基于改進(jìn)螢火蟲算法的有限元模型修正

劉 綱，陳 奇，雷振博，熊 軍

(1. 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室(重慶大學(xué))，重慶 400045；2. 重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；3. 中鐵十一局集團(tuán)第五工程有限公司，重慶 400037)

有限元分析技術(shù)具有應(yīng)用成本低、計算過程直觀等顯著優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于各種復(fù)雜機械、航空及土木工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計、性能分析與損傷識別[1?2]。但實際結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、邊界條件等的不確定性，使得有限元計算結(jié)果與實際結(jié)構(gòu)響應(yīng)往往存在一定差異[3]。為使有限元模型能夠更為準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)實際狀態(tài)，有限元模型修正技術(shù)得到了大力發(fā)展，已成為當(dāng)前重點研究方向和前沿[4]。

目前，有限元模型修正技術(shù)多采用參數(shù)型修正法，即對有限元模型中的材料特性、截面尺寸等參數(shù)進(jìn)行修正，具有簡單直觀、物理意義明確等特點[5]。修正步驟主要包括目標(biāo)函數(shù)建立、修正參數(shù)確定及優(yōu)化算法選取等，其中，合理算法的選取是保證修正精度的關(guān)鍵因素[6]。因為傳統(tǒng)的牛頓法、一階優(yōu)化法等確定性搜索優(yōu)化算法對初始值較為敏感，且易陷入局部最優(yōu)[7]，故而近年來各類隨機搜索優(yōu)化算法得到了更多的發(fā)展及應(yīng)用。

李成等[8]提出了基于人工魚群算法的結(jié)構(gòu)模型修正方法，以每層層間剛度為修正參數(shù)，完成了實驗室3層框架的模型修正；杜大華等[9]提出一種基于模擬退火算法的有限元模型修正方法，并以火箭發(fā)動機噴管模型為例實現(xiàn)了7參數(shù)的有限元模型修正；蘇越[10]提出了基于蟻群優(yōu)化算法的有限元模型修正方法，并完成了虎門大橋的有限元模型修正；夏志遠(yuǎn)等[11]提出了基于高斯白噪聲擾動的粒子群優(yōu)化有限元模型修正方法，某在役橋梁結(jié)構(gòu)模型修正結(jié)果表明，各階頻率誤差降低至8.86%以下。此外，差分進(jìn)化算法、蜂群算法、遺傳算法等[12?16]也被大量應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型修正中，形成了一系列基于仿生學(xué)的有限元模型修正方法，并在土木、機械等結(jié)構(gòu)中顯示出良好的修正效果。

螢火蟲算法(firefly algorithm，F(xiàn)A)作為一種新興啟發(fā)式智能仿生算法，具有參數(shù)少、易實現(xiàn)、全局尋優(yōu)能力強等特點，在狀態(tài)預(yù)測、傳感器優(yōu)化布置、信號降噪處理等領(lǐng)域得到初步應(yīng)用[17?21]。但標(biāo)準(zhǔn)FA算法存在著后期收斂速度慢、收斂精度低等不足，嚴(yán)重制約了FA在實際工程中的應(yīng)用。針對這一問題，本文通過對隨機吸引度因子及自適應(yīng)步長因子的改進(jìn)，提升算法收斂效率與精度。并通過函數(shù)、簡支梁數(shù)值模擬和某實際連續(xù)剛構(gòu)橋的有限元模型修正，驗證改進(jìn)FA算法有效性，從而為有限元模型修正提供優(yōu)化方法支撐。

1 螢火蟲算法及其改進(jìn)

1.1 螢火蟲算法基本原理

螢火蟲算法是一種隨機搜索算法，其基本思路是借鑒螢火蟲的自然行為，將優(yōu)化問題中的迭代搜索看作是螢火蟲相互吸引而自發(fā)聚集的過程，從而通過模擬螢火蟲群體行為實現(xiàn)最優(yōu)化問題求解。在自然界中，螢火蟲個體的吸引力與發(fā)光強度正相關(guān)，與它們之間距離的平方負(fù)相關(guān)；亮度小的螢火蟲個體向亮度大的螢火蟲靠近，從而完成螢火蟲種群的自發(fā)式移動和聚集[17]，如圖1所示。圖1中，每個黑色原點為一只螢火蟲個體，代表優(yōu)化問題的一個可能解；螢火蟲周圍的光暈表示其發(fā)光強度，代表該只螢火蟲的適應(yīng)度函數(shù)值大小，適應(yīng)度值越優(yōu)，螢火蟲的發(fā)光強度越強、光暈范圍越大；兩只螢火蟲之間的虛線代表吸引力，虛線越粗，代表吸引力越大。

圖1 螢火蟲發(fā)光強度示意圖Fig. 1 Luminous intensity of firefly

螢火蟲的移動過程就是可能解不斷向最優(yōu)解的迭代過程，下面給出該過程的數(shù)學(xué)描述。假設(shè)Xi=(x1i,x2i,···,xdi)是群體中的第i只螢火蟲，其中i =1, 2, 3, ···, N。N與d分別表示種群中螢火蟲的個數(shù)與修正參數(shù)的維度。對任意兩只螢火蟲Xi與Xj(i≠j)，定義兩者之間的歐氏距離rij為：

則兩者之間的吸引度因子為：

式中：β0為兩只螢火蟲距離rij=0時的吸引力，一般取為1；γ為光在空氣中的衰減系數(shù)，一般取為0.01～100。假設(shè)螢火蟲Xj(j≠i)的適應(yīng)度值優(yōu)于Xi，則螢火蟲Xi會被螢火蟲Xj吸引而更新，有：

式中：j=1, 2,···, i?1, i+1,···, N，上標(biāo)t為當(dāng)前迭代步數(shù)；α為步長因子，取值范圍為0～1；ε為d維隨機向量，服從正態(tài)分布N(0,1)。若Xi為當(dāng)前最佳，則對Xi進(jìn)行隨機移動：

螢火蟲Xi在第t步的具體更新過程如圖2所示。

圖2 第i只螢火蟲更新步驟Fig. 2 Updating steps of the ith firefly

1.2 螢火蟲算法改進(jìn)

在式(3)中，螢火蟲Xi的更新過程可細(xì)分為跳躍操作dxβ和隨機游走操作dxα：

因此，該算法的優(yōu)化性能主要取決于吸引度因子βij和步長因子α，若這兩者設(shè)置不當(dāng)，會導(dǎo)致算法精度下降甚至難以收斂。針對這一問題，本文提出改進(jìn)自適應(yīng)參數(shù)控制算法，以提升計算效率及精度。

1) 隨機吸引度因子

吸引度因子βij在不同γ取值下隨著歐氏距離rij的變化規(guī)律如圖3所示。

由圖3知，γ較大時，吸引度因子βij及跳躍距離dxβ均會隨著距離增加快速趨近于0，致使搜索停滯；γ較小時，βij往往過早趨近于1，此時，跳躍操作可近似等效為：

圖3 βij迭代過程Fig. 3 The iterative process of βij

此時，亮度較低的螢火中直接跳轉(zhuǎn)到高亮度的螢火蟲附近，難以對狀態(tài)空間內(nèi)其他位置進(jìn)行探索、產(chǎn)生有效跳躍，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)率低、易陷入局部最優(yōu)。因此，衰減系數(shù)γ大小決定了螢火蟲的可視范圍，在原螢火蟲算法中，衰減系數(shù)γ為定值，不會隨著迭代過程而改變，故無論γ取值如何，不可能同時兼顧迭代初期大范圍快速搜索、迭代后期小范圍精細(xì)搜索的需求。

針對這一現(xiàn)象，本文取γ=0.01，使各螢火蟲的βij大于0.8，擁有較大的初始搜索空間，避免計算停滯；同時，引入隔代隨機吸引度因子，如式(7)所示，使βij有機會取較小值，解決因γ取值過小導(dǎo)致βij過早趨于1而致使解的同質(zhì)化現(xiàn)象，以提升算法遍歷性。

式中：rand表示從均勻分布U(0,1)中抽取隨機數(shù)；mod(t,2)=0表示迭代步數(shù)t為偶數(shù)。通過設(shè)置隔代隨機吸引度因子改善算法搜索空間。以某二維函數(shù)優(yōu)化過程為例，跳躍操作改進(jìn)前后搜索變化如圖4所示。由圖4可知，改進(jìn)前由于βij過早趨近于1，跳躍距離dxβ沿固定線性路徑分布，搜索范圍單一。而改進(jìn)吸引度因子有效增加算法搜索范圍，擴大了算法的搜索路徑，提升了算法遍歷性，提高了計算精度。

圖4 跳躍操作產(chǎn)生的距離dxβFig. 4 The distance dxβ produced by jump operation

2) 自適應(yīng)步長因子

在螢火蟲算法迭代初期，隨機選取的初始值往往離真值較遠(yuǎn)，則此時步長因子α應(yīng)取較大值以保證獲得較廣的探索空間，而隨著算法不斷迭代優(yōu)化，種群中所有個體將逐漸聚集，最終收斂到真值，即：

此時，α應(yīng)趨近于0。否則，算法將在最優(yōu)解附近大幅振蕩，影響算法的收斂性能。從以上分析可知，α值應(yīng)隨著迭代演化而逐漸減小，但縮減的速度大小會影響最終計算效率與精度?？s減速度過大，會導(dǎo)致dxα過早趨于0，迭代過早停滯，無法收斂到最優(yōu)值；縮減速度過小，會導(dǎo)致迭代后期的dxα過大，使結(jié)果在最優(yōu)解附近振蕩。因此，本文提出參數(shù)α自適應(yīng)動態(tài)更新策略：

式中：α0為步長因子初始值，建議取為1；T為最大迭代步數(shù)；c為常數(shù)縮減因子，可根據(jù)實際情況取值以獲取適宜的步長因子自適應(yīng)縮減速度。根據(jù)算例實際計算結(jié)果分析，建議自適應(yīng)步長因子α的縮減系數(shù)c取為15，此時，α及dxα變化規(guī)律如圖5所示。

圖5 α及隨機游走距離dxα變化曲線Fig. 5 Curves of α and random walk distance dxα

改進(jìn)后的螢火蟲算法如圖6所示，其中，虛線框內(nèi)內(nèi)容為算法改進(jìn)部分。

圖6 算法流程圖Fig. 6 Algorithm flow chart

2 算法性能測試

2.1 試驗設(shè)置

采用3個常用的基準(zhǔn)測試函數(shù)檢驗改進(jìn)FA算法的效果(如圖7所示)，算式如下：式中：d 為參數(shù)的維數(shù)，所有函數(shù)均取為2； f1為單峰函數(shù)，用于考察算法的收斂速度； f2雖是單峰函數(shù)，但其全局最優(yōu)點隱藏于一條狹長的通道中不易獲得； f3是典型的非線性多模態(tài)函數(shù)，具有大量局部極值，可有效檢驗算法的全局搜索性能。f1和 f2的參數(shù)取值范圍為(?10, 10)，f3的參數(shù)取值范圍為(?32.768, 32.768)，各函數(shù)圖像如圖7所示。改進(jìn)及標(biāo)準(zhǔn)FA算法的螢火蟲總數(shù)均取為60，最大迭代步數(shù)取為1500。

圖7 各測試函數(shù)3維圖Fig. 7 Graphical model of each test function

2.2 試驗結(jié)果

因螢火蟲算法是一種隨機算法，為確定統(tǒng)計意義上的優(yōu)化效果，式(10)中每個函數(shù)分別優(yōu)化20次，統(tǒng)計最終計算結(jié)果及計算精度達(dá)到0.01[11]所需平均迭代步數(shù)。計算結(jié)果如表1所示。限于篇幅，圖8僅給出f1與f3函數(shù)20次平均優(yōu)化迭代過程函數(shù)值與迭代步數(shù)的關(guān)系。

表1 測試函數(shù)計算結(jié)果Table 1 Computed results of test functions

圖8 f1、f3函數(shù)20次平均優(yōu)化迭代過程Fig. 8 The 20 average iterative processes of f1、f3

由表1知，對于所有基準(zhǔn)測試函數(shù)，改進(jìn)FA算法在優(yōu)化平均值方面均有較明顯提升，且從標(biāo)準(zhǔn)差來看，改進(jìn)FA算法具有更強的算法穩(wěn)定性；由圖8知，在優(yōu)化計算過程中，標(biāo)準(zhǔn)與改進(jìn)FA算法在計算初期收斂速率相當(dāng)，但迭代50次左右以后，由于參數(shù)沒有適應(yīng)性功能，標(biāo)準(zhǔn)FA的優(yōu)化速率急劇降低，陷入局部最優(yōu)解，在多峰函數(shù)計算時，未能收斂。而改進(jìn)FA算法，無論處理單峰函數(shù)還是復(fù)雜多峰函數(shù)，在900步前均能保持較好的收斂趨勢，有效提升了算法中、后期收斂速度，且計算精度遠(yuǎn)超設(shè)定閾值，擁有較高的收斂精度。

3 基于改進(jìn)FA的有限元模型修正

3.1 基于改進(jìn)FA算法的有限元模型修正方法

有限元模型修正的3個主要步驟是：確定目標(biāo)函數(shù)、修正參數(shù)及修正算法。目標(biāo)函數(shù)往往根據(jù)可獲得的實測數(shù)據(jù)確定。在土木工程中，結(jié)構(gòu)動態(tài)測試在隨機激勵下容易實現(xiàn)，故選取識別的固有頻率與模態(tài)振型，建立如下目標(biāo)函數(shù)：

式中：n、m分別表示頻率ω與振型φ的階數(shù)；下標(biāo)e、r分別表示有限元模型計算值與實測值；CV表示測量變異系數(shù)。通過變異系數(shù)加權(quán)，給予測量誤差較小的項以較大的權(quán)重，減小測量誤差對修正結(jié)果的影響。

其次，選取彈性模量、密度、幾何尺寸等作為修正參數(shù)[5]，并用向量X=[x1,x2,···,xd]表示。

最后，使用改進(jìn)FA算法進(jìn)行有限元模型修正。通過抽樣形成初始螢火蟲種群，每個螢火蟲代表一個參數(shù)向量X，將參數(shù)向量代入有限元模型計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，進(jìn)而通過式(11)確定每個螢火蟲的適應(yīng)度值，再按照圖5中的流程更新螢火蟲位置，直到達(dá)到迭代終止條件。

3.2 簡支梁模型修正

對一跨度為10 m的簡支梁進(jìn)行模型修正。該梁高H=0.6 m，寬B=0.4 m，材料密度為2500 kg/m3，沿長度方向?qū)⒘壕譃?0個單元，記為編號1～10，并設(shè)置9個振型測點，記為編號①～⑨，如圖9所示。

圖9 簡支梁模型Fig. 9 The model of the simple-supported beam

選取10個單元的彈性模量為修正參數(shù)Ei(i=1,2, ···, 10)。為方便修正，對修正參數(shù)值進(jìn)行歸一化無量綱處理，即θi=Ei/E0，其中，E0=3.3×104MPa，則修正參數(shù)為無量綱量θi?？紤]環(huán)境、施工工藝等因素影響，假設(shè)混凝土實際彈性模量存在一定離散性，隨機設(shè)置各單元的彈性模量“真值”，如表2所示。

表2 各單元彈性模量真值Table 2 The actual elastic modulus of each element

在實際問題中，由于測量誤差，每次測量結(jié)果往往不盡相同，故一般使用多次測量結(jié)果以減少誤差影響。為模擬這一過程，首先將預(yù)設(shè)真值代入有限元模型計算獲取前6階頻率和前3階豎向振型；然后對各階頻率及振型分別添加1%噪聲以模擬測量誤差，最終“實測”頻率信息如表3所示。

表3 實測頻率信息Table 3 The information of measured frequency

基于上述“實測”值，分別使用原始FA及改進(jìn)FA對簡支梁進(jìn)行有限元模型修正。修正時，各螢火蟲參數(shù)初始值從均勻分布U(0, 2)中隨機抽取，種群中螢火蟲個數(shù)N=20，每只螢火蟲包含變量維數(shù)d=10，最大迭代步T=3000。本文僅列出某只螢火蟲迭代收斂情況，如圖10所示。參數(shù)修正結(jié)果如圖11所示。

圖10 某只螢火蟲各維參數(shù)收斂情況Fig. 10 Convergence of parameters of one firefly

圖11 修正前、后參數(shù)及誤差對比Fig. 11 Comparisons of parameters and errors before and after updating

從圖10可看出，標(biāo)準(zhǔn)FA算法由于參數(shù)不可適應(yīng)性，迭代過程易陷入停滯，修正效率低，且最終計算結(jié)果未能全部收斂到真值；所提改進(jìn)算法在1000步左右即可收斂，且均能收斂到真值。從圖11可知，修正前各參數(shù)誤差均大于9%，其中單元4的彈性模量誤差最大，高達(dá)66.7%；標(biāo)準(zhǔn)FA修正后模型的個別參數(shù)計算誤差不減反增，修正效果較差；改進(jìn)算法修正后模型各參數(shù)誤差均降低至1.08%以下，其中單元1參數(shù)誤差僅為0.08%。故所提改進(jìn)算法極大地提升了原始算法的計算性能，具有良好的修正效果。

3.3 某連續(xù)剛構(gòu)橋修正

某三跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋跨徑組合為140 m+240 m+140 m，根部梁高為15 m，跨中及邊跨直線段梁高均為4.5 m，主梁采用單箱雙室截面，箱梁腹板采用直腹板，主梁材料采用C50混凝土；橋墩主墩采用雙薄壁墩，墩身薄壁截面尺寸為16 m×25 m，兩薄壁間凈距為7 m，墩高為55 m，墩身材料采用C40混凝土。C40、C50混凝土初始彈性模量分別取為3.25×104MPa、3.45×104MPa，初始密度均取為2600 kg/m3。

利用商業(yè)有限元軟件建立該橋模型，所有構(gòu)件均采用歐拉三維梁單元模擬。在橋墩底端，樁基礎(chǔ)與承臺基礎(chǔ)具有很大的剛度且與基巖嵌固良好，故將其視作固端約束；主梁與墩頂采用固接；橋梁兩端為活動支座，在有限元中各設(shè)一個單向支座，提供X、Z(垂直紙面)方向的平移約束與繞Z方向的轉(zhuǎn)動約束。初始有限元模型如圖12(a)所示，模型共包含547個節(jié)點，272個單元。

圖12 初始有限元模型、傳感器布設(shè)及參數(shù)選取示意圖Fig. 12 The initial finite element, the sensor arrangement and the selection of the parameters

傳感器布設(shè)位置如圖12(b)所示，共采用13個加速度傳感器進(jìn)行實橋環(huán)境隨機激勵測試，采樣頻率設(shè)為25 Hz，分別進(jìn)行5次采樣以減少隨機誤差的影響，每次采樣時間持續(xù)30 min。通過頻域分解法(frequency domain decomposition)處理測試數(shù)據(jù)獲得的前4階豎向自振頻率、豎向振型與初始模型計算結(jié)果對比如表4所示，除第4階頻率誤差較小之外，其余階頻率誤差均達(dá)到6%以上。

表4 模型修正前后計算結(jié)果對比Table 4 Comparisons of the calculation results before and after model updating

該橋主梁施工采用懸臂澆筑工藝，考慮到相鄰節(jié)段梁施工間隔較近、差異較小，為減少計算參數(shù)，將相鄰節(jié)段梁的彈性模量、密度分別視為一個參數(shù)，參數(shù)選取如圖12所示，其中1～10為選取的合并后節(jié)段編號，故全橋共選取20個修正參數(shù)。修正時，螢火蟲個數(shù)N=20，最大迭代步數(shù)T=2000。

由表4知，改進(jìn)FA算法修正后有限元模型的各階頻率誤差均明顯下降，均低于3.25%，修正效果較好；而原始FA算法修正后模型的第3階、4階頻率誤差反而略微增大，最大誤差出現(xiàn)在第3階，達(dá)到7.34%，修正效果較差；根據(jù)表中MAC數(shù)值及圖13(限于篇幅，只列出前2階振型)可知，兩種算法修正后各階振型與實測振型吻合度均有提升，但總體上改進(jìn)FA計算精度優(yōu)于原始FA。

圖13 振型對比圖Fig. 13 Comparisons of mode shapes

綜上所述，改進(jìn)FA算法相較于原始FA算法在實橋有限元模型修正中表現(xiàn)出更加良好的修正效果。

4 結(jié)論

針對標(biāo)準(zhǔn)FA算法缺陷，提出了參數(shù)自適應(yīng)改進(jìn)方法，通過多種單、多峰函數(shù)以及簡支梁數(shù)值算例與某大橋有限元模型修正，驗證了所提方法的有效性。所得結(jié)論如下：

(1) 根據(jù)FA算法更新原理，分析吸引度因子βij與步長因子α的變化規(guī)律，提出參數(shù)自適應(yīng)方法，并通過4個具有不同形式特點的單、多峰測試函數(shù)驗證了改進(jìn)FA算法相較于原始FA算法在尋優(yōu)速率、精度方面的優(yōu)越性。

(2) 分別將改進(jìn)前后的FA算法應(yīng)用于10維簡支梁模型修正，結(jié)果表明，原始算法在修正中易陷入停滯，修正精度較低，而改進(jìn)算法擁有較好的修正效果。修正前后，簡支梁參數(shù)最大誤差由初始模型的66.7%降低至修正后的1.08%，且修正后最小誤差降低至0.08%。驗證了改進(jìn)FA算法在結(jié)構(gòu)有限元模型修正中的應(yīng)用可行性。

(3) 基于環(huán)境隨機激勵測試與頻域分解法，識別某連續(xù)剛構(gòu)橋的豎向前4階頻率、振型。結(jié)果表明，修正前頻率最大誤差為14.47%，改進(jìn)算法修正后各階頻率相對誤差明顯下降，均控制在3.25%以內(nèi)。此外，修正后的各階振型與實測振型吻合度均有提升，表明所提方法擁有良好的修正效果。