．不僅能夠直接在命令行窗口輸入命令，也可以在編輯器內(nèi)編寫應(yīng)用程序，然后在MATLAB環(huán)境下對程序命令進行處理，處理的對象為矩陣或調(diào)用函數(shù)，最后返回運算結(jié)果．因此，其程序編寫較易上手，可以通過直觀的數(shù)學(xué)表達式實現(xiàn)對數(shù)據(jù)的處理．在扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的實驗中需要運用其主體與工具包Curve Fitting，前者用于實驗過程動畫繪制與剛體轉(zhuǎn)動慣量理論值函數(shù)圖像繪制；后者于工具欄中APP一欄，能直接讀取實驗實測中時間與位移的數(shù)據(jù)，通過傅里葉函數(shù)分析擬合，得函數(shù)表達式，可直接讀出其周期值．在扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的實驗教學(xué)中， MATLAB以其語言易懂化、圖像可視化、數(shù)值分析能力優(yōu)異性等特點，不論是實驗過程、實驗理論值，還是實驗測量值的函數(shù)擬合，均起到極佳的教學(xué)輔助作用．

2 實驗方法

根據(jù)實驗原理需要測定各類規(guī)則物體轉(zhuǎn)動慣量的理論值和扭轉(zhuǎn)常數(shù)K，根據(jù)規(guī)則物體轉(zhuǎn)動慣量的積分計算過程，通過編輯MATLAB程序，可獲得如圖3所示的不同厚度的均勻圓筒和均勻球殼、不同長度均勻細桿繞中心軸或轉(zhuǎn)軸，以及其他形狀規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量理論值[5]．點擊“工具”欄中的數(shù)據(jù)提示，便可選取理論曲線上任意一點獲得單位厚度或距離細桿軸線一定距離的物體的轉(zhuǎn)動慣量數(shù)值,如圖3中均勻圓筒對柱體軸線的轉(zhuǎn)動慣量圖像中，當圓筒中空心部分半徑R0與圓筒總體半徑R之比為某值時，圖3(a)中可直接讀得數(shù)據(jù)與圓柱體的質(zhì)量和半徑平方的乘積即為已知質(zhì)量和幾何參數(shù)圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量理論值．理論值的獲得不僅有助于分析實際測量物理量數(shù)據(jù)的精確程度，而且在扭擺法實驗數(shù)據(jù)處理過程中具有輔助作用．

圖3 規(guī)則物體轉(zhuǎn)動慣量的獲得

獲得轉(zhuǎn)動慣量的理論數(shù)據(jù)和相關(guān)實驗準備工作后，利用扭擺法開始進行實物測量，第一步測量金屬托盤空載時的周期．其具體步驟為：先調(diào)整扭擺底座的底角螺絲，使螺旋彈簧上側(cè)水準儀中的氣泡居中．然后，裝配金屬載物盤，并調(diào)整光電探頭的位置，測定其擺動周期T0，測3次求平均值．扭擺法測量轉(zhuǎn)動慣量的實驗過程步驟存在先后順序，且口頭描述較為復(fù)雜，實驗教學(xué)的過程中可通過MATLAB進行動畫展示，分析每一步驟的細節(jié)與注意點．如圖4所示，圖中灰色圓框為金屬底座的俯視圖像，突出部分為擋光軸，黑色線條組成部分為光電門．

圖4 扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗過程俯視動畫關(guān)鍵幀圖像

開始時，如圖4(a)所示，需要將擋光軸與光電門所在軸線垂直，保證初始擺角相同且約為90°，此時螺旋彈簧對于轉(zhuǎn)動慣量的實驗測量誤差影響最小[6]．釋放螺旋彈簧后，載物盤隨螺旋彈簧旋轉(zhuǎn)(如圖4所示為先順時針旋轉(zhuǎn))，通過光電門之后，周期測定儀會記錄讀數(shù)，擋光軸繼續(xù)向順時針方向旋轉(zhuǎn)，到達彈性限度后再沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，以此進行往復(fù)運動，最終周期測定儀記錄擋光軸往復(fù)10次的時間，該時間除以周期測量次數(shù)后，便可得載物盤轉(zhuǎn)動一次的運動周期，減少扭擺周期測量的誤差．利用動畫演示，可以將初始設(shè)置情況與周期這類微小數(shù)據(jù)測量方法描述得更加細致、準確．通過Mxcel的編程功能，可以再現(xiàn)螺旋彈簧運動情況，由此能夠讓學(xué)生更好地理解實驗過程各參數(shù)的測量步驟及注意事項．將具象的動畫過程與單一的語言相結(jié)合，提升了物理實驗課堂教學(xué)的多樣性與趣味性．

此外，實驗中需要捕捉大量的周期數(shù)據(jù)，按照傳統(tǒng)方法需要花費大量精力進行數(shù)值整理與計算．利用Tracker軟件輔助自動追蹤擋光軸，捕獲擋光軸在10個周期內(nèi)的運動軌跡，可將捕捉的數(shù)據(jù)軌跡以Excel的文件形式直接導(dǎo)入MATLAB軟件，在命令行窗口轉(zhuǎn)化為矩陣的形式．通過工具包Curve Fitting中的傅里葉函數(shù)分析擬合，不僅能夠直觀地觀察其運動軌跡，還可以得到函數(shù)表達式，從而可直接讀出載物臺或其他物體運動的周期值．圖5中實線框處下拉，選擇“Fourier”軟件將自動進行數(shù)據(jù)擬合處理，虛線框中的數(shù)據(jù)即為數(shù)據(jù)處理完畢后，載物盤隨螺旋彈簧運動過程中的角頻率，用2π除以該數(shù)值即為扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗中需要的周期．

圖5 Curve Fitting傅里葉函數(shù)擬合數(shù)據(jù)界面

3 數(shù)據(jù)處理

本次實驗在螺旋彈簧扭轉(zhuǎn)系數(shù)的確定中選用質(zhì)量為0.877 kg，直徑為0.089 5 m的圓柱體，所得螺旋彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)K如表1所示.

表1 螺旋彈簧扭轉(zhuǎn)系數(shù)K的確定

本文提及實驗中彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)K=0.033 1 N/m，已知支架的轉(zhuǎn)動慣量為I桿支架=3.21×10-3kg·m2，I球底座=1.87×10-3kg·m2，本次實驗測量的對象有：大塑料圓柱體、小塑料圓柱體、塑料球、金屬圓筒和金屬細桿，表2為在MATLAB軟件輔助下利用扭擺法測量上述物體轉(zhuǎn)動慣量的實驗數(shù)據(jù)與誤差.

表2 各種物體轉(zhuǎn)動慣量的測定

利用Curve Fitting工具包中的傅里葉函數(shù)分析擬合直接讀取周期數(shù)據(jù)與傳統(tǒng)實驗教學(xué)相比：轉(zhuǎn)動周期的獲得操作便捷且代入公式得到的轉(zhuǎn)動慣量值相對誤差較小，實驗數(shù)據(jù)較可靠，具有參考價值．由實驗數(shù)據(jù)可見，被測樣品的實驗誤差均低于或在1.5%，金屬物體測得的轉(zhuǎn)動慣量較理論值的相對誤差較大，可能由于其內(nèi)部結(jié)構(gòu)不均勻，可成為后續(xù)轉(zhuǎn)動慣量實驗改進的突破口．

4 結(jié)論

本文將MATLAB編程與Curve Fitting工具包應(yīng)用于扭擺法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的大學(xué)普通物理實驗教學(xué)及其數(shù)據(jù)處理中，不僅能夠科學(xué)嚴謹?shù)氐玫揭?guī)則剛體轉(zhuǎn)動慣量的理論值，也能夠通過傅里葉函數(shù)擬合迅速便捷地得出物體轉(zhuǎn)動慣量的實驗值，在掌握物體轉(zhuǎn)動慣量實驗原理的基礎(chǔ)上，摒棄了傳統(tǒng)實驗數(shù)據(jù)冗長的計算步驟，同時實驗數(shù)據(jù)的相對誤差較?。欢鴮τ谡n堂教學(xué)方面，通過MATLAB編程實現(xiàn)圖像的運動與旋轉(zhuǎn)，能再現(xiàn)扭擺法測量的過程，便于學(xué)生的想象與理解，利用多媒體設(shè)備實現(xiàn)課堂教學(xué)的多元化、可視化和信息化，融教育于信息時代的社會大背景，實現(xiàn)教育形式的進步，貫徹教育信息化的落實．