基于設(shè)計(jì)地震動(dòng)的覆蓋層場(chǎng)地空間自由場(chǎng)構(gòu)建

韓 魯，宋志強(qiáng)，王 飛，劉云賀

(西安理工大學(xué)省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西，西安 710048)

地震動(dòng)輸入[1?4]是結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析和抗震安全[5?7]研究的前提。目前，地震動(dòng)輸入多是在均質(zhì)基巖組成的半無(wú)限地基中構(gòu)建地震動(dòng)空間自由場(chǎng)[8?10]。對(duì)于覆蓋層場(chǎng)地，由于地震波經(jīng)過(guò)基巖-覆蓋層界面時(shí)的透射、到達(dá)覆蓋層地表時(shí)的反射以及土層介質(zhì)阻尼造成的幅值衰減作用，使得覆蓋層場(chǎng)地地震動(dòng)場(chǎng)明顯區(qū)別于均質(zhì)基巖地基自由場(chǎng)[11]。開(kāi)展基巖-覆蓋層場(chǎng)地地震動(dòng)特征及空間自由場(chǎng)構(gòu)建研究，對(duì)于覆蓋層地基地震動(dòng)輸入及其上建筑物地震響應(yīng)研究具有重要意義。

目前，關(guān)于場(chǎng)地效應(yīng)的研究中，垂直入射假定應(yīng)用最為廣泛[12?13]。Mehdi等[14]假定地震波從基巖垂直入射至地表，使用改進(jìn)的直接有限元法對(duì)高拱壩-水庫(kù)-地基進(jìn)行了非線性地震分析。但在近場(chǎng)地震中，地震波往往是以一定角度斜入射至地表[15?18]。孫緯宇等[19]研究了河谷地形在SV波斜入射下的場(chǎng)地效應(yīng)，結(jié)果表明：斜入射條件下場(chǎng)地效應(yīng)受入射角影響且與垂直入射有明顯差異。García等[20]研究表明：SV波和P波斜入射下拱壩的地震反應(yīng)明顯大于垂直入射的地震反應(yīng)。同時(shí)，大量的研究將場(chǎng)地簡(jiǎn)化為均質(zhì)半無(wú)限彈性空間[21?23]，以此推導(dǎo)地震波在場(chǎng)地中的傳播規(guī)律并分析場(chǎng)地效應(yīng)，如黃博等[24]基于半無(wú)限彈性空間研究SV波斜入射形成的動(dòng)應(yīng)力路徑；Pelli等[25]采用線彈性模型研究了具有空腔的半平面空間在SV波作用下的應(yīng)力場(chǎng)和變形場(chǎng)。但由于覆蓋層[26]和基巖的材料力學(xué)特性存在明顯差異，將基巖-覆蓋層場(chǎng)地視為均質(zhì)半無(wú)限彈性空間并不合理，根據(jù)場(chǎng)地條件分別賦予覆蓋層和基巖不同的材料參數(shù)，考慮地震波經(jīng)過(guò)基巖-覆蓋層界面時(shí)的透射、到達(dá)覆蓋層地表時(shí)的反射[27]更符合實(shí)際。地震波在覆蓋層傳播時(shí)會(huì)發(fā)生幅值衰減，將場(chǎng)地視為彈性介質(zhì)會(huì)忽略這一因素，因而需引入新的參數(shù)以考慮由覆蓋層引起的幅值衰減[28]。此外，當(dāng)?shù)卣鸩ńM合斜入射時(shí)，由于場(chǎng)地不同空間點(diǎn)波場(chǎng)組合疊加方式不同，場(chǎng)地地震動(dòng)具有空間非一致性[29]，何衛(wèi)平等[30]考慮地震波組合效應(yīng)獲得了具有空間差異性的均質(zhì)基巖場(chǎng)地自由場(chǎng)，并研究場(chǎng)地地震動(dòng)的空間非一致性對(duì)重力壩響應(yīng)的影響。目前，尚未見(jiàn)關(guān)于基巖-覆蓋層場(chǎng)地地震動(dòng)空間自由場(chǎng)構(gòu)建及空間非一致特性研究。

因此，本文提出了一種基于覆蓋層地表設(shè)計(jì)地震動(dòng)的基巖-覆蓋層場(chǎng)地空間差異自由場(chǎng)構(gòu)建方法。首先建立了覆蓋層場(chǎng)地空間任一點(diǎn)地震動(dòng)與入射SV波和P波的關(guān)系式，其次根據(jù)覆蓋層地表控制點(diǎn)兩向設(shè)計(jì)地震動(dòng)和入射角獲得入射SV波和P波的時(shí)程，進(jìn)而分析地震波在覆蓋層場(chǎng)地經(jīng)多次反射的傳播路徑，引入阻尼比考慮衰減作用，最終構(gòu)建了基巖-覆蓋層場(chǎng)地空間自由場(chǎng)，并采用美國(guó)La Cienega場(chǎng)地實(shí)際臺(tái)陣記錄進(jìn)了驗(yàn)證。

1 SV波、P波組合斜入射下的自由場(chǎng)

1.1 入射波在彈性分界面的透射及反射

由于SV波和P波在覆蓋層和基巖的傳播速度不同，其在覆蓋層和基巖的彈性分界面上均會(huì)產(chǎn)生透射SV波、透射P波、反射SV波和反射P波。另一方面，當(dāng)SV波和P波傳播到覆蓋層自由表面時(shí)，由于自由表面以上不存在傳播介質(zhì)，因此只會(huì)產(chǎn)生反射波SV波和P波。SV波和P波在彈性分界面和自由表面的透射和反射關(guān)系如圖1。根據(jù)彈性分界面的位移和應(yīng)力連續(xù)條件及斯奈爾定律，可以得到SV波在彈性分界面的透射和反射系數(shù)的矩陣如式(1)，P波在彈性分界面的透射和反射系數(shù)的矩陣形式如式(2)。

圖1 SV波和P波的透射和反射關(guān)系Fig. 1 Relationship between transmission and reflection of SV and P waves

式中：ρ1和ρ2分別為基巖和覆蓋層的密度；νS1和νP1分別為SV波和P波在基巖中的傳播速度；νS2和νP2分別為SV波和P波在覆蓋層中的傳播速度。SV波入射時(shí)，β1和α1分別SV波和P波在基巖中的反射角；β2和α2分別SV波和P波在覆蓋層中的反射角；RSS、RSP、TSS、TSP分別為反射SV波、反射P波、透射SV波、透射P波的系數(shù)。P波入射時(shí)，符號(hào)表示與SV波入射相似，不再贅述。

1.2 入射波在自由表面的反射

根據(jù)覆蓋層自由表面應(yīng)力為零的邊界條件及斯奈爾定律可以得到SV波和P波在自由表面的反射系數(shù)如式(3)。

1.3 自由場(chǎng)任意空間點(diǎn)位移分量表達(dá)

地震波在彈性分界面和自由表面的每一次反射都會(huì)產(chǎn)生兩種反射波，隨著反射次數(shù)的增多，反射波的數(shù)量也呈幾何式上升。對(duì)于任意空間點(diǎn)，經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的反射波有無(wú)數(shù)條，每一條對(duì)該點(diǎn)地震動(dòng)的貢獻(xiàn)程度不同，隨著反射次數(shù)的增加，反射波幅值逐漸減小，當(dāng)反射次數(shù)超過(guò)某一數(shù)值時(shí)，反射波幅值減小至可以忽略不計(jì)。在確定入射波信息和入射角后，根據(jù)空間點(diǎn)的位置和波速計(jì)算到達(dá)該點(diǎn)的所有反射波及其延時(shí)效應(yīng)，由地震波的疊加理論可以獲得空間點(diǎn)的位移分量。設(shè)入射P波的時(shí)程為g(t)，入射SV波的時(shí)程f(t)。

若空間點(diǎn)位于覆蓋層自由表面，則其反射次數(shù)只能為偶數(shù)，圖2表示SV波入射時(shí)到達(dá)自由表面空間點(diǎn)的地震波傳播路徑。以S和P分別表示SV波和P波。當(dāng)反射次數(shù)為0時(shí)，有SS和SP 2條地震波；當(dāng)反射次數(shù)為2時(shí)，有SSSS、SSSP、SSPS、SSPP、SPSS、SPSP、SPPS、SPPP8條地震波；以此類(lèi)推，當(dāng)反射次數(shù)為m時(shí)，由SV波入射產(chǎn)生的一系列地震波有2m+1條，其中到達(dá)空間點(diǎn)的P波和SV波各2m條。P波入射的情況與SV波入射相似，在此不再贅述。由圖1和圖2中的幾何關(guān)系可以得到自由場(chǎng)任意空間點(diǎn)位移分量的表達(dá)式，如式(4)和式(5)。

圖2 SV波入射時(shí)自由表面空間點(diǎn)的地震波傳播路徑Fig. 2 Propagation path of seismic waves at a point on free surface when SV wave is incident

若空間點(diǎn)位于覆蓋層內(nèi)，則其反射次數(shù)為自然數(shù)。圖3表示SV波入射時(shí)到達(dá)覆蓋層內(nèi)空間點(diǎn)的地震波傳播路徑?？梢钥闯?，反射次數(shù)為偶數(shù)代表反射波從空間點(diǎn)下方入射，反射次數(shù)為奇數(shù)代表反射波從空間點(diǎn)上方入射。由圖3中的幾何關(guān)系可以得到自由場(chǎng)任意空間點(diǎn)位移分量的表達(dá)式，如式(6)和式(7)。

圖3 SV波入射時(shí)覆蓋層內(nèi)空間點(diǎn)的地震波傳播路徑Fig. 3 Propagation path of seismic waves at a point in overburden when SV wave is incident

2 基于設(shè)計(jì)地震動(dòng)的自由場(chǎng)構(gòu)建

2.1 入射SV波、P波時(shí)程的求解

目前大多數(shù)研究是直接采用地表地震動(dòng)作為入射波進(jìn)行輸入，而基于設(shè)計(jì)地震動(dòng)的自由場(chǎng)構(gòu)建首先要由控制點(diǎn)時(shí)程(即設(shè)計(jì)地震動(dòng))反演入射P波和SV波的時(shí)程和入射角等信息。以往的研究大多依據(jù)地表地震動(dòng)水平分量進(jìn)行一維反演(即取基巖入射波峰值加速度為地表峰值加速度的一半)輸入。顯然，根據(jù)覆蓋層表面地震動(dòng)進(jìn)行二維反演獲得入射SV波和P波的信息，再根據(jù)SV波和P波得到空間自由場(chǎng)，進(jìn)而完成地震動(dòng)波動(dòng)輸入更為合理。該過(guò)程可保證控制點(diǎn)時(shí)程與設(shè)計(jì)地震動(dòng)在水平和豎直兩向均是一致的。由式(4)和式(5)可以得到地表的兩向設(shè)計(jì)地震動(dòng)與入射SV波和P波的關(guān)系式，如式(8)和式(9)：

在時(shí)域上難以直接由式(8)和式(9)求入射波時(shí)間歷程f(t)和g(t)，但通過(guò)傅里葉變化可將式(8)和式(9)轉(zhuǎn)化為頻域的方程：

式中：h(ω)和v(ω)分別為水平向時(shí)程h(t)和豎直向時(shí)程v(t)的傅里葉變換；f(ω)和g(ω)分別為SV波時(shí)程f(t)和P波時(shí)程g(t)的傅里葉變換。應(yīng)用式(10)和式(11)即可求解出f(ω)和g(ω)，再根據(jù)傅里葉逆變換即可獲得SV波和P波的時(shí)間歷程。

2.2 入射角度的求解

入射角對(duì)地震動(dòng)的影響很大，確定合理的入射角是構(gòu)建自由場(chǎng)的另一重要步驟。在實(shí)際地震中，水平向地震動(dòng)一般受SV波影響較大，豎直向地震動(dòng)一般受P波影響較大，同時(shí)P波往往相較SV波更早到達(dá)地面。因而可以通過(guò)地表水平向地震動(dòng)和豎直向地震動(dòng)的平均幅值的比值來(lái)確定SV波和P波的主要貢獻(xiàn)時(shí)段，并在SV波和P波的主要貢獻(xiàn)時(shí)段內(nèi)分別確定SV波和P波的入射角，如圖4。

圖4 兩向地震動(dòng)的平均幅值比Fig. 4 Average amplitude ratio of two directional ground motions

平均幅值的計(jì)算如式(12)所示。

式中：將地震持續(xù)時(shí)間劃分為N段時(shí)窗；Mi為時(shí)窗i的平均幅值；l為一個(gè)時(shí)窗內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；T1、T2分別為每個(gè)時(shí)窗的起始和終止時(shí)刻；a(t)為加速度時(shí)程。

在SV波主要貢獻(xiàn)時(shí)段，記水平向的地震動(dòng)平均峰值(正負(fù)峰值絕對(duì)值的平均)為PSV-h，豎直向地震動(dòng)平均峰值為PSV-v。在P波主要貢獻(xiàn)時(shí)段，記水平向的地震動(dòng)平均峰值為PP-h，豎直向地震動(dòng)平均峰值為PP-v。則SV波和P波入射角可用式(13)和式(14)表示：

2.3 地震波幅值衰減的影響

地震波在覆蓋層中傳播時(shí)，覆蓋層有著明顯的隔震作用，即地震波在覆蓋層中傳播相較基巖幅值有明顯的衰減，并且對(duì)于高頻部分，其幅值衰減更加明顯。為了考慮覆蓋層對(duì)地震波的衰減作用，假設(shè)覆蓋層是具有粘性的介質(zhì)，引入阻尼比，地震波在傳播過(guò)程中的衰減作用[31]可用式(15)表示：

式中：A為考慮衰減后的幅值；A0為未考慮衰減的幅值；z為地震波在覆蓋層中傳播路徑的長(zhǎng)度；k反映隨著傳播路徑長(zhǎng)度的增大，振幅衰減的快慢程度，可用式(16)表示：

式中：v為入射波速；λ為阻尼比；ω為入射波的頻率。不同覆蓋層對(duì)地震波衰減的影響不同，故應(yīng)采取合適的阻尼比來(lái)考慮覆蓋層的衰減作用。阻尼比由試驗(yàn)或根據(jù)場(chǎng)地條件和工程經(jīng)驗(yàn)確定，可在一定合理的范圍據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整，以減小土體非線性、不均勻性等因素的影響。此外，地震波的頻率組成是復(fù)雜的，因而需將地震波時(shí)間歷程利用傅里葉變換轉(zhuǎn)化為頻譜，然后將每一頻率下的k依次求出并代入式(15)得到該頻率衰減后的幅值，再利用傅里葉逆變換即可求得衰減后的時(shí)間歷程。式(16)也可以簡(jiǎn)化處理，由于實(shí)際地震中與場(chǎng)地頻率接近的部分受場(chǎng)地的影響較大，因而可以取ω為場(chǎng)地的固有頻率。

2.4 自由場(chǎng)構(gòu)建流程

由式(13)和式(14)獲得SV波和P波的入射角，由式(10)和式(11)及傅里葉變換和逆變換獲得入射SV波和P波的時(shí)間歷程，根據(jù)式(4)～式(7)即可得到任意空間點(diǎn)在SV波、P波組合斜入射作用下的地震動(dòng)。圖5為本文計(jì)算方法的流程圖。

圖5 本文計(jì)算方法的流程圖Fig. 5 Flow chart of calculation method in this paper

3 自由場(chǎng)構(gòu)建算例分析

3.1 覆蓋層場(chǎng)地實(shí)測(cè)地震動(dòng)的選取及計(jì)算模型

為了驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性，以一臺(tái)陣的實(shí)測(cè)地震動(dòng)作為設(shè)計(jì)地震動(dòng)構(gòu)建自由場(chǎng)并與其它測(cè)點(diǎn)對(duì)比分析。La Cienega臺(tái)陣位于美國(guó)南加州，該臺(tái)陣地表海拔為26 m，在地下0 m、18 m、100 m、252 m共布置4個(gè)測(cè)點(diǎn)，根據(jù)地表(0 m)處的實(shí)測(cè)地震動(dòng)獲得入射SV波和P波，由入射波建立的自由場(chǎng)與其他測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證本文方法的可行性。La Cienega臺(tái)陣地表125 m深度內(nèi)的橫波波速VS和縱波波速VP分布如圖6所示，由該臺(tái)陣沿深度方向的剪切波速可認(rèn)為100 m深度下的地質(zhì)為基巖[32]。其100 m深度內(nèi)的等效剪切波速為490 m/s，等效壓縮波速為1626 m/s，土層飽和密度為1.99 g/cm3；100 m深度下的剪切波速為650 m/s，壓縮波速為1900 m/s，土層飽和密度為2.10 g/cm3。該臺(tái)陣在一次地震事件中0 m處的實(shí)測(cè)位移時(shí)間歷程如圖7，依據(jù)式(13)和式(14)確定SV波入射角為14°，P波入射角為57°。

圖6 La Cienega臺(tái)陣VS和VP沿深度的分布Fig. 6 La Cienega array VS and VP distribution along depth

圖7 0 m處地震波實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig. 7 Measured seismic data at 0 m

3.2 覆蓋層底部入射的P波、SV波

由入射角和實(shí)測(cè)地表兩向地震動(dòng)獲得入射SV波和P波的位移時(shí)程，結(jié)果如圖8所示。可以看出，SV波與水平向位移時(shí)程更為相似，而P波與豎直向位移時(shí)程相似，這表明水平向地震動(dòng)主要由SV波引起，而豎直向地震動(dòng)主要由P波引起。

圖8 入射波位移時(shí)程Fig. 8 Time history of incident wave displacement

圖9為SV波和P波分別對(duì)0 m位置處的水平向位移和豎直向位移的貢獻(xiàn)值。根據(jù)SV波和P波在兩向位移分量上的峰值位移可初步確定SV波和P波對(duì)兩向位移的貢獻(xiàn)百分比。SV波對(duì)水平位移的貢獻(xiàn)占主要作用，達(dá)到75%；P波對(duì)豎直位移的貢獻(xiàn)占主要作用，其對(duì)豎直向位移的貢獻(xiàn)達(dá)到80%。

圖9 SV波和P波對(duì)0 m位置處兩向位移的貢獻(xiàn)Fig. 9 Contribution of SV waves and P waves to two directional displacements at 0 m

3.3 自由場(chǎng)空間特征點(diǎn)地震動(dòng)

由入射SV波和P波及其入射角建立La Cienega臺(tái)陣在本次地震事件中的空間自由場(chǎng)，預(yù)測(cè)各個(gè)測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程及位移傅立葉譜并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比。圖10～圖12分別為0 m、18 m、100 m深度處預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)的地震動(dòng)數(shù)據(jù)對(duì)比情況，由圖10～圖12可以看出，預(yù)測(cè)的位移與實(shí)測(cè)位移幅值基本一致，但在極少時(shí)間段下預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)位移幅值存在差異。將三個(gè)位置處的峰值位移匯總?cè)绫?，可見(jiàn)本文預(yù)測(cè)的峰值位移與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差不超過(guò)10%，結(jié)果良好。

圖10 0 m處實(shí)測(cè)地震波與預(yù)測(cè)地震波數(shù)據(jù)Fig. 10 Measured seismic wave and predicted seismic wave data at 0 m

圖11 18 m處實(shí)測(cè)地震波與預(yù)測(cè)地震波數(shù)據(jù)Fig. 11 Measured seismic wave and predicted seismic wave data at 18 m

圖12 100 m處實(shí)測(cè)地震波與預(yù)測(cè)地震波數(shù)據(jù)Fig. 12 Measured seismic wave and predicted seismic wave data at 100 m

表1 峰值位移誤差Table 1 Peak displacement errors

對(duì)比預(yù)測(cè)和實(shí)測(cè)的位移傅里葉譜可以看到，除100 m位置的豎直向傅里葉譜在0.1 Hz～1 Hz誤差相對(duì)較大，其它位置的預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)傅里葉譜基本一致。原因在于選取0 m處的實(shí)測(cè)地震波作為控制點(diǎn)，而入射波信息是基于控制點(diǎn)的時(shí)程確定的，因而距離控制點(diǎn)越深，受覆蓋層影響越大，其誤差也越大?？梢?jiàn)，本文提出的計(jì)算方法可以在一定程度上反映地震波在覆蓋層場(chǎng)地的傳播規(guī)律，并保證計(jì)算的自由場(chǎng)中控制點(diǎn)的兩向時(shí)程與設(shè)計(jì)地震動(dòng)一致。

3.4 自由場(chǎng)的空間差異性

圖13給出了以0 m為中心1000 m范圍內(nèi)兩向峰值加速度在不同水平位置的差異性，可以看出，兩向峰值加速度沿水平位置存在明顯的差異，水平向峰值加速度變化達(dá)到10%，豎直向峰值加速度變化達(dá)到15%。

圖13 兩向峰值加速度沿水平位置的差異Fig. 13 Difference of two directional peak accelerations along horizontal position

圖14為上述自由場(chǎng)中(0, 0) m、(500, 50) m、(1000, 100) m三個(gè)不同空間位置的位移時(shí)程?？梢钥闯觯瑹o(wú)論水平位移還是垂直位移，三點(diǎn)的時(shí)間歷程都是不同的，不僅存在時(shí)滯效應(yīng)，而且還存在振幅的變化。因此，本文建立的自由場(chǎng)存在明顯的空間差異。

圖14 兩向位移的空間差異性Fig. 14 Spatial difference in displacement in two directions

4 結(jié)論

本文基于覆蓋層地表水平和豎直兩向設(shè)計(jì)地震動(dòng)獲得基巖組合入射SV波和P波，實(shí)現(xiàn)了基巖-覆蓋層場(chǎng)地空間二維自由場(chǎng)構(gòu)建。

(1)該方法的優(yōu)點(diǎn)在于SV波和P波信息由控制點(diǎn)的設(shè)計(jì)地震動(dòng)反演得到，理論依據(jù)充分，同時(shí)實(shí)現(xiàn)構(gòu)建的自由場(chǎng)中控制點(diǎn)的時(shí)程與設(shè)計(jì)地震動(dòng)在水平和豎直方向上一致。

(2)通過(guò)La Cienega場(chǎng)地實(shí)測(cè)臺(tái)陣記錄，驗(yàn)證了本文自由場(chǎng)構(gòu)建方法的正確性。構(gòu)建的基巖-覆蓋層場(chǎng)地空間自由場(chǎng)任意點(diǎn)水平和豎直兩向地震動(dòng)時(shí)程具有空間非一致性，依據(jù)入射SV波、P波結(jié)合地基人工邊界條件以及依據(jù)本文方法確定的空間點(diǎn)自由場(chǎng)時(shí)程可以實(shí)現(xiàn)覆蓋層-壩體系統(tǒng)的非一致地震動(dòng)輸入。

(3)需要注意的是，本研究采用的為線彈性模型，引入阻尼比以考慮地震波在覆蓋層中的衰減作用，忽略了土體的非線性特性，在中弱地震作用下精度很好，對(duì)于強(qiáng)震作用下的自由場(chǎng)構(gòu)建，誤差可能會(huì)放大，此時(shí)需要考慮土體的非線性。目前，針對(duì)考慮土體非線性特性下地震波組合斜入射的有限元模擬問(wèn)題已展開(kāi)研究。