踐行學為中心，提升數(shù)學交流素養(yǎng)

王卓凡

[摘要]以學生的問題作為教學過程的導向，并以學生的活動作為教學過程的本體，把“教為中心”的課堂轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W為中心”[1].以“方差”一課為例，通過精讀教材、設(shè)計理解性問題、給予精當學法指導，以期達到深思辨真交流.

[關(guān)鍵詞]學為中心;方差;精讀教材;數(shù)學交流

“學為中心”的核心理念是以學生的學習為中心，教學中把學生作為教學的真正主體，讓學生嘗試自主學習、探究、生生合作、交流探討，主動獲取知識[2].而數(shù)學交流是通過數(shù)學思維的方式，與文本信息、他人進行數(shù)學對話、溝通互動的活動過程[3].筆者以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級下冊（以下簡稱人教版《教材》）“方差”一課為例，就引導學生通過獨立閱讀、有序思考、清晰表達交流，在交流中促進數(shù)學概念的理解，與同行交流研討.

觀課的思考

在“方差”的概念教學中一線教師常出現(xiàn)以下做法，做法1：教學重點放在方差公式的應用上，確?？荚嚂鲱}不吃虧;做法2：課本沒有給出方差公式的推導過程，講了學生不理解，干脆繞過這個難點，精力放在方差公式訓練上;做法3：讓學生自學，能理解就理解，不能理解就加強方差公式應用訓練.

以上做法背后反映教師教學的三個錯誤觀點：觀點一，教學的功利性;觀點二：教學以教師為中心，只強調(diào)教師的權(quán)威性，學生的服從性;觀點三，教學以知識為中心，只重視知識的應用，不重視知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程、只重視知識的結(jié)論，不重視對知識的理解，忽略了知識學習過程中人的主觀感受和個性化理解.

備課過程中的思考

思考1：本節(jié)課的內(nèi)容有哪些規(guī)律和特點？

“方差”是規(guī)則下的概念課，其核心就是立規(guī)矩[4].規(guī)則下概念課可從“立情境——建規(guī)則——下定義——再運用”的步驟實施，通過問題情境，運用創(chuàng)新思維，構(gòu)建解決問題的規(guī)則，不斷調(diào)整規(guī)則、優(yōu)化規(guī)則、完善規(guī)則，從而建立概念.

思考2：如何在本節(jié)課中體現(xiàn)“學為中心”的理念？

“學為中心”的課堂有兩個基本特征：一是學生嘗試獨立學習和合作學習，二是教師組織、引導和幫助學生學習，做學生自主學習的推動者和促進者.學生在數(shù)據(jù)處理過程中主動去發(fā)現(xiàn)問題并結(jié)合思考性問題促進概念的深人理解，教師給予指導和幫助，使其能夠感受、理解和領(lǐng)悟數(shù)學概念.

思考3：本節(jié)課的教學目標是什么？

本節(jié)課主要的學習內(nèi)容是方差的概念，關(guān)鍵是理解算法規(guī)定的合理性，從算法中體會方差的統(tǒng)計含義.在本節(jié)課之前，學生已學過數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量.因此通過本節(jié)課的學習，學生不僅會用方差表示數(shù)據(jù)的離散程度，能比較兩組數(shù)據(jù)的變化范圍和波動大小，還會用“平均數(shù)+方差”方法去解決問題，培養(yǎng)數(shù)據(jù)說話的統(tǒng)計意識與交流習慣.

教學過程簡析

1.立情境，引新知

問題1：甲、乙兩名射擊隊員都很優(yōu)秀，現(xiàn)只能挑選一名隊員參加比賽.如果你是教練，你準備如何選拔？

問題2：如表1所示，甲、乙兩名隊員的一次比賽成績，依據(jù)這次成績，請用你的標準來計算一下，看看甲、乙兩人讓誰去？

師：問題1中，你是怎選拔隊員參加

比賽？

生（齊）：看看誰的成績高？

師：你們怎么知道誰的成績高？

生（齊）：知道他倆的成績就可以吧.

師：對，要用數(shù)據(jù)說話.

教師讓學生4分鐘時間獨立閱讀和

思考問題2，引導學生對話交流.

生1：算出兩者的平均數(shù)是9.8的，兩者沒有差別.

生2：去掉極端值10后也許可以.

師：10是否都是兩組數(shù)據(jù)中的極端值？

生1：平均數(shù)為9.8，10不是極端值.

生3：乙滿分次數(shù)多，但是乙低分數(shù)據(jù)也比甲多.

生4：甲比較穩(wěn)定.

師：怎么看出甲比較穩(wěn)定？

生4：甲數(shù)據(jù)中往9.8靠的數(shù)據(jù)比乙多，所以甲比較穩(wěn)定.

師：真不錯，兩組數(shù)據(jù)相差不大時，我們可以用數(shù)據(jù)波動的大小來分析，但是現(xiàn)在數(shù)據(jù)以表格呈現(xiàn)欠直觀，我們可以從什么角度去研究？

生（齊）：從形的角度.

教師引導學生畫出散點圖.

師：請大家結(jié)合圖1，探究能夠用哪一個量來刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.（獨立思考4分鐘，小組交流2分鐘）.

生4：我們組認為與平均數(shù)這條基準線距離越大，波動越大.

師：這是從形的角度看，能否從數(shù)的角度表示？

生5：我們組認為每一個量與平均

數(shù)9.8的差值的和，和越大則越不穩(wěn)定.

生7：是否要除以次數(shù)10？

生8：不需要，它們的和越大就越穩(wěn)定.

師：不錯，利用差值的絕對值之和可以刻畫數(shù)據(jù)波動的程度.

設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)以射擊為情境，激發(fā)學生主動積極參與探究.通過閱讀材料思考，培養(yǎng)學生用數(shù)據(jù)說話的意識和習慣;同時通過問題調(diào)動學生運用原有知識經(jīng)驗去設(shè)計挑選標準不能解決問題，引發(fā)學生的認知沖突，教師通過限時思考、小組合作、全班展示等形式激發(fā)學生進一步探究，讓學生在經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過程中提出和發(fā)現(xiàn)問題，感受數(shù)形結(jié)合解決問題的優(yōu)越性，不斷積累解決問題的經(jīng)驗.

2.深交流，建規(guī)則

問題3：如表2所示，甲、乙兩名射擊隊員五次的射擊成績?nèi)缦?，你認為誰的波動大？

追問1：能否使用差值的絕對值之和刻畫甲、乙這兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性？

追問2：散點圖上點到平均值這條基準線的距離實質(zhì)是什么？

追問3：我們學過哪些知識可以求兩點之間的距離？

追問4：試用符號語言寫出問題3刻畫數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的公式？

設(shè)計意圖本活動再引發(fā)學生認知沖突，原來的“差值之和絕對值”不能解決問題，倒逼學生重新制定規(guī)則標準，在探究中過程中，教師做學生的合作者、引導者，激發(fā)學生更為主動去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，通過課堂上通過指向?qū)W生思維的深度和指向?qū)W生思維過程的四個追問使學生進行數(shù)學交流，制定不同的量刻畫數(shù)據(jù)波動的標準，滲透數(shù)形結(jié)合思想、從一般到特殊的思想及建模思想.

3.下定義，再運用

問題4：如表3所示，為了減少選拔優(yōu)秀運動員參加比賽偶然性，以某個賽季的7次比賽總成績?yōu)橐罁?jù)進行選拔，數(shù)據(jù)如下：請你幫助教練選拔隊員.

師：能否使用問題3中得到的結(jié)論？

生9：不可以吧，他們的次數(shù)不同，

這樣不公平.

生10：大家的總分不同.

師：那有什么辦法？

生11：可以求他們的平均值，參加了多少次比賽就算幾次，穩(wěn)定性應該不變.

師：不錯.數(shù)據(jù)量不統(tǒng)一，可以用平均數(shù)來解決.

設(shè)計意圖差值的平方的平均數(shù)不受統(tǒng)計次數(shù)的影響，引導學生繼續(xù)完善方差公式，歸納方差概念并從方差公式的結(jié)構(gòu)上去理解方差的意義.培養(yǎng)學生有序思考，從驗證對不對向演繹合不合適轉(zhuǎn)變，體驗公式簡潔美，進而提升學生數(shù)據(jù)分析技能和數(shù)據(jù)分析評判質(zhì)疑能力.

4.勤反思，善總結(jié)

通過本節(jié)課的學習請同學們回答什么是方差，方差有什么用，方差的具體計算步驟又是怎樣[5].

設(shè)計意圖引導學生從方差是什么、為什么、怎么用，理解知識的內(nèi)涵與外延，弄清學習知識的必要性，掌握運用知識的思考順序，內(nèi)化知識提升素養(yǎng).

教學反思

從前述的“學為中心”的核心理念及踐行中看出，學生的數(shù)學交流素養(yǎng)得到明顯提升.數(shù)學交流素養(yǎng)的培養(yǎng)，需要根據(jù)數(shù)學課程的基本理念和學科特點、教學的主要目標和具體內(nèi)容、學生的認知特點和實際情況，還有教師的風格和特長等，來選用教學方式和方法.例如，通過提出問題、引導探究、點撥反思等積極創(chuàng)設(shè)合作與交流的機會，就該課實施有三點思考：

1.精讀教材是進行數(shù)學交流的前提

教材開門見山地寫明“除了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)這類型刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的量以外，還有一類型刻畫數(shù)據(jù)波動程度的量，其中最重要的是方差.”此話表明刻畫數(shù)據(jù)波動程度的量不僅只有方差，但方差具有其優(yōu)越性，那么其他刻畫數(shù)據(jù)波動程度的量如何取舍？這需要教師根據(jù)學情進一步合理選用;其次教材通過選用章引言問題情境隱性回答“為何學”——引入方差的必要性及合理性、“怎么學”——借助散點圖利用數(shù)形結(jié)合思想推導方差公式、“學什么”——從方差公式結(jié)構(gòu)上探討了方差刻畫數(shù)據(jù)波動程度.

再次，讀章頭語明晰如下：一是平均數(shù)和方差分別是刻畫數(shù)據(jù)集中和波動程度的量，說明兩種刻畫數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量同等重要，且兩者聯(lián)系密切.二是揭示了研究本章的需要有樣本估計總體的思想.又從“閱讀與思考”中，對極差、方差、平均差和標準差等刻畫數(shù)據(jù)波動的統(tǒng)計量進行介紹和比較，回答了為何方差在刻畫數(shù)據(jù)波動的量中的重要地位.

人教版教材中方差的篇幅不長，但其內(nèi)涵不簡單：一是為什么要學方差？二是怎樣運用數(shù)形結(jié)合的思想，從數(shù)據(jù)集中的統(tǒng)計量平均數(shù)過渡到刻畫數(shù)據(jù)波動的統(tǒng)計量方差？這需要教師在整體觀下通過精讀教材處理局部知識與整體知識的關(guān)系，設(shè)計有思維規(guī)律的學習活動.

2.提出問題是進行數(shù)學交流的關(guān)鍵

數(shù)學交流需要從問題開始，問題的引領(lǐng)起著關(guān)鍵性的作用.需從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設(shè)計具有邏輯性，理解性和有跨度性的問題，而非拼湊性、淺薄性、小步伐的問題，引導學生思考，幫助學生理解，發(fā)展學生思維能力.如本節(jié)課，筆者圍繞“為何學方差”“怎樣制定標準”“制定的標準是否合理”“新舊概念的辯證統(tǒng)一”設(shè)計四個為主線串聯(lián)起整節(jié)課的學習內(nèi)容的母問題，不斷引導學生進行探究.同時在學生思維易受阻礙之處設(shè)置起點低、相對開放的、層次分明的一系列子問題鏈，激發(fā)思考、討論和探究，促進數(shù)學交流，有助于促進概念感知、理解和運用.如在問題2中學生難以直觀分析數(shù)據(jù)的波動程度時，學生思維難以切入時設(shè)置“數(shù)據(jù)以表格呈現(xiàn)欠直觀，我們可以從什么角度去研究？”，讓思維起步.又如在問題3中，通過追問“散點圖上點到平均值這條基準線的距離實質(zhì)是什么”，撬開思維定式，讓學生“想得到”，從而促進深度思考.

3.相機點撥是進行數(shù)學交流的保障

“學為中心”并不是教師袖手旁觀或以練代講的課堂，亟須教師指導學生能動參與相應的教學活動和完成分析、歸納、比較、判斷、推理、想象等思維活動的過程，在內(nèi)化知識過程中通過交流表達，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，最終發(fā)展思維能力.意味著教師在組織學生獨立思考、小組合作研討及班級展示活動中，通過傾聽學生對話把握學生的思維邏輯，捕抓交流點，站在學生認知水平上給予評價、追問、示范等精當?shù)膶W法指導，讓學生用數(shù)學的思維去理解問題.如在問題3探究中，不少學生現(xiàn)象知識和思路儲存于大腦卻表達不出來的舌尖現(xiàn)象，無法表達怎樣從平均差到方差思考過程.面對此現(xiàn)象教師可以通過學生自主探究和互評展示，抓住“點到直線之間距離”這一交流點，捕捉如“兩點之間線段最短”“點與點之間距離”等淺表性淺層次的交流，通過追問“是否兩點距離可以轉(zhuǎn)化直角三角形邊的長度”“勾股定理公式的運用”進而想得到用平方擴大數(shù)據(jù)間的差異，在教師的板演下概括出方差的意義：方差越大，數(shù)據(jù)的波動程度越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動程度越小.

“學為中心”理念下的教學要充分發(fā)揮學生的主觀能動性，圍繞能體現(xiàn)數(shù)學思維本質(zhì)的有價值問題組織教學，引導學生積極進行數(shù)學思考活動，養(yǎng)成會閱讀、會思考、會表達的數(shù)學學習習慣，提升數(shù)學交流素養(yǎng).

參考文獻：

[1]陳佑清.“學習中心課堂”教學過程組織的邏輯及其實現(xiàn)策略[J].全球教育展望，2016，45（10）：40-47.

[2]潘小梅.踐行學為中心提升核心素養(yǎng)——“中心對稱”的教學及其思考[J].中學教研（數(shù)學），2020（10）：1-5.

[3]劉永東.“傾聽+串聯(lián)”的數(shù)學交流方法探析[J].中國數(shù)學教育，2017（19）：3-6.

[4]卜以樓.生長數(shù)學：卜以樓初中數(shù)學教學主張[M].西安：陜西師范大學出版總社，2018.

[5]張瓊吉，劉永東，蘇德杰，許世紅.“方差”教學設(shè)計簡案[J].中國數(shù)學教育，2017（19）：9-11.