數(shù)學認知結(jié)構(gòu)視域下的教學實踐與思考

秦俊怡

[摘要]從學生的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，設(shè)計章起始課教學的情境、問題、活動，引導學生類比思考與探索，幫助學生在不等式及其解集知識學習中科學建構(gòu)、適切運用、有效優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學思維，發(fā)展數(shù)學能力.

[關(guān)鍵詞]認知結(jié)構(gòu);章起始課;不等式;概念

數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學生獲得數(shù)學知識后，在頭腦中形成的概念系統(tǒng)、表征系統(tǒng)和加工系統(tǒng).就其機能而言，包括兩個方面：理解數(shù)學問題和解決數(shù)學問題[1].即通過學習思路與方法的有效引領(lǐng)，學生的數(shù)學新概念得以產(chǎn)生、理解、再現(xiàn)、發(fā)展，知識架構(gòu)逐步完善，實現(xiàn)以不同方式解決數(shù)學問題的目標.而章起始課多為概念課型，是數(shù)學教學的重心任務(wù)，具有統(tǒng)攝全章、提綱挈領(lǐng)的作用，能讓學生在新舊知識和經(jīng)驗間架起溝通的橋梁，突破認知限制，“上一層樓，窮千里目”.2020年，筆者積極參加廣州市越秀區(qū)教師研討課活動，執(zhí)教課題是人教版教材七年級下冊第九章“不等式與不等式組”第1課時——不等式及其解集，在章起始概念課的背景下，開展建構(gòu)、運用和優(yōu)化學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的教學探索.現(xiàn)將教學主要環(huán)節(jié)及相關(guān)分析撰寫成文，以期同行之斧正.

明確學習目標

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》涉及本課時內(nèi)容的目標要求：體驗從具體情境中抽象出數(shù)學符號的過程，理解不等式;探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用不等式進行表述的方法;通過用不等式表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識[2].因此，本節(jié)課的學習既要關(guān)注短期目標，更要重視長期目標.

短期目標：（1）了解不等式的概念，會用不等式表示簡單的數(shù)量關(guān)系;（2）理解不等式的解的概念，會判斷某個數(shù)是否為某個不等式的解;（3）理解不等式的解集的概念，會直接寫出簡單的不等式的解集，并在數(shù)軸上表示.

長期目標：通過分析問題情境中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷“數(shù)學抽象”的過程，體會不等式是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效數(shù)學模型.

設(shè)計學習路徑

1.分析學情

學生完成一次方程（組）的學習后，對一次方程（組）的認識已經(jīng)具備一定的積累，包括知道一次方程（組）的相關(guān)概念，解一次方程（組）的步驟，以及會用一次方程（組）表示問題情境中的等量關(guān)系，但對不等關(guān)系的了解不夠深入，處于認知的朦朧階段.此時，在學生已有的認知基礎(chǔ)上，通過類比方式引入新知識——不等式及其解集，充分發(fā)揮章起始課統(tǒng)整引領(lǐng)和心理學正向遷移的積極作用，鋪設(shè)一條明確、合理、高效的學習之路，助力學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的自然生長.

2.診斷困惑

初學列不等式表示問題中的不等關(guān)系時，有些學生會因認知慣性列出表示等量關(guān)系的方程，甚至用小學列算式的方法解決問題.能用算式或方程得到問題的結(jié)論，為什么還要列不等式？要擺脫上述的學習干擾和困惑，教師必須引導學生正確理解問題情境，分析其中的不等關(guān)系，將符號化、模型化思想進一步加固和發(fā)展，即承認和尊重數(shù)學認知結(jié)構(gòu)存在的事實，重整和優(yōu)化學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

3.確立架構(gòu)

如何引導學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)由等量關(guān)系發(fā)展到不等關(guān)系，從算術(shù)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)思維？創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境、組織數(shù)學活動、提煉數(shù)學概念、解決數(shù)學問題是一種行之有效的策略，如圖1所示的教學框架應運而生.

實施教學過程

1.探索不等式的概念

教師展示圖片，以問題組的形式呈現(xiàn)情景1：

（1）姚明的身高xm高于劉翔的身高1.89m，如何表示x與1.89之間的大小關(guān)系？

（2）小紅和背著書包的小軍玩蹺蹺板，當大家都不用力時，小軍在下，小紅在上.已知小紅的身體質(zhì)量為pkg，小軍的身體質(zhì)量為qkg，書包的質(zhì)量為2kg，如何表示p與q之間的大小關(guān)系？

（3）慶祝中華人民共和國成立70周年國慶閱兵的預計費用和實際支出是不相等的，預計費用是m萬元，而實際支出是n萬元，如何表示m與n之間的大小關(guān)系？

生1：（1）x>1.89;（2）p

追問1：上述式子分別用了什么符號表示大小關(guān)系？

生2：分別用了符號“>”“<”“≠”.

追問2：像這樣的式子，你能給出它的定義嗎？

生3：用符號“>”“<”“≠”表示大小關(guān)系的式子，叫不等式.

追問3：像-1>-2，3<4這樣的式子，是否也叫不等式？

生4：是，因為這些式子是用符號“>”“<”來表示大小關(guān)系的.

教學說明創(chuàng)設(shè)問題組情境1，把教材中引入不等式的概念的實際問題后置為下文的情境2，原因在于不等式的概念作為章起始課的首個概念，開展探索時應以“學”定“問”.情境1問題組的設(shè)計充分考慮學生的已有經(jīng)驗、學習基礎(chǔ)、思維特點，由淺入深，由感性到理性，更符合學生的認知水平.通過教師連串追問的引導，學生在理解的基礎(chǔ)上經(jīng)歷數(shù)學概念的抽象過程，構(gòu)筑自己的“認知新區(qū)”，感受成功的喜悅.

2.探索不等式的解及解集的概念

教師呈現(xiàn)問題情境2：

上午11：20，大頭兒子一家人駕車從家里出發(fā)，勻速開往離家50km的游樂場，要在12：00之前到達，車速應滿足什么條件？

師：如果先從時間的角度來思考，如何求車速應滿足的條件？

追問1：以上兩種解法都忽視了問題中的什么數(shù)量關(guān)系？有什么關(guān)鍵詞可以體現(xiàn)這種關(guān)系？

生（齊）：忽視了問題中的不等關(guān)系，從關(guān)鍵詞“之前”可以看出.

追問2：如何用數(shù)學語言表示不等關(guān)系？

追問3：如果再從路程的角度來思考，又如何求車速應滿足的條件？

追問4：能更明確得出x應取哪些值嗎？

生（齊）：x=80，x=78，x=76，x=75.5等（學生回答不一）

追問5：那x=75符合題意嗎？

生（齊）：這不就是一元一次方程的解的問題嘛?。▽W生自發(fā)展開討論）

教學說明學生的熱議切合教師的課堂預設(shè).教師適時引導學生類比一元一次方程的解的概念，讓學生通過比較來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，繼而師生共同歸納不等式的解及解集的概念.若把一元一次不等式中未知數(shù)的最高次數(shù)升為2，就是以后將在高中學習的一元二次不等式.通過新舊知識的橫縱聯(lián)系、邏輯連貫，學生新的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)不斷搭建，極大增強數(shù)學學習的內(nèi)驅(qū)力.

3.探索不等式的解集的數(shù)軸表示方法

教師呈現(xiàn)問題情境3：

在如圖2所示的數(shù)軸上，實數(shù)x表示的點向右平移3個單位長度，得到的點在表示6的點的右側(cè)，用含x的不等式表示上述問題.

生10：x+3>6.

追問1：請直接說出該不等式的解集.

生11：x>3.

追問2：能用另一種形式表示該不等式的解集嗎？

生12：借助數(shù)軸，標出數(shù)軸上的某一部分，其中的點對應的數(shù)值都是該不等式的解，那么該不等式的解集就在數(shù)軸上表示出來了.（學生畫圖，教師點評）

教學說明教材對于“不等式的解集在數(shù)軸上表示”的處理一帶而過，學生未必能很好理解和接受.教師以數(shù)軸為背景設(shè)計問題情景3，通過追問1和追問2，引導學生由“數(shù)”向“形”過渡，使教學活動更為自然合理.學生從中感悟“數(shù)”的嚴謹與“形”的直觀，實現(xiàn)抽象思維與形象思維的交互運用，強化對數(shù)形結(jié)合思想的認知.

反思教學所得

1.科學定位，建構(gòu)數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)

教師必須厘清數(shù)學教材的結(jié)構(gòu)和學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的辯證關(guān)系，站在“高處”整體布局，精心設(shè)計每一節(jié)課.本節(jié)課的教學設(shè)計和實踐按照數(shù)學概念形成和發(fā)展的三個階段，調(diào)整了教材的結(jié)構(gòu)，更符合學生認知發(fā)展的規(guī)律.第一階段，是新概念的產(chǎn)生，在學生的知識發(fā)展還不充分的前提下，通過創(chuàng)設(shè)簡單的實際問題情境（情景1問題組），引導學生思考并探索，收獲不等式的概念的“雛形”;第二階段，是新概念的掌握和整合，在學生產(chǎn)生了不等式的概念的基礎(chǔ)上，通過類比方程的解的概念加深理解，進一步得到不等式的解及解集的概念，整合為概念域;第三階段，是概念（域）的精化發(fā)展，此時學生對概念（域）的認知進入新的發(fā)展階段，通過不等式的解集的數(shù)軸表示由“數(shù)”及“形”的思維轉(zhuǎn)變，提升學生解決較難問題的關(guān)鍵能力.如此下來，學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)得以自然且高質(zhì)量地建構(gòu).

2.適切選材，活用數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的表征系統(tǒng)

數(shù)學先驅(qū)們通過創(chuàng)造直觀教學用具，如數(shù)軸、坐標系、圖表等，為概念和概念系統(tǒng)提供有力的認知工具，實現(xiàn)數(shù)學知識在頭腦中的再現(xiàn)，形成表征系統(tǒng).在章起始課“概念系統(tǒng)”的統(tǒng)領(lǐng)下，選取合適、貼切的素材，幫助學生直觀、形象理解數(shù)學知識，改變機械記憶數(shù)學知識的學習方式.如本節(jié)課情境2中改編教材后的實際問題更貼近學生生活，情景3中創(chuàng)設(shè)的數(shù)軸情景問題更適合、貼切教材，這些示例正是靈活運用數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的表征系統(tǒng)的“鮮活”說明.但在學習數(shù)學的過程中，舊的認知結(jié)構(gòu)往往會干擾新的認知結(jié)構(gòu)的建立和表征.如在本節(jié)課情景2的教學環(huán)節(jié)中，教師的連串追問引起了學生列算式和列方程兩種舊的思維模式，在解決問題時與列不等式產(chǎn)生了矛盾.因此，教師對學生表征新舊認知的對比引導顯得尤為重要（如表1和表2所示），而學生的認知結(jié)構(gòu)在教師的對比引導下不斷推陳出新、自我完善.

3.有效整合，優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)

數(shù)學知識具備解決問題的智力性力量，如把帶方向的折線加工在數(shù)軸上，就能直觀表示不等式的解集.由此可見，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)可聯(lián)動數(shù)學概念系統(tǒng)和表征系統(tǒng)，以較高的適應性動態(tài)解決不同的數(shù)學問題（如圖3所示）.

如何在教學中優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的加工系統(tǒng)？從橫向看，加強知識間的內(nèi)在聯(lián)系和有效整合，如方程、不等式與函數(shù)，三角形、四邊形與圓，統(tǒng)計與概率等，促進學生建構(gòu)“面面俱到”的數(shù)學認知結(jié)構(gòu);從縱向看，遵循學生認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律，啟發(fā)和引導學生經(jīng)歷從算術(shù)思維到代數(shù)思維、從實驗幾何到論證幾何、從常量數(shù)學到變量數(shù)學的質(zhì)變，不斷深化學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

綜上，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的三種“成分系統(tǒng)”在學習新知與解決問題時，是緊密連接、相輔相成的，在章起始課的教學中更能凸顯其作用.學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程中主動建構(gòu)起來的，教師應有序地、整體地、系統(tǒng)地發(fā)揮主導作用，促進學生數(shù)學思維和能力的發(fā)生與發(fā)展.

參考文獻：

[1]孫昌識，姚平子.兒童數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.