基于改進(jìn)粒子群算法的LED光源陣列優(yōu)化

明振興，呂清花，明 月，曾 煒，呂 輝，張 杰

（1.湖北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430068；2.湖北工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，湖北 武漢 430068；3.湖北工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430068）

引言

近年來(lái)，隨著工業(yè)自動(dòng)化、機(jī)器學(xué)習(xí)以及植物工廠的迅速發(fā)展，LED被廣泛用于機(jī)器視覺照明[1]和植物照明[2-3]中。由于單個(gè)LED的輸出功率有限，在大多數(shù)情況下需要使用LED陣列作為光源[4]。在機(jī)器視覺檢測(cè)系統(tǒng)中，光源對(duì)其性能起著重要作用，光照均勻的光源系統(tǒng)能夠獲取高質(zhì)量的圖像，而光照不均勻的光源系統(tǒng)會(huì)使獲得的圖像無(wú)法滿足需求。在植物工廠中，均勻的光源照明能夠讓所有的植物生長(zhǎng)狀態(tài)保持一致，不均勻的光源照明會(huì)導(dǎo)致植物的生長(zhǎng)質(zhì)量參差不齊，從而給后續(xù)植物光譜以及營(yíng)養(yǎng)液的選取帶來(lái)很大困難[5]。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)LED光源的均勻性進(jìn)行了研究，研究范圍主要包括LED透鏡的設(shè)計(jì)、LED陣列的算法設(shè)計(jì)等。其中Moreno等人[6]最早通過(guò)推導(dǎo)出簡(jiǎn)單的近似方程及公式得到LED間的最佳間距，在LED陣列個(gè)數(shù)較少時(shí)，推出的公式能夠有效優(yōu)化光照均勻度。Hidetoshi Takahashi[7]等人通過(guò)設(shè)計(jì)一種微透鏡陣列結(jié)構(gòu)來(lái)提高UV-LED光源的均勻度。秦宗等人研究了大視角LED陣列光照均勻分布的條件[8]。王凱等人優(yōu)化了光強(qiáng)分布曲線并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的光學(xué)元件，在給定距離高度比的情況下實(shí)現(xiàn)了均勻照明[9]。王曉麗設(shè)計(jì)了一種環(huán)形LED陣列光源并分析了在不同大小的照射面積和照射高度下的光照均勻度[10]。蘇宙平等人第一次提出使用數(shù)值優(yōu)化方法來(lái)設(shè)計(jì)最佳LED陣列的排列來(lái)實(shí)現(xiàn)均勻照明[11]。何果等人使用果蠅算法并在三維空間上對(duì)LED光源陣列均勻度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[12]。目前國(guó)內(nèi)外在提高LED光源的照明均勻度上研究出了許多不同方法，考慮到實(shí)際設(shè)計(jì)中的成本以及算法的實(shí)用性，本文選擇合適的算法并進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)提出的一種新型等差LED陣列進(jìn)行優(yōu)化。

粒子群算法(PSO)是由Kennedy和Eberhart博士在1995年提出的一種智能優(yōu)化算法，它源于對(duì)鳥類捕食行為的研究[13]，通過(guò)群體中的信息共享和比較來(lái)尋找最優(yōu)解[14]。其優(yōu)勢(shì)在于容易實(shí)現(xiàn)并且無(wú)過(guò)多參數(shù)，目前已被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、模糊系統(tǒng)控制及其他領(lǐng)域[15-16]。缺點(diǎn)在于在全局尋優(yōu)時(shí)收斂速度快，但是容易陷入局部最小值；在局部尋優(yōu)時(shí)能夠避開局部最小值，但是搜索速度較慢。

本文在粒子群算法中引入線性變化的慣性權(quán)重，并使用余弦函數(shù)來(lái)改善學(xué)習(xí)因子[17]，使其在優(yōu)化過(guò)程中能夠兼顧全局與局部尋優(yōu)。此外，還提出一種等差LED陣列排布方式，并使用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)LED陣列的光照均勻度進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和對(duì)比可知，改進(jìn)的粒子群算法在一定程度上提高了算法精度，并且能夠大幅度優(yōu)化LED陣列的光照均勻度。相比于傳統(tǒng)的矩形和圓形LED陣列，本文提出的新型等差LED陣列的光照均勻度更高。

1 LED陣列光照分布模型

如圖1(a)所示，在LED陣列平面中，有n個(gè)LED，坐標(biāo)為O(Xi，Yi，0)(i=1,2,…,n)，照射面與LED陣列面的垂直距離為z。假設(shè)每個(gè)LED芯片均為理想的朗伯光源，則光源陣列中所有LED芯片在照射面上一點(diǎn)P(xp，yq，z)產(chǎn)生的光照強(qiáng)度可以表示為[18-20]

圖1 LED陣列光照模型圖Fig.1 Illumination model diagram of LED array

式中：I0是光線與光軸夾角θ為0°時(shí)的光強(qiáng)；m表示光源的朗伯輻射指數(shù)，和半光強(qiáng)角 θ1/2（光強(qiáng)下降為1/2 I0時(shí)光線與光軸的夾角）有關(guān)，m的計(jì)算公式為

如圖1(b)所示，將照射面劃分為A×B份。當(dāng)A×B足夠大時(shí)，把照射面上的每一小份看成一個(gè)點(diǎn)，因此照射面的光照強(qiáng)度平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差可由(3)式和(4)式表示：

對(duì)于LED陣列的光照均勻度，在不同的研究中有著不同的評(píng)價(jià)方式。本文利用變異系數(shù)作為照射面的均勻度評(píng)價(jià)函數(shù)，變異系數(shù)越小，均勻度越高。將光照均勻度優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求取評(píng)價(jià)函數(shù)的最小值問(wèn)題，從而使用改進(jìn)的粒子群算法來(lái)優(yōu)化計(jì)算得到評(píng)價(jià)函數(shù)最小值，評(píng)價(jià)函數(shù)由（5）式給出:

2 粒子群算法及其改進(jìn)

2.1 粒子群算法模型

粒子群算法源于對(duì)鳥類捕食行為的研究，基本原理是通過(guò)種群中個(gè)體的信息共享以及協(xié)作篩選來(lái)尋求最優(yōu)解。系統(tǒng)首先初始化一組粒子種群，每個(gè)粒子都具有一個(gè)初始位置和速度，根據(jù)評(píng)價(jià)函數(shù)計(jì)算得到初始最優(yōu)解，將其標(biāo)記成當(dāng)前個(gè)體極值，然后各個(gè)粒子之間通過(guò)協(xié)作共享信息得到群體極值并不斷進(jìn)行迭代，在每一次迭代得到新的個(gè)體極值和群體極值后，粒子通過(guò)(6)式和(7)式來(lái)更新自己的速度和位置[15]:

式中：t為迭代次數(shù)；xi和vi表示種群中第i個(gè)粒子的位置和速度；pbest表示個(gè)體極值，gbest表示群體極值；r1和r2是介于0到1之間的隨機(jī)數(shù)；w為慣性權(quán)重，一般取常數(shù)，其值大小決定了全局以及局部的搜索能力；c1是個(gè)體認(rèn)知因子；c2是群體認(rèn)知因子，c1和c2通常為常數(shù)，其值大小也會(huì)影響全局以及局部的搜索能力。

粒子群算法流程圖如圖2所示。

圖2 粒子群算法流程圖Fig.2 Flow chart of particle swarm algorithm

2.2 粒子群算法的改進(jìn)

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，普通的粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)，而且后期的收斂速度較慢，這會(huì)導(dǎo)致整個(gè)算法的精度下降。影響粒子群算法的效率和精度的參數(shù)主要有慣性權(quán)重w、個(gè)體認(rèn)知因子c1、群體認(rèn)知因子c2。當(dāng)w較大時(shí)，算法有著更好的全局搜索能力；c1較小、 c2較大時(shí)，有著更好的局部搜索能力。因此在本文中使用線性遞減策略對(duì)w進(jìn)行改進(jìn)，使其在初始迭代階段有著很好的全局搜索能力，隨著迭代進(jìn)行，粒子的速度逐漸減小，有著更好的局部搜索能力。為了在初始階段控制c1取較大值、c2取較小值，加強(qiáng)全局搜索能力，并且在最后迭代階段加強(qiáng)局部搜索能力，使用正余弦函數(shù)來(lái)控制c1、c2，讓c1的值能夠非線性地減小，c2的值非線性地增加，具體改進(jìn)公式如（8）式～（10）式所示：

式中：wmax、wmin分別為慣性權(quán)重的最大、最小值；t和tmax分別為當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。

通過(guò)對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，不斷地調(diào)整優(yōu)化光源陣列中LED的坐標(biāo)值，使得評(píng)價(jià)函數(shù)達(dá)到最小值，具體算法步驟如下：

1）根據(jù)（5）式構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)；

2）初始化粒子群規(guī)模大小、迭代次數(shù)、慣性權(quán)重最大值和最小值，以及粒子的初始位置和速度等參數(shù)；

3）根據(jù)（5）式計(jì)算粒子的評(píng)價(jià)函數(shù)值，比較所有粒子的函數(shù)值并找到最佳評(píng)價(jià)函數(shù)值gbest，記錄此時(shí)粒子的位置為最佳位置pbest；

4）根據(jù)（6）式和（7）式更新粒子的速度和位置，再次計(jì)算所有粒子的函數(shù)值，并更新最佳評(píng)價(jià)函數(shù)值gbest，更新粒子的最佳位置pbest；

5）當(dāng)達(dá)到迭代次數(shù)時(shí)，輸出評(píng)價(jià)函數(shù)值gbest以及粒子的最佳位置pbest，否則回到步驟4。

為了驗(yàn)證改進(jìn)粒子群算法的有效性，選擇4種不同的函數(shù)對(duì)其進(jìn)行算法測(cè)試，其表達(dá)式如(11)式～(14)式所示，圖3為這4個(gè)函數(shù)在三維空間中的圖像。

圖3 測(cè)試函數(shù)的三維函數(shù)圖像Fig.3 Three-dimensional function images of test functions

1）Sphere函數(shù)(n=5,-5.12≤xi≤5.12,i=1,···,n)

當(dāng)x*=(0,···,0)時(shí) ，F(xiàn)1(x)取得全局最小值，F(xiàn)1(x*)=1。

2）Trigonometric函數(shù)(n=5,-10≤xi≤10,i=1,···,n)

當(dāng)x*=(0.9,···,0.9)時(shí) ，F(xiàn)2(x)取得全局最小值，F(xiàn)2(x*)=1。

3）Rastrigin函 數(shù)(n=5,-5.12≤xi≤5.12,i=1,···,n)

當(dāng)x*=(0,···,0)時(shí) ，F(xiàn)3(x)取得全局最小值，F(xiàn)3(x*)=1。

4）Schwefel函 數(shù)(n=5,-500≤xi≤500,i=1,···,n)

當(dāng)x*=(420.9687,···,420.9687)時(shí) ，F(xiàn)4(x)取得全局最小值，F(xiàn)4(x*)=1。

分別采用改進(jìn)前后的粒子群算法(PSO)對(duì)這4個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，把粒子群中的粒子個(gè)數(shù)設(shè)為20，迭代次數(shù)設(shè)為100。4個(gè)測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化迭代收斂圖如圖4所示，優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimized results of test functions

圖4 測(cè)試函數(shù)的迭代收斂圖像Fig.4 Convergence curves of optimization iterations for test functions

從圖4和表1可以看出，對(duì)于這4種測(cè)試函數(shù)，改進(jìn)粒子群算法的尋優(yōu)速度及精度均有所提升，且算法運(yùn)行時(shí)間無(wú)明顯差異，表明改進(jìn)粒子群算法的復(fù)雜度與原算法基本一致。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 LED陣列設(shè)計(jì)及算法對(duì)比

由于理想的LED光源為朗伯光源，發(fā)光強(qiáng)度為法線上的光強(qiáng)與方向角余弦的乘積，即光強(qiáng)由中心向周圍逐漸減弱，因此我們提出了一種等差LED陣列排布方式，如圖5所示，LED的間距由四周到中間逐漸增加。假設(shè)在等差LED陣列中，橫軸方向上LED的首項(xiàng)間距為L(zhǎng)1，間距公差為d1；縱軸方向上LED的首項(xiàng)間距為L(zhǎng)2，間距公差為d2，那么所有LED的坐標(biāo)都可以由L1、d1和L2、d2來(lái)表示。如圖6(a)和圖6(b)所示：在圓形陣列中，LED的坐標(biāo)可由半徑r和夾角θ表示；在矩形陣列中，LED的坐標(biāo)可由橫向間距a和縱向間距b來(lái)表示。

圖5 等差LED陣列示意圖Fig.5 Schematic diagram of arithmetic LED array

圖6 圓形和矩形LED陣列示意圖Fig.6 Schematic of circular and rectangular LED arrays

改進(jìn)粒子群算法的初始化參數(shù)如表2所示。設(shè)定好算法的初始參數(shù)后，用LED坐標(biāo)的表達(dá)式來(lái)表示評(píng)價(jià)函數(shù)，使用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行尋優(yōu)處理，最終輸出最佳光照均勻度的光源陣列中LED的坐標(biāo)。

表2 改進(jìn)粒子群算法的初始參數(shù)Table 2 Initial parameters of improved particle swarm algorithm

在優(yōu)化等差LED陣列過(guò)程中，對(duì)未改進(jìn)的粒子群算法和改進(jìn)粒子群算法的評(píng)價(jià)函數(shù)值變化過(guò)程進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示，由于改進(jìn)粒子群算法中加入了線性慣性權(quán)重和非線性認(rèn)知因子，因此在迭代前期的收斂速度較快，且在迭代中后期能夠跳出局部最優(yōu)值，收斂精度更高。

圖7 PSO算法改進(jìn)前后的評(píng)價(jià)函數(shù)值對(duì)比Fig.7 Comparison of evaluation function values before and after improvement of particle swarm algorithm

3.2 LED陣列仿真結(jié)果討論

得到優(yōu)化后的3種不同陣列的LED坐標(biāo)后，為了檢驗(yàn)優(yōu)化后的陣列光照均勻度效果，使用光學(xué)仿真軟件TracePro，將優(yōu)化后的LED坐標(biāo)輸入到TracePro中進(jìn)行模擬仿真。設(shè)定單個(gè)LED芯片的大小為 1 mm×1 mm×0.1 mm，LED陣列面與照射面的垂直距離為300 mm，單個(gè)LED的光強(qiáng)分布為朗伯分布，每個(gè)LED的光線出射數(shù)設(shè)為 50 000條。等差、矩形、圓形LED陣列光照度分布圖和輪廓圖如圖8、圖9、圖10所示。其中，輪廓曲線圖是在照射面上取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為中心，取X軸與Y軸向2個(gè)方向上的垂線，根據(jù)垂線上面的照度變化生成的曲線。

圖8 等差LED陣列的照度分布與輪廓曲線圖Fig.8 Illumination distribution and contour curve of arithmetic LED array

圖9 矩形LED陣列的照度分布與輪廓曲線圖Fig.9 Illumination distribution and contour curve of rectangular LED array

圖10 圓形LED陣列的照度分布與輪廓曲線圖Fig.10 Illumination distribution and contour curve of circular LED array

使用TracePro仿真完成后，得到3種LED陣列的光照度數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分別計(jì)算出其光照均勻度，并與優(yōu)化前的陣列進(jìn)行對(duì)比分析，分析結(jié)果如圖11所示。

圖11 3種LED陣列優(yōu)化前后均勻度對(duì)比Fig.11 Comparison of uniformity of three LED arrays before and after optimization

通過(guò)對(duì)LED陣列的光照均勻度數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)比，得到優(yōu)化后的等差陣列、矩形陣列、圓形LED陣列光照均勻度分別為82.29%、73.71%、78.56%，比未優(yōu)化的LED陣列光照均勻度分別提高了15.84%、10.65%、15.57%。根據(jù)LED照度分布圖和輪廓圖可知，矩形LED陣列的光照強(qiáng)度由中間向四周的下降幅度較大；其次是圓形LED陣列；而等差LED陣列中心光照強(qiáng)度與周圍相差不大，并且邊緣光照強(qiáng)度大幅度下降的范圍較小。這是因?yàn)榫匦蜭ED陣列中心的混光面積比較大，因此容易造成照射面中間光照強(qiáng)度大、周圍光照強(qiáng)度弱，所以優(yōu)化后的矩形LED陣列光照均勻度也不夠高。圓形LED陣列則減少了照射面中間的混光面積，整體光照均勻度有所提高，但是邊緣仍有一定區(qū)域的光照強(qiáng)度大幅度下降。而等差LED陣列則結(jié)合了矩形陣列和圓形陣列的優(yōu)點(diǎn)：一方面，由于LED距離中間位置較遠(yuǎn)，所以照射面中心光照強(qiáng)度與四周差別不大；另一方面，LED在四周排布較為緊密，增強(qiáng)了照射面邊緣處的光照強(qiáng)度，使其光照強(qiáng)度大幅度下降的區(qū)域變得更小，從而增加了整個(gè)平面的光照均勻度，與前面兩種陣列相比光照均勻度有較大提升。

4 結(jié)論

本文提出了一種改進(jìn)的粒子群算法與新型等差LED陣列，能夠有效優(yōu)化LED光源陣列的照明均勻度?；谄胀ǖ牧Ｗ尤核惴ㄈ菀自缡焓諗康热秉c(diǎn)，引入了線性變化的慣性權(quán)重和非線性變化的認(rèn)知因子，從而有效地解決了這一問(wèn)題；同時(shí)，設(shè)計(jì)了一種新型等差LED陣列排布方式，使用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)等差LED陣列以及矩形和圓形LED陣列進(jìn)行優(yōu)化。最后使用光學(xué)軟件TracePro對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真，得到矩形陣列和圓形陣列的光照均勻度分別為73.31%和78.56%，而等差LED陣列光照均勻度達(dá)到了82.89%，證明提出的等差LED陣列有著更好的光照均勻度。隨著植物工廠、機(jī)器視覺等光源陣列對(duì)光照均勻度的要求越來(lái)越高，本文中的改進(jìn)算法以及新的LED排布方式能夠指導(dǎo)LED光源陣列設(shè)計(jì)，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。