單元整體視角下“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué)
——以《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》為例

李平香 黃 勇

（1.三明市第二中學(xué)，福建 三明 365000；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

“數(shù)學(xué)思想方法”是數(shù)學(xué)的“靈魂”.幫助學(xué)生建構(gòu)蘊含數(shù)學(xué)思想方法在內(nèi)的良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，獲得有“靈魂”的知識，是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求，更是數(shù)學(xué)教育的必然追求.今天的數(shù)學(xué)教育，是越來越重視數(shù)學(xué)思想方法的教育；今天的數(shù)學(xué)課堂，是更加追求讓學(xué)生體驗與感悟數(shù)學(xué)基本思想方法，形成數(shù)學(xué)思維，發(fā)展核心素養(yǎng)，為學(xué)生未來的發(fā)展打好基礎(chǔ)的課堂.［1］但是，當(dāng)前，融合“數(shù)學(xué)思想方法”的課堂教學(xué)還沒有完全落到實處，教學(xué)現(xiàn)狀還不完全令人滿意，普遍缺少如何將“數(shù)學(xué)思想方法”教學(xué)落到實處的措施、方法以及示范的課例，在“實踐操作層面”亟待一線教師對“數(shù)學(xué)思想方法”課堂教學(xué)作進(jìn)一步研究.

數(shù)學(xué)思想方法不僅蘊含在一個個概念、原理中，更體現(xiàn)在概念的體系、知識的聯(lián)系中，在數(shù)學(xué)的整體性中才能更深刻地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)基本思想的意蘊.單元整體視角下的“數(shù)學(xué)思想方法”的新教學(xué)，以系統(tǒng)思維為指導(dǎo)，在“單元—課時”教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)“課時”教學(xué)的“整體性”.“整體”不僅指內(nèi)容的整體性，同一主題或不同主題內(nèi)容的整體性或數(shù)學(xué)一般觀念的統(tǒng)一性；“整體”更指思維的整體性，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的思考過程，形成思維活動經(jīng)驗，把握其蘊含的數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生在面對具體問題要調(diào)用某一知識時，能夠“想得到”“用得上”；“整體”還指研究過程的整體性，在一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的研究過程，掌握知識技能，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生逐步形成“數(shù)學(xué)對象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實體驗，［2］積累可以遠(yuǎn)遷移的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗.下面以普通高中新課程教科書人教A 版數(shù)學(xué)必修第一冊《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》一課為例，談?wù)剢卧w視角下“數(shù)學(xué)思想方法”的教學(xué).

一、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，抽象概念

活動1：從真實情境中抽象出一元二次不等式

問題1：在常態(tài)化新冠肺炎疫情防控期間，學(xué)校在大門附近用帳篷圍一個矩形區(qū)域，作為測溫區(qū)域.若矩形的周長為14m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于12m2，則這個矩形的邊長為多少米？

【師生活動】教師提出問題，要求學(xué)生獨立設(shè)未知數(shù)，并列出不等式x(7 -x) ＞12.此時，學(xué)生容易忘記未知數(shù)x的取值范圍，教師可以根據(jù)實際情況進(jìn)行提醒，并追問如下問題：

追問1：我們知道，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1 的不等式，稱為一元一次不等式.類似地，問題1 中不等式x(7 -x) ＞12 的名字叫什么？你能自己下定義嗎？

追問2：類比一元一次不等式的一般形式，你能說出一元二次不等式的一般形式嗎？

追問3：你能自己說出一個一元二次不等式嗎？

追問4：下面所給的關(guān)于x的幾個不等式：①2x-7 ＞0;②x2＜0;③x2+4x-4≤x2-x;④mx2-x+1≥0.其中一定為一元二次不等式的有_________.

【設(shè)計意圖】在常態(tài)化新冠肺炎疫情防控形勢下，以學(xué)校大門附近設(shè)置的測溫區(qū)域——帳篷的面積大小為情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義、一元二次不等式的定義和一般形式，把實際問題中的數(shù)量關(guān)系用模型表示出來，再解數(shù)學(xué)模型，引出對一元二次不等式解法的研究.

（二）用新觀點，看舊問題

從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，簡稱“三個一次”的內(nèi)涵與關(guān)系.

活動2：“三個一次”的內(nèi)涵與關(guān)系

問題2：梳理從一次函數(shù)y=2x-7 看一元一次方程2x-7=0、一元一次不等式2x-7 ＞0、2x-7 ＜0.

問題2.1：從“函數(shù)值”角度看“三個一次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從一次函數(shù)y=2x-7“函數(shù)值”看：當(dāng)y=0時，當(dāng)y＞0 時，當(dāng)y＜0 時，函數(shù)y=2x-7 的三類狀態(tài).

【師生活動】教師課件演示圖1（1）-（5）的生成過程，請學(xué)生“看圖說話”.

【設(shè)計意圖】從“函數(shù)值”的角度看：方程“是什么（what）”，不等式“是什么（what）”.通過演示循環(huán)結(jié)構(gòu)圖的生成過程，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)理解方程和不等式，當(dāng)一次函數(shù)值為0 時，得到一個一元一次方程；當(dāng)一次函數(shù)值不為0 時，y＞0 或y＜0，就得到一元一次不等式.函數(shù)y=2x-7 的三類狀態(tài)：y=0，y＞0，y＜0就是方程、不等式，并以y=0 為分界點，理解函數(shù)、方程與不等式之間的聯(lián)系，形成用“函數(shù)”統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式的意識，體會數(shù)學(xué)的整體性.

問題2.2：從函數(shù)“圖象”角度看“三個一次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從一次函數(shù)y=2x-7“圖象”看：當(dāng)x為何值時，y=0；當(dāng)x為何值時，y＞0；當(dāng)x為何值時，y＜0.

【師生活動】教師課件演示圖2（1）-（3）的生成過程，請學(xué)生“看圖說話”.

【設(shè)計意圖】再從函數(shù)“圖象”角度看：方程的解“是什么（what）”，不等式的解“是什么（what）”，解方程是“做什么（what to do）”，解不等式是“做什么（what to do）”，弄清“怎么做（how to do）”，理解“為什么要這樣做（why do it such）”等問題.

圖2（1）讓學(xué)生理解從“數(shù)”的角度看，方程的解是函數(shù)值為0 時所對應(yīng)的自變量值；從“形”的角度看，方程的解是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)；從“數(shù)形融合”的角度看，方程2x-7=0 解也稱為對應(yīng)函數(shù)y=2x-7 的零點（“零”是“數(shù)”，“點”是“形”）.從函數(shù)的觀點看，方程的解就是“函數(shù)值為0 時，對應(yīng)的自變量值”，解方程就是“通過已知的函數(shù)值，求對應(yīng)的自變量值”.

圖2（2）引導(dǎo)學(xué)生理解一次函數(shù)圖象與x軸交點A把函數(shù)圖象分成兩部分：一部分函數(shù)圖象在點A的右上方，另一部分函數(shù)圖象在點A的左下方.

圖2（3）引導(dǎo)學(xué)生把一次函數(shù)y=2x-7 圖象看成是點的集合{ (x,y)|y=2x-7}，那么在點A的右上方的函數(shù)圖象上所有的點(x,y)，其坐標(biāo)特征為，在點A的左下方的函數(shù)圖象上所有的點(x,y)，其坐標(biāo)特征為.讓學(xué)生理解從函數(shù)的觀點看一元一次不等式，不等式的解集就是“使函數(shù)值大于0（或者小于0）的自變量x的取值范圍”，解不等式就是“通過已知函數(shù)值的取值范圍，求對應(yīng)自變量的取值范圍”.

用“函數(shù)”把“三個一次”進(jìn)行聯(lián)系，體驗如何用“函數(shù)觀點”看方程與方程的解、不等式與不等式的解，體會用新觀點看舊問題的角度、方法，積累用“函數(shù)”研究方程、不等式所需要的一般觀念、路徑、方法等研究問題的經(jīng)驗.通過“以問代講”“以演代講”的方式，讓學(xué)生“看圖說話”出聲地思考，用語言把函數(shù)思想“是什么”外化，放慢思維動作，放緩思維進(jìn)程，挖掘從函數(shù)觀點看——“看什么”“如何看”［3］等隱性思想方法，理解“做什么（what to do）”，“為什么要這樣做（why do it such）”，讓學(xué)生在“看得見”的思維過程中體驗與感悟“運動變化觀點”“對應(yīng)思想”“數(shù)形結(jié)合思想”的本質(zhì).

（三）用新觀點，看新問題

前面梳理了從一次函數(shù)的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，類似地，能否從二次函數(shù)的觀點看一元二次不等式，進(jìn)而得到一元二次不等式的求解方法呢？從二次函數(shù)的觀點看一元二次方程、一元二次不等式的思想方法，簡稱“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.

活動3：“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系

問題3：從二次函數(shù)y=x2-7x+12 的觀點看一元二次方程x2-7x+12=0、一元二次不等式x2-7x+12 ＜0、x2-7x+12 ＞0 之間的關(guān)系.

問題3.1：從“函數(shù)值”角度看“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從二次函數(shù)y=x2-7x+12“函數(shù)值”看，當(dāng)y=0 時，當(dāng)y＞0 時，當(dāng)y＜0 時，函數(shù)y=x2-7x+12的三類狀態(tài).

【師生活動】教師用課件演示圖3（1）-（5）的生成過程，請學(xué)生“看圖說話”.

問題3.2：從函數(shù)“圖象”角度看“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.從二次函數(shù)y=x2-7x+12“圖象”看，當(dāng)x為何值時，y=0；當(dāng)x為何值時，y＞0；當(dāng)x為何值時，y＜0.

【師生活動】教師用課件演示圖4（1）-（3）的生成過程，請學(xué)生“看圖說話”.

【設(shè)計意圖】從函數(shù)的角度來研究方程和不等式，使研究方程和不等式的方法更具有一般性和代表性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，凸顯函數(shù)的重要地位.類比研究“三個一次”的內(nèi)涵與關(guān)系所需要的一般觀念、研究內(nèi)容、研究路徑、研究方法，用相同的方法研究“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系.這種同構(gòu)的方式有助于透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，把隱藏在“表面現(xiàn)象”背后的更有“含金量”的數(shù)學(xué)思想方法挖掘出來，即從“函數(shù)觀點”看方程與方程的解、看不等式與不等式的解、看解方程與解不等式“是什么（what）”“做什么（what to do）”“怎么做（how to do）”“為什么這么做（why do it such）”，用“函數(shù)”統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式，逐步形成“數(shù)學(xué)對象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實體驗，體會數(shù)學(xué)的聯(lián)系性與整體性.［2］

（四）用新觀點，解新問題

問題4：請規(guī)范解答問題1.

解：設(shè)這個矩形的一邊長為xm，則另一條邊長為(7 -x)m.由題意x(7 -x) ＞12，且x∈(0,7).整理得，x2-7x+12 ＜0 ①，且x∈(0,7).對于方程x2-7x+12=0，因為Δ ＞0，所以它有兩個不等實根，解得x1=3，或x2=4.畫出二次函數(shù)y=x2-7x+12 圖象［如圖4（3）］，結(jié)合圖象得到不等式①的解集為{x|3 ＜x＜4 }，又因為{x|3 ＜x＜4 }?{x|0 ＜x＜7 }.因此，當(dāng)圍成的矩形的一條邊長x滿足3 ＜x＜4 時，圍成的矩形區(qū)域的面積大于12m2.

【設(shè)計意圖】與“說”相比，用文字把思維過程寫出來，進(jìn)一步把“思維過程”外化.同時，規(guī)范地書寫用“函數(shù)思想”解不等式，促進(jìn)對解題程序的理解，為下面“一般化推廣”做好準(zhǔn)備.

（五）提煉方法，形成思想

活動4：上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0）和ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集嗎？對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)、ax2+bx+c＜0(a＞0）和相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)之間是否也具有類似的關(guān)系呢？

【師生活動】教師提出問題后，用課件展示下表，請學(xué)生獨立完成表格內(nèi)容的填寫.

從二次函數(shù)的觀點看一元二次方程、一元二次不等式的思想方法.

【設(shè)計意圖】與“寫”相比，把思維過程畫出來，既能讓思維外顯，又能顯示出問題的結(jié)構(gòu).把具體的“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系推廣到一般的“三個二次”的內(nèi)涵與關(guān)系，讓學(xué)生在推廣的過程中，體會數(shù)形結(jié)合思想、形成“函數(shù)思想”，并且體驗與感悟“函數(shù)思想”的統(tǒng)領(lǐng)作用，以及從具體到抽象、從特殊到一般的研究問題的一般方法.

例1 解下列不等式：

(1)3x2-2x+1 ＞0；(2) -3x2+6x＞2；

(3)(5 -x)(x+2)≤0；(4) -x2+6x-10 ＞0.

追問：你能總結(jié)用“函數(shù)思想”求解一元二次不等式的步驟嗎？

【師生活動】學(xué)生討論，相互補(bǔ)充合作完成，并在圖5 的表格中標(biāo)注解題步驟.

化：把一元二次不等式化為一般形式：ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0).

判：算Δ 并判號.

求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根.

畫：畫出對應(yīng)的二次函數(shù)圖象.

寫：寫出不等式的解集.

概括為：“一化、二判、三求、四畫、五寫”.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在理解一元二次不等式的基礎(chǔ)上，提煉用“函數(shù)思想”求解一元二次不等式的方法、步驟，理解算理，掌握算法，訓(xùn)練運算技能，發(fā)展運算素養(yǎng)，體會用“函數(shù)思想”求解帶來的好處，即可以借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一般性地、程序化地求解不等式，體驗與感悟“數(shù)學(xué)思想”指導(dǎo)下技能操作的好程序，好程序是做好事情的基礎(chǔ).

（六）回顧總結(jié)，完善結(jié)構(gòu)

【設(shè)計意圖】本節(jié)課沿著兩條線索推進(jìn)，一條是從“函數(shù)”的觀點看、“看什么”等看的內(nèi)容，另一條是從“函數(shù)”的觀點看、“怎么看”等看的方式；著重從一般觀念、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理，進(jìn)一步加深對“三個一次”“三個二次”的理解，形成用函數(shù)統(tǒng)領(lǐng)方程和不等式的意識，以及用函數(shù)求解一元二次不等式的基本結(jié)構(gòu).

二、教學(xué)反思

（一）在“慢化拉長”的思維過程中，引導(dǎo)學(xué)生“體驗與感悟”數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵

“體驗與感悟”要在“過程”中實現(xiàn).“體驗”是一個“過程量”，“感悟”既是一個不斷完善的“動態(tài)量”，又是一個“狀態(tài)量”.［4］數(shù)學(xué)思想具有隱喻性，學(xué)生對它的“體驗與感悟”難以自然而然地深化，需要教師正確運用數(shù)學(xué)思維方法的示范和引領(lǐng)，作一些特別的設(shè)計，才能將隱含的思想方法顯性化，將陌生的身影熟悉化，將淺顯的體驗深刻化，將點滴的感悟系統(tǒng)化.［5］美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.”教學(xué)的核心是教思維，空想不如聽見，聽見不如看見，用“出聲思維”“規(guī)范書寫”“直觀圖形”“畫流程圖”等方法把數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵外顯，讓數(shù)學(xué)思維過程“看得見”.［2］采取“放大思維”“慢化動作”“拉長過程”等方法把思維進(jìn)程“放緩”，讓學(xué)生在“延遲”的時間，“延長”的瞬間思維過程中，充分地“體驗與感悟”數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵——“是什么（what）”“做什么（what to do）”“怎么做（how to do）”.讓學(xué)生在連續(xù)、完整、看得見的思維過程中，形成思維活動經(jīng)驗，充分地“體驗與感悟”函數(shù)思想方法的內(nèi)涵.

（二）在“循序漸進(jìn)”的逼近過程中，引導(dǎo)學(xué)生“理解與領(lǐng)悟”數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)

沒有“過程”就沒有“思想”.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是：從默會到明朗化，再到自動化，最后到系統(tǒng)化的體驗、感悟、鞏固和深化的漸進(jìn)過程；［6］數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是：在活動中滲透，在反思中明確，在運用中鞏固，在聯(lián)系中融合，經(jīng)歷“滲透—明確—運用—融合”的進(jìn)階過程；數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)重在“體驗與感悟”，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生在“過程”中如何體驗、如何感悟、體驗什么，感悟什么，在“循序漸進(jìn)”的逼近過程中，引導(dǎo)學(xué)生如何“理解與領(lǐng)悟”數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)——“為什么這么做（why do it such）”.本節(jié)課對“函數(shù)思想”的教學(xué)經(jīng)歷了“滲透—明確—運用”的過程，先用“函數(shù)思想”對“三個一次”的內(nèi)涵與關(guān)系進(jìn)行梳理，把“函數(shù)思想”在舊知識“三個一次”中“滲透”.“滲透”就是要在具體的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，融進(jìn)某些抽象的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對這些思想方法有一些初步的感覺或直覺，［7］并把解題步驟概括為“一化、二判、三求、四畫、五寫”，體驗“數(shù)學(xué)思想”指導(dǎo)下技能操作的好程序.經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，在連續(xù)的、循序漸進(jìn)的“體驗—感知、體驗—感受、體驗—內(nèi)化”的過程中升華體驗、深刻感悟，在鞏固、深化中“理解與領(lǐng)悟”函數(shù)思想內(nèi)涵，逐步逼近“函數(shù)思想”的本質(zhì)，獲取有“靈魂”的數(shù)學(xué)知識.

（三）在“連續(xù)完整”的研究過程中，引導(dǎo)學(xué)生“會學(xué)與會用”數(shù)學(xué)思想方法的真諦

有“靈魂”的數(shù)學(xué)，才是“力量無窮”的數(shù)學(xué).日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾做過這樣的總結(jié)：“在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益.”“學(xué)會”是教學(xué)的首要任務(wù)，這是教學(xué)的出發(fā)點，也是落腳點.優(yōu)秀教師在引領(lǐng)學(xué)生“學(xué)會”的同時，還需追求學(xué)生“會學(xué)”的境界.學(xué)習(xí)的最高境界是“學(xué)以致用”，“會用”是教與學(xué)之終極追求.［8］單元整體視角下“數(shù)學(xué)思想方法”的新教學(xué)，先用“新思想”在“舊問題”中滲透，積累用“新思想”研究問題所需要的一般觀念、路徑、方法等研究問題的經(jīng)驗；再用已有的經(jīng)驗完整地研究新問題，即用“新思想”研究“新問題”，進(jìn)一步明確“新思想”；最后，運用“新思想”解決“新問題”，提煉“新方法”，經(jīng)歷“滲透—明確—運用”的教學(xué)過程.從研究方法上來看，函數(shù)思想的學(xué)習(xí)體現(xiàn)了研究“數(shù)學(xué)思想方法”的一般套路和方法，是繼初中“三個一次”，學(xué)習(xí)之后的再一次強(qiáng)化.教學(xué)中無論是“滲透—明確—運用”的整體結(jié)構(gòu)，還是具體的“滲透、明確、運用”的局部結(jié)構(gòu)，都是一脈相承的.這種同構(gòu)能幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的體驗與感悟從“朦朦朧朧”，到“似有所悟”，逐步走向“明朗清晰”，讓學(xué)生在面對具體問題要調(diào)用某一知識時，能夠“想得到”“用得上”，逐步形成“數(shù)學(xué)對象在變，思想方法不變，研究套路不變”的切實體驗，［2］積累可以遠(yuǎn)遷移的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗.